Chuyên đề Hình thoi Toán Lớp 8

 HÌNH THOI 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
* Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
Nhận xét: Hình thoi cũng là một hình bình hành. 
* Tính chất:
- Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.
- Trong hình thoi:
+ Hai đường chéo vuông góc vói nhau.
+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh của hình thoi.
* Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.
- Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc ở đỉnh là hình thoi.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA CB-NC
Dạng 1. Chứng minh tứ giác là hình thoi 
Phương pháp: Sử dụng các dấu hiệu nhận biết 
+ Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
+ Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
+ Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
Bài 1. Cho tứ giác ABCD có AC = BD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, 
BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác EFGH là hình thoi. b) Điểm D ở vị trí nào trên BC thì AEDF là hình thoi?
Dạng 4.Tổng hợp 
Bài 7. Cho tam giác ABC, phân giác AD. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E, qua 
D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh EF là phân giác của AED.
Bài 8. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. 
a) EFGH là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh AC, BD, EG, FH đồng qui.
Bài 9. Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt 
AB tại P và đường thẳng song song với AB cắt AC tại Q. 
a) Tứ giác APMQ là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh PQ//BC.
Bài 10. Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M v à N sao cho 
AM = DN. Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng MN và BC tại E và F. 
a) Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua AB.
b) Chứng minh tứ giác MEBF là hình thoi
c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác BCNE là hình thang cân.
Bài 11. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ABD và ACE
cắt nhau tại O, và lần lượt cắt AC, AB tại N, M. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H: Chứng 
minh rằng: 
a) BN  CM;
b) Tứ giác MNFIK là hình thoi. Bài 6. 
a) Học suinh tự chứng minh
b) nếu AEDF là hình thoi thì AD là phân giác của FAE suy ra AD là
phân giác của BAC 
Bài 7. Chứng minh tứ giác AEDF là hình thoi
 EF là phân giác của AED
Bài 8.
a) Áp dụng tính chất đường trung bình cho BAC và ADC ta có:
 1 1
EF//HG; EF = HG = AC và HE//HG; HE = FG = BD. 
 2 2
Mà ABCD là hình chữ nhật nên AB = BD EFGH là hình thoi. 
b) Gọi O = AC  BD O là trung điểm của AC và BD. Chứng minh
EBGD và BFDH là hình bình hành suy ra AC, BD,EG, FH đồng quy 
tại trung điểm mỗi đường (điểm O). 
Bài 9. 
a) Vận dụng đinh lý 1 về đường trung bình của tam giác suy ra APMQ
là hình thoi do có 4 cạnh bằng nhau. 
b) Vì PQ  AM mà AM  BC (tính chất tamgiacs cân) nên PQ//BC.
Bài 10. 
a) Do AM = DN MADN là hình bình hành
 D AMN EMB MBC 
Ta có MPE = BPE nên EP = FP. Vậy MEBF là hình thoi và 2 điểm
E, F đối xứng nhau qua AB.
b) Tứ giác MEBF có MB  EF = P; Lại có P trung điểm BM, P là
trung điểm EF, MB  EF. 
 MEBF là hình thoi. 
c) Để BNCE là hình thang cân thì CNE BEN 
Mà
CNE D MBC EBM nên MEB có 3 góc bằng nhau, suy ra điều
kiện để BNCE là hình thang cân thì ABC 600
Bài 11. 
a) Sử dụng tính chất tổng các góc trong một tam giác bằng 1800. Bài 3. Cho hình bình hành ABCD có A 90 và AD 2. AB . Kẻ CH AB có A 90 Gọi
 M , N lần lượt là trung điểm của AD , BC . Chứng minh: BAD 2. AHM
 1 1
Bài 4. Cho hình thoi ABCD . Trên AB , CD lấy E , F sao cho AE AB , CF CD . Gọi 
 3 3
 I là giao điểm của EF và DA , K là giao điểm của DE và BI . Chứng minh: 
a) BDI vuông.
b) BK IK .
Bài 5. Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tại O .Lấy E đối xứng với A qua B . Gọi I , K
lần lượt là giao điểm của DE với AC và BC ; G là giao điểm của OE và BC ; H là giao 
điểm của OK và CE . Chứng minh: A , G , H thẳng hàng. 
Bài 6. Cho hình thoi ABCD có AB 25 cm , AC BD 70 cm . Tính AC , BD ? 
Bài 7. Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tạí O . Kẻ OH AB Biết AB 4 cm ,OH 1 cm . 
Tính các góc của hình thoi? 
Dạng 3. Tìm điều kiện để tứ giác là hình thoi. 
Bài 1. Cho hình thang ABCD AB// CD . Gọi M , N , P ,Q lần lượt là trung điểm của AB ,
 BC ,CD , DA
a) Chứng minh: MNPQ là hình bình hành.
b) Hình thang ABCD thêm tính chất gì để MNPQ là hình thoi
Bài 2. Cho ABC cân tại A, đường cao AD . M là một điểm bất kì trên cạnh BC . Từ M vẽ 
 ME vuông góc với AB tại E , MF vuông góc AC tại F . Gọi I là trung điểm của AM . 
a) Chứng minh EID , DIF cân.
b) ABC cân thêm điều kiện gì để tứ giác DEIF là hình thoi?
c) Với điều kiện của ABC ở câu b, gọi H là trực tâm của ABC . Chứng minh EF , ID , MH
đồng quy. A
 B C
 D
 Cy// AB CD// AB
Vì 
 Bx// AC BD// AC
 CD// AB
Tứ giác ACDB có ACDB là hình bình hành. 
 BD// AC
Hình bình hành ACDB có AB AC (tam giác ABC cân tại A ) AEDF là hình thoi. 
Bài 3 : Cho ABC cân tại B có đường cao BE . Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho
 ED EB . Chứng minh: tứ giác ABCD là hình thoi. 
Giải 
 B
 A E C
 D
Vì ABC cân tại B có đường cao BE BE là đường trung tuyến 
 EA EC (1) 
Ta có : EB ED() gt (2) 
Từ (1) và (2) ABCD là hình bình hành. 
Vì BE là đường cao của ABC BE AC
Hình bình hành ABCD có BE AC ABCD là hình thoi. 
Bài 4: Cho ABC cân tại B . Đường thẳng qua C song song với AB cắt tia phân giác của 
 AB C tại D . Chứng minh: tứ giác ABCD là hình thoi.
Giải AM CN
Tứ giác AMCN có AMCN là hình bình hành (1) 
 AM// CN
 AM DN
Tứ giác AMND có AMND là hình bình hành 
 AM// DN
 AD// MN , mà AD AC MN  AC (2) 
Từ (1) và (2) AMCN là hình thoi. 
Bài 6 : Cho ABC nhọn , đường cao tại AD , BE . Tia phân giác của DAC cắt BE , BC theo
thứ tự ở I , K .Tia phân giác của EBC cắt AD , AC theo thứ tự ở M , N . Chứng minh:
 MINK là hình thoi. 
Giải 
Gọi O là giao điểm của AK và BN . 
 1 1
Ta có CBE CAD ( vì cùng phụ với ACB ) CBE CAD 
 2 2
 CAO DAO CBO EBO 
Ta có ABD vuông tại D nên DAB DBA 900
 DAB IBA IBO OBD 900
 DAB IBA IBO OAD 900 (1)
 ABO OAB 900
Suy ra ABO vuông tại O AK  BN tại O . 
 AMN có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên AMN cân tại A
 IM IN
Do đó AO là đường trung trực của đoạn thẳng MN (2) 
 KM KN
và O là trung điểm của MN (3) 
 BIK có BO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên BIK cân tại B Do 
đó BO là đường trung trực của đoạn thẳng IK  IM  KM (4) 
và O là trung điểm của IK (5) 
Từ (2) và (4) suy ra tứ giácMINK có IM  KM  KN  IN Vậy các góc của tứ giác BMDN bằng các góc của tứ giác ABCD 
Bài 2. Cho ABC có AB AC . Trên cạnh AC lấy D sao cho CD AB . Gọi M , N lần lượt 
là trung điểm của AC , BD . Phân giác của BAC cắt BC tại I . Chứng minh: AI MN .
Giải 
 A
 Q
 D
 M
 N
 C
 B I P
Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của BC , AD . 
 ABD : N , Q là trung điểm của BD , AD NQ là đường trung bình của ABD
 NQ// AB
 1 (1) 
 NQ AB
 2
 ABC : M , P là trung điểm của AC , BC MP là đường trung bình của ABC
 MP// AB
 1 (2) 
 MP AB
 2
Từ (1), (2) MQNP là hình bình hành. 
 BCD : N , P là trung điểm của BD , BC NP là đường trung bình của ABC
 1
 NP . CD
 2
Vì CD AB NP NQ . 
Hình bình hành MQNP có NP NQ MQNP là hình thoi 
 PQ MN và QP là phân giác của NQM 
 1
 QP là phân giác của NQM NQP NQM (3) 
 2
 1
Ta có: AI là phân giác của BAC BAI BAC (4) 
 2 MF là đường phân giác của EMC EMF CMF (1) 
 DMNC là hình thoi MC là phân giác của NMD CMF CMD (2)
 1
Từ (1) và (2) EMF CMF CMD NMD (3) 
 2
Ta có: AEM EMF (vì AB// MN ) (4) 
Ta có: BAD NMD (hai góc đồng vị) (5) 
Từ (3), (4), (5) BAD 2. AHM
 1 1
Bài 4. Cho hình thoi ABCD . Trên AB , CD lấy E , F sao cho AE AB , CF CD . Gọi 
 3 3
 I là giao điểm của EF và DA , K là giao điểm của DE và BI . Chứng minh: 
c) BDI vuông.
d) BK IK .
Giải 
 K B
 I M
 E
 A C
 F
 D
 a) Gọi M là trung điểm của BE BM CF .(1)
Vì ABCD là hình thoi AB//// CD BM CF (2) 
 BC MF
Từ (1) và (2) BMFC là hình bình hành MF// AD
 BC// MF
 AIE MQE() gcg AI MF , EI EF 
 AI AD BC 
 BID có: AI AD AB BID vuông tại B . 
 2
 b) BID : BA là đường trung tuyến và BE BA E là trọng tâm của BID
 3