Chuyên đề Hình thang cân Toán Lớp 8

 HÌNH THANG CÂN 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Khái niệm 
 Hình thang cân là hình thang có 
 A B 
 hai góc kề một đáy bằng nhau. 
 2. Tính chất 
 - Trong hình thang cân, hai cạnh bên 
 bằng nhau. 
 - Trong hình thang cân, hai đuờng chéo 
 bằng nhau. 
3. Dấu hiệu nhận biết 
- Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân. 
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. 
 Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau không phải luôn là hình thang cân. 
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA 
Dạng 1. Tính số đo góc, độ dài cạnh và diện tích hình thang cân 
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hình thang cân về cạnh góc, đường chéo và công thức 
tính diện tích hình thang để tính toán. 
1. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có A 2C . Tính các góc của hình thang cân. 
2. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có A 3D . Tính các góc của hình thang cân. 
3. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AH và BK là hai đường cao của hình thang. 
 Suy ra C D 600 ,A B 1200 
2. Tương tự bài 1. Ta có: C D 450 ,A B 1350 
3. 
 a) Chứng minh 
 ADH = BCK (ch-gnh) 
 DH = CK 
Vận dụng nhận xét hình thang ABKH (AB//KH) có AH//BK AB = HK 
 CD AB
b) Vậy DH 
 2
 2
c) DH = 4cm, AH = 3cm; SABCD = 30cm 
 4. Hạ CH và DK vuông góc với AB 
 Ta có: 
 1
 AK BH AD 1 cm 
 2
 Từ đó: CD = 2,5cm 
 CH 3 cm 
 AB CD . CD 7 3
 S cm2 
 ABCD 22
5. Sử dụng tính chất đường trung bình, ta chứng minh được DE//BC. 
6. Chứng minh BKC = CHB (ch-gnh) 
Suy ra CK = BH & AK = AH. 
 Câu 2: Cho hình thang cân ABCD AB//CD có A 1100 . Tính các góc còn lại của hinh thang 
 ABCD . 
Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A . Đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB; AC 
lần lượt tại M; N . Chứng minh BCNM là hình thang cân. 
Câu 4: Cho hình thang cân ABCD AB//CD có các đường cao AE; BF . Chứng minh 
 DE CF . 
Câu 5: Cho hình thang cân ABCD AB//CD có hai đường chéo cắt nhau tại O . Chứng minh 
 OA OB; OC OD . 
Câu 6: Cho tam giác ABC cân tại A . Trên tia đối của tia AB lấy điểm D ; trên tia đối của tia 
 AC lấy điểm E sao cho AD AE . Tứ giác BCDE là hình gì? Vì sao? 
Câu 7: Tứ giác ABCD có AB BC AD ; A 1100 ; C 700 . Chứng minh rằng: 
a) DB là tia phân giác góc D. b) ABCD là hình thang cân. 
Câu 8: Tính chiều cao của hình thang cân ABCD biết rằng cạnh bên BC 25 cm ; các cạnh 
đáy AB 10 cm và CD 24 cm. 
Câu 9: Cho tam giác đều ABC , điểm M nằm trong tam giác đó. Qua M , kẻ các đường thẳng 
song song với AC cắt BC ở D , kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở E , kẻ đường 
thẳng song song với BC cắt AB ở F . Chứng minh rằng: 
a) DM E EM F DM F 
b) Trong ba đoạn MA;MB; MC đoạn lớn nhất nhỏ hơn tổng hai đoạn kia. 
Câu 10: Chứng minh rằng trong một hình thang cân, đường chéo luôn lớn hơn đường trung 
bình. 
HƯỚNG DẪN 
Câu 1: 
 Ta có MN//BC (gt) nên BCNM là hình thang. Mà B C (tam giác ABC cân tại A ) nên 
 BCNM là hình thang cân. 
Câu 4: 
 A B
 D E F C
Xét hai tam giác vuông AED và BFC có: AD BC và D C ( ABCD là hình thang cân) 
nên AED BFC (ch-gn). 
 DE FC 
Câu 5: 
 A B
 O
 D C
Xét hai tam giác BDC và ACD có: cạnh DC chung; BCD ADC và AD BC (tính chất 
hình thang cân) 
 BDC ACD (c-g-c) 
 BDC ACD 
 ODC cân tại O OD OC 
Chứng minh tương tự ta có OB OC . 
Câu 6: 
 ADC DAB 700 1100 1800 
 AB// DC 
Mà D C 700 nên ABCD là hình thang cân. 
Câu 8: 
 A B
 D E F C
Kẻ các đường cao AE; BF của hình thang. Khi đó hình thang ABFE có hai cạnh bên song 
song nên hai cạnh đáy EF AB 10 cm 
 24 10
Mặt khác theo câu 4 thì DE CF nên DE CF 2 cm 
 2
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác tính được BF 3 69 cm 
Câu 9: 
 A
 E
 F M
 B C
 D 
a) Các tứ giác AEMF;BDMF;CDME có một cặp cạnh đối song song và có các góc ở đáy 
đều bằng 600 nên chúng là các hình thang cân. 
Do đó: EM F EM D DM F A 600 
 a) Chứng minh: ACD BDC 
 b) Gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh EA = EB 
Bài 3: Hình thang cân ABCD ( AB// CD) , có góc C = 600, DB là tia phân giác của góc D; chu 
vi hình thang bằng 20cm. 
 a)Tính các cạnh của hình thang. 
 b) Tính diện tích tam giác BDC. 
Bài 4 : Cho hình thang MNPQ (MN là đáy nhỏ) có 2 đường chéo MP và NQ cắt nhau tại O 
và . Qua O vẽ đường thẳng EF//QP (E MQ,F NP) . CMR các tứ giác 
MNPQ, MNFE, FEQP là những hình thang cân. 
Bài 5. Cho hình thang cân ABCD có C 600 , đáy nhỏ AD bằng cạnh bên của hình thang. 
Biết chu vi của hình thang bằng 20cm. 
 a) Tính các cạnh của hình thang. 
 b) Tính chiều cao của hình thang. 
Bài 6. CMR tứ giác ABCD có C D 900 và AD = BC thì tứ giác đó là hình thang cân. 
Bài 7*. Cho ABC đều. Lấy điểm O nằm trong tam giác. Kẻ OI//AB (I thuộc AC), OM//BC 
(M thuộc AB), OK//AC (K thuộc BC). Chứng minh rằng: Chu vi IMK bằng tổng khoảng 
cách từ O đến các đỉnh của ABC 
Bài 8*: Cho tam giác ABC cân tại A, M là điểm bất kì nằm giữa hai điểm A và B. Trên tia 
đối của tia CA lấy điểm N sao cho CN = BM. Vẽ ME và NF lần lượt vuông góc với đường 
thẳng BC. Gọi I là giao điểm của MN và BC. 
 a) Chứng minh: IE = IF. 
 b) Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = CN. Chứng minh tứ giác BMDC là hình 
 thang cân. 
 HƯỚNG DẪN 
Bài 1: 
 A
 C
 O
 D
 B
Vì OA=OC, OB=OD nên AB = CD (1); OA = OC; OB = OD nên  OAC và  OBD cân tại 
 1800 AOC 1800 DOC 
O OBA ; ODC mà AOC DOC (hai góc đối đỉnh) 
 22
 OBA ODC mà hai góc này so le trong nên AC // BD (2) 
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ACBD là hình thang cân. 
Bài 2: 
 A
 B
 E
 D C
a/ ABCD là hình thang cân nên AD = BC; ADC BCD 
Dễ chứng minh: ADC  BCD(..) cgc ACD BDC 
b/ Theo câu a ta có ACD BDC suy ra  CED cân tại E => ED = EC mà AC = BD (do ABCD 
là hình thang cân) => EA = EB. 
Bài 3: 
 Do MNPQ là hình thang cân nên: và QM N PNM => MNEF và FEQP là hình 
thang cân. 
Bài 5. 
 A D
 600
 B H K C
a/ Đặt AD = AB = DC = x; Kẻ AH BC, DK BC;(; HK BC) => AH // DK 
 => Hình thang ADKH có hai cạnh bên song song nên AD = HK = x; AH = DK. 
Có AHB DKC (ch - gn) => BH = KC. 
 AB x
Xét ABH có : B 600 BH x 2BH 
  22
=> Chu vi hình thang là 5x = 20 => x = 4 => AD = DC = AB = 4cm; BC = 8cm 
b/ Từ câu a ta có BH = 2cm; Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABH vuông tại H ta có: 
đường cao AH = 2 3 
Bài 6. 
 CM tương tự ta có OKCI, OIAM là các hình thang cân, do đó: OC = IK, OA = IM, OB = MK 
 => CIMK = IK + IM + MK = OA+ OB + OC. 
Bài 8* 
a)  MBE =  NCF (ch-gn) => ME = NF 
Từ đó cm được  MIE =  NIF (cgv-gnk)=> IE = IF. 
b) Do  ABC là tam giác cân nên AB = AC, mà MB = DC ( = CN) nên AM = AD 
 1800 A
=> AMD cân tại A=> AMD 
  2
 1800 A
Xét ABC có: ABC => => MD // BC => MDCB là hình thang. 
 2
Do (  ABC cân tại A) => BMDC là hình thang cân. (đpcm) 
Bài 9* 
 Bài 10* 
a) Trên tia DA lấy điểm E sao cho AE = CD. E
Do A C 1800 (gt) suy ra BAE BCD (cùng bù với BAD ) 
Từ đây ta được BAE BCD ( c g c) 
 E D 2 ; BE BD BDE cân tại B A B
 E D1 D1 D 2 
Vậy tia DB là phân giác của góc D. 1
 2
b) Có AB = AD ABD cân tại A D C
 D1 ABD D 2 ABD mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AB//DC 
 ABC BCD 1800 
Mà BAD BCD 1800 ( gt ) BAD ABC . Vậy ABCD là hình thang cân.