Chuyên đề Hình thoi - Bồi dưỡng HSG Toán 8

 HèNH THOI
A. Túm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa: Hỡnh thoi là tứ giỏc cú bốn cạnh bằng nhau B
 ABCD
 ABCD là hỡnh thoi 
 AB BC CD DA
 A C
 O
2. Tớnh chất: Hỡnh thoi cú tất cả cỏc tớnh chất của hỡnh 
bỡnh hành D
- Tớnh chất về cạnh: 
+) Cú bốn cạnh bằng nhau 
+) Cỏc cạnh đối song song
- Tớnh chất về gúc: Cỏc gúc đối bằng nhau
- Tớnh chất về đường chộo: 
+) Hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
+) Hai đường chộo vuụng gúc với nhau
+) Hai đường chộo là cỏc đường phõn giỏc của cỏc gúc ở đỉnh của hỡnh thoi
3. Dấu hiệu nhận biết 
- Tứ giỏc cú bốn cạnh bằng nhau là hỡnh thoi
- Hỡnh hỡnh hành cú hai cạnh kề bằng nhau là hỡnh thoi
- Hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau là hỡnh thoi
- Hỡnh bỡnh hành cú một đường chộo là đường phõn giỏc của một gúc ở đỉnh là hỡnh thoi
4. Chỳ ý:
- Hỡnh thoi cú 1 tõm đối xứng là giao điểm của hai đường chộo
- Hỡnh thoi cú hai trục đối xứng là cỏc đường chộo của hỡnh thoi
B. Bài tập
 1 Lời giải
+) ABD đều (1) 
 BM BN AB
+)  BN AM
 AB BM MA
+) AMD BND(cgc) DM DN (2)
Dả Dả 
 1 3 ả ả 0
  D2 D3 60 (3) MND đều
 ả ả 0
D1 D2 60  
 Bài 3: 
Cho tam giỏc ABC cú AB AC , phõn giỏc K
trong AD . Lấy cỏc điểm M , N lần lượt A
thuộc cỏc đoạn AB, AC sao cho BM CN . 
 M
Gọi P,Q lần lượt là rung điểm của MC, MB . E
 N
Chứng minh rằng AD  PQ
 P
 Q
 B D F C
 Lời giải
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MN, BC
 1
 EQ,QF, FP, PE là đường trung bỡnh của cỏc BMN, BNC, BMC, MNC EQ FP BM ; 
 2
 1 1
EP FQ NC EPFQ :lahinhthoi FE :laphangiac của Qã EP Fã EQ Fã EP Pã EQ 1 
 2 2
 EF  PQ
+) Gọi K là giao điểm của EF và AB
Vỡ EQ / / AB Bã KF Fã EQ (2) 
mà Qã EP Bã AC (3) (gúc cú cạnh tương ứng song song)
 3 ã ã à ả à ả
a) Ta cú: EBC DAC (cựng phụ gúc C ) A1 A2 B1 B2
 à ã 0 ả ã 0 ã 0
 EBQ vuụng B1 BQE 90 A2 BQE 90 AOQ 90 AN  BQ
b) APQ cú AO vừa là đường phõn giỏc vừa là đường cao
 AO là đường trung trực MP MQ, NP NQ
 BMN cú BO vừa là đường phõn giỏc vừa là đường cao là đường trung trực (đpcm)
 Bài 6: 
Cho ABC đều, đường cao AD , M là điểm A
nằm giữa B và D , gọi N là trung điểm của 
 1 2
 AM , vẽ ME vuụng gúc AB tại E, MF vuụng 
gúc AC tại F . Chứng minh rằng DENF là N
 F
hỡnh thoi 1 2
 E
 B M D C
 Lời giải
 1 
Ta cú: MN EN DF FN AM 
 2 
 Eã ND Eã NM Mã ND 2.Eã AM 2Mã AD 2.Dã AE 600
 Dã NF Mã NF Mã ND
 Dã NF 2.Mã AC 2.Mã AD 2.Dã AC 600
 NED đều, NDF đều
Vậy DENF là hỡnh thoi.
 5 Bài 8: 
Cho ABC , trờn tia AB ta lấy 1 điểm D , A y
trờn tia AC lấy 1 điểm E sao cho BD CE , 
Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của 
 B M C
BC,CD, DE, EB
 J
 Q
a) Chứng minh rằng MNPQ là hỡnh thoi N
 I
b) Chứng minh rằng cỏc đường chộo của E
hỡnh thoi MNPQ song song với cỏc phõn P
 D
 x
giỏc trong và ngoài của gúc A
 Lời giải
b, Vỡ MNPQ là hỡnh thoi, MP và NQ là hai đường chộo MP  NQ
 à à
Gọi I, J lầ lượt là giao NQ với AB và AC PQ / / AD I1 Q1 (so le trong)
 ả à
Tương tự: N1 Q1 IAJ cõn tại A phõn giỏc Ax là đường cao Ax  IJ
Mà MP  IJ Ax / /MP
Dễ dàng chứng minh được NQ / / Ay .
 Bài 9: 
Cho hỡnh thoi ABCD , trờn tia đối của tia M
 BA , ta lấy điểm M , trờn tia đối của tia CB B
 N DC P Q
lấy , trờn tia đối tia lấy , trờn tia 1
 C
đối tia AD lấy Q sao cho A O
 2
 BM CN DP AQ N
a) Chứng minh MNPQ là hỡnh bỡnh hành D
 P
b) MNPQ là hỡnh thoi và ABCD cú cựng 
tõm đối xứng
c) Hỡnh thoi ABCD phải cú điều kiện gỡ để 
 MNPQ là hỡnh vuụng
 7