Chuyên đề Hình vuông - Bồi dưỡng HSG Toán 8

 HèNH VUễNG
A. Túm tắt lý thuyết A B
1. Định nghĩa: Hỡnh vuụng là tứ giỏc cú bốn gúc vuụng và bốn cạnh 
bằng nhau
 O
 àA Bà Cà Dà
 ABCD là hỡnh vuụng 
 AB BC CD DA
 D C
2. Nhận xột: Từ định nghĩa hỡnh vuụng ta suy ra
- Hỡnh vuụng là hỡnh chữ nhật cú bốn cạnh bằng nhau
- Hỡnh vuụng là hỡnh thoi cú 4 gúc vuụng
 Hỡnh vuụng vừa là hỡnh chữ nhật vừa là hỡnh thoi 
3. Tớnh chất: Hỡnh vuụng cú tất cả cỏc tớnh chất của hỡnh bỡnh thoi và hỡnh chữ nhật
- Tớnh chất về cạnh: 
+) Cú bốn cạnh bằng nhau 
+) Cỏc cạnh đối song song
- Tớnh chất về gúc: Bốn gúc bằng nhau
- Tớnh chất về đường chộo: 
+) Hai đường chộo bằng nhau
+) Hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
+) Hai đường chộo vuụng gúc với nhau
+) Hai đường chộo là cỏc đường phõn giỏc của cỏc gúc ở đỉnh của hỡnh thoi
3. Dấu hiệu nhận biết 
- Hỡnh chữ nhật cú hai cạnh kề bằng nhau là hỡnh vuụng
- Hỡnh chữ nhật cú hai đường chộo vuụn gúc với nhau là hỡnh vuụng
- Hỡnh chữ nhật cú 1 đường chộo là đường phõn giỏc của một gúc là hỡnh vuụng
- Hỡnh thoi cú một gúc vuụng là hỡnh vuụng
- Hỡnh thoi cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh vuụng.
4. Nhận xột: Một tứ giỏc vừa là hỡnh chữ nhật vừa là hỡnh thoi thỡ tứ giỏc đú là hỡnh vuụng
5. Tớnh chất đối xứng của hỡnh vuụng
- Hỡnh vuụng cú 1 tõm đối xứng là giao điểm của hai đường chộo
 1 Bài 2: 
Cho hỡnh vuụng ABCD . Trờn tia đối của tia F
 H
CB lấy điểm M , trờn tia đối của tia DC lấy 
điểm N sao cho BM DN . Vẽ hỡnh bỡnh 
hành AFMN . Chứng minh rằng 2
 M
a. ABM ADN 1 O
 D 1
b. Tứ giỏc AMFN là hỡnh vuụng C N
 K 2
c. Kẻ FH  BM , FK  CN , chứng minh rằng : 
 ãACF 900
 2
d. B, D,O thẳng hàng ( O là trung điểm của 
 B A
 AF ).
 Lời giải
a. ABM ADN(cgc) AM AN Dã AN Bã AM
b. Hỡnh bỡnh hành AMFN , cú AM AN AMFN là hỡnh thoi. 
Lại cú Mã AN Mã AD Dã AN Mã AD Mã AB 900 AMFN là hỡnh vuụng
c. ãACF ãACD Dã CF 450 Dã CF 
Ta đi chứng minh DàCF 450 CHFK là hỡnh vuụng
Cú: 
Mả Mả 900 Nả Mả 900 , Nả Nả 900 Mả Nả MHF NKF(ch gn) FH FK
 1 2 2 2 1 2 2 1 
 CHFK là hỡnh vuụng Dã CF 450 ãACF 900 (đpcm)
d. Ta đi chứng minh 3 điểm B, D,O nằm trờn đường trung trực của AC
Ta cú ABCD là hỡnh vuụng B, D nằm trờn đường trung trực của AC
O là trung điểm của AF O là trung điểm của MN OA OM
 1
Lại cú OC OM AC OM OC OA OC O nằm trờn đường trung trực của AC
 2
 B, D,O thẳng hàng. 
 3 Bài 4 
 E, F
Cho hỡnh vuụng ABCD , cỏc điểm lần A B
 1
 ã 0 45
lượt trờn cỏc cạnh BC,CD sao cho EAF 45 2
, trờn tia đối của tia DC lấy điểm M sao 
 E
cho DM BE . CMR:
a) ABE ADM , Mã AF 450
b) Chu vu tam giỏc CEF bằng 1 nửa chu vi 
tứ giỏc ABCD M D F C
 Lời giải
 à ả
a) ABE ADN (2 cạnh gúc vuụng) A1 A2
=> Mã AE 900 Mã AF 900 450 45
b) AEF AMF cgc EF MF, EF MD DF BE DF
Chu vi tam giỏc CEF CE EF FC CK BE DF CF BC CD
 1
 chu vi ABCD .
 2
 Bài 5: 
 A
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , kẻ đường 
 2
 1
cao AH và trung tuyến AM , đường phõn 4 3
giỏc gúc A , cắt đường trung trực BC tại D , 
 F
Từ D kẻ DE vuụng gúc với BA và DF M
 B 1 C
vuụng gúc với AC H
 E
a) Chứng minh rằng AD là phõn giỏc Hã AM
b) 3 điểm E, M , F thẳng hàng 1
 3
 2
c) Tam giỏc BCD là tam giỏc vuụng cõn.
 Lời giải D
 à à
a) Ta cú: C1 A1 ( cựng phụ gúc B )
 5 Mà Bà Hã AC Hã AC Cà HC AH AH HD HC HD D nằm giữa H và C
 à ả 0 ả à 0 à à
b) Ta cú: A1 A2 90 , A2 A3 90 A1 A3
kết hợp với AE AH AEF AHB AB AF
Tứ giỏc ABGF là hỡnh bỡnh hành cú 1 gúc vuụng hỡnh chữ nhật cú AB AF là hỡnh 
vuụng
c) Gọi M là giao điểm BF, AG
 1
Khi đú BDF cú DM BF M nằm trờn đường trung trực của AD
 2
Ta lại cú AE ED, HA HD E, H cũng nằm trờn đường trung trực của AD 
Hay H, M , E thẳng hàng.
 Bài 7: 
Cho hỡnh vuụng ABCD và 1 điểm E bất kỳ A E B
nằm giữa 2 điểm A và B , trờn tia đối của tia 
CB lấy 1 điểm F sao cho AE CF G
a) Tớnh Eã DF
b) Gọi G là điểm đối xứng với D qua trung I
điểm I của EF , tứ giỏc DEGF là hỡnh gỡ?
 D C
c) Chứng minh rằng AC, DG, EF đồng quy
 F
 Lời giải
a) AED CFD cgc ãADE Cã DF Eã DF Eã DC Cã DF Eã DC ãADE
 Eã DF ãADC 900
b) Tứ giỏc DEGF cú I là trung điểm của EF (gt)
 I là trung điểm của DG
Do đú DEGF là hỡnh bỡnh hành
lại cú Eã DF 900 nờn tứ giỏc DEGF là hỡnh chữ nhật, lại cú tiếp DE DF nờn là hỡnh vuụng
 7 Gọi chu vi của MCF là P và cạnh hỡnh vuụng ABCD là a
Ta cú: P MC CF MF MC CF BM DF vỡ ( MF DF MB ) 
 MC MB CF FD BC CD a a 2a
Hỡnh vuụng ABCD cho trước a khụng đổi P khụng đổi.
 Bài 9: 
Cho hỡnh vuụng ABCD , Gọi E là 1 điểm bất A B
kỳ trờn cạnh BCC ( E khỏc B và C ), Qua A 
kẻ Ax vuụng gúc với AE , Ax cắt CD tại F , G E
trung tuyến AI của AEF cắt CD ở K , 
đường thẳng kẻ qua E , song song với AB I
cắt AI ở G
a) Chứng minh AE AF và tứ giỏc EGFK là F D K C
hỡnh thoi x
b) Chứng minh AKF đồng dạng với CAF 
và AF 2 FK.FC
c) Khi E thay đổi trờn BC , chứng minh chu 
vi của EKC khụng đổi.
 Lời giải
a) Xột ABE vuụng tại B và ADF vuụng tại D cú: AB AD
Bã AE Cã AF ABE ADF 
 AE AF vỡ AE AF và AI là đường trung tuyến của AEF AI  EF
Hai IEG vuụng tại I và IFK vuụng tại I cú: IãEG IãFK; IE IF
Nờn IEG IFK EG FK
Tứ giỏc EGFK cú hai cạnh đối EG và FK song song và bằng nhau nờn là hỡnh bỡnh hành.
Hỡnh bỡnh hành EGFK cú hai đường chộo GK và EF vuụng gúc nờn là hỡnh thoi
b) Xột AKF và CAF cú ãAFK Cã FA , 
 9 Bài 11: 
 ABCD M
Cho hỡnh vuụng , Từ điểm tựy ý A E B
trờn đường chộo BD , kẻ ME, MF lần lượt 
vuụng gúc với AB và AD . Chứng minh 
rằng: 
a) CF DE;CF  DE H
 2
b) CM EF;OM  EF F N
 1 M 1
 O
c) CM , BF, DE đồng quy
 1
d) Xỏc định M để diện tớch AEMF lớn nhất 1
 D C
 Lời giải
a) BD là đường chộo của hỡnh vuụng ABCD
 BD là phõn giỏc gúc D
 ãADB 450 DFM cõn tại F DF FM AE
 à ả
 CDF DAE cgc CF DE và C1 D1
 à à 0 ả à 0 ã 0
Mà C1 F1 90 D1 F1 90 FOD 90
b) AM EF, BD là đường trung trực của AC
 MA MC MC EF
Kộo dài FM cắt BC tại N tứ giỏc BEMN là hỡnh vuụng 
 ả ã
 MN ME EMF MNC cgc M1 MEF
 ả ả 0 ã ả 0
Mà M1 M 2 90 MEF M 2 90
 Eã HM 900 đpcm.
c) EFC cú CH  EF CM trựng CH là đường cao ứng với cạnh EF
Lại cú ED  CF tại O ED là đường cao ứng với cạnh CF
Chứng minh tương tự cõu a CE  BF BF là đường cao ứng với cạnh CE
 CM , BF, DE đồng quy.
 11 Bài 13: 
Cho hỡnh vuụng ABCD cú độ dài cạnh là a . 
 A
 B
Gọi M và N theo thứ tự là hai điểm trờn 5
 4
 1 3
cạnh BC và CD sao cho Mã AN 450 . Trờn tia 2 E
đối của tia DC lấy điểm K sao cho M
DK BM
 F
a. Chứng minh ADK ABM H
b. Chứng minh AN là tia phõn giỏc Kã AM
c. Tớnh chu vi CMN theo a K D N C
d. BD cắt AM và AN lần lượt tại E và F . 
Chứng minh rằng ba đoạn BE, EF, FD lập 
thành ba cạnh của 1 tam giỏc vuụng.
 Lời giải
a. ADK ABM (c g c)
 à ả
b. ADK ABM A1 A5
 ã à ả à ả à ả à ả 0
+) KAM A1 A2 A3 A4 A5 A2 A3 A4 90
Kã AN 900 Nã AM 450 Kã AN Mã AN 450 đpcm
c. PCMN MN NC CM CM CN KN ( ANK AMN) CM CN KD DN 2a
d. Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A đến MN
 ả à ã ã 0
 AND AMH (ch gn) A2 A3 FAD FAH (cgc) FH FD; AHF ADF 45
 AEH AEB(cgc) EH EB; ãAHE ãABE 450
Ta cú Eã HF Eã HA Fã HA 900 vuụng tại H
Vậy BE, DF, FE lập thành ba cạnh của một tam giỏc vuụng. 
 13