Chuyên đề Hình lăng trụ đứng môn Toán 8

 HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG 
A. BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN 
1. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG 
Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình có các mặt bên đều là những hình chữ nhật. 
 Hình bên cho ta hình ảnh của hình lăng trụ đứng ABCD. ABC1 1 1 D 1 , và ở đó: 
 1. Các điểm A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 được gọi là các đỉnh. 
 2. Các đoạn AA1 , BB1 , CC1 , DD1 song song với nhau và bằng 
nhau, chúng được gọi là các mặt bên. 
 3. Các mặt ABB1 A , BCC1 B 1 , CDDC1 1 , ADD1 A 1 là những hình 
chữ nhật, chúng được gọi là các mặt bên. 
 4. Hai mặt ABCD , ABCD1 1 1 1 là hai đáy. 
 5. Hình lăng trụ này có đáy là tứ giác nên gọi là lăng trụ tứ giác. 
Ví dụ 1: Cho một hình lăng trụ đứng: 
 - Hai mặt phẳng chứa hai đáy có song song với nhau hay không? 
 - Các cạnh bên có vuông góc với hai mặt phẳng đáy hay không? 
 - Các mặt bên có vuông góc với hai mặt phẳng đáy hay không? 
 Giải 
Ta lần lượt có: 
- Hai mặt phẳng chứa hai đáy có song song với nhau, bởi chúng đều chứa hai cặp đường thẳng cắt nhau 
và song song với nhau. 
- Các cạnh bên có vuông góc với hai mặt phẳng đáy, bởi mỗi cạnh bên đều vuông góc với hai cạnh đáy 
cắt nhau. 
- Các mặt bên có vuông góc với hai mặt phẳng đáy, bởi chúng chứa cạnh bên vuông góc với đáy. 
 Nhận xét: Như vậy: 
. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương cũng là những hình lăng trụ đứng. 
. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng. 
2. THÍ DỤ 
Với hình vẽ trong phần 1, ta nhận thấy: 
- Hai mặt đáy ABCD và ABCD1 1 1 1 là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song. 
- Độ dài mỗi cạnh bên được gọi là chiều cao, thí dụ chiều cao AA1 . 
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 
VÍ DỤ 1: ABC. ABC1 1 1 là một lăng trụ đứng tam giác. 
 a) Trong hình lăng trụ đó hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng song song với nhau. 
 b) Trong hình lăng trụ đó hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau. 
 c) Sử dụng kí hiệu “//”, “  ”, và “ ” điền vào các ô trong bảng sau: AD// AD1 1 ADB 1 1 AD // ADB 1 1 
 AD// AD1 1 ADC 1 1 AD // ADC 1 1 
Vậy, có 3 mặt phẳng ABCD1 1 1 1 , ADB1 1 , ADC1 1 song song với AD. 
c) Ta có: 
 AC BD
 AC  BBDD1 1 . 
 AC BB1
Vậy có duy nhất mặt phẳng BBDD1 1 vuông góc với AC . 
d) Ta có các cặp mặt phẳng song song với nhau là: 
 ABCD // ABCD1 1 1 1 và ABBA1 1 // CDDC 1 1 . 
e) Dựa trên tính chất của hình lăng trụ đứng ta có ngay các mặt phẳng vuông góc với hai đáy ABCD 
và ABCD1 1 1 1 là: 
 AABB1 1 , BBCC1 1 , CC1 DD 1 . 
 AADD1 1 , AACC1 1 , BDD1 B 1 . 
Mặt khác: 
. Vì AC BBDD1 1 nên các mặt phẳng chứa AC đều vuông góc với mặt phẳng BBDD1 1 , do đó ta 
có: 
 ACCA1 1  BBDD 1 1 , ACB1  BBDD 1 1 , ACD1  BBDD 1 1 . 
. Vì BD ACCA1 1 nên các mặt phẳng chứa BD đều vuông góc với mặt phẳng ACC1 A 1 , do đó ta 
có: 
 BDDB1 1  ACCA 1 1 
 BDA1  ACCA 1 1 
 BDC1  ACCA 1 1 
. Vì AC1 1 BBDD 1 1 nên các mặt phẳng chứa AC1 1 đều vuông góc với mặt phẳng BBDD1 1 , do đó ta 
có thêm: 
 ACB1 1  BBDD 1 1 , ACD1 1  BBDD 1 1 . 
. Vì BD1 1 ACCA 1 1 nên các mặt phẳng chứa BD đều vuông góc với mặt phẳng ACC1 A 1 , do đó ta 
có thêm: 
 BDA1 1  ACCA 1 1 , BDC1 1  ACCA 1 1 . 
 PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN 
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.'''. A B C 
a) Những cặp mặt phẳng nào song song với nhau? 2
 tại bằng chiều cao của hình lăng trụ. Bây giờ ta đậy bình lại và lật đứng lên sao cho mặt ACC'' A 
 3 
 là mặt đáy. Tính chiều cao của mực nước khi đó. 
 Bài 15: Một bình thủy tinh hình lăng trụ đứng ABC.''' A B C , đáy là tam giác ABC có 
 AB 6 cm , BC 10 cm , AC 8 cm , chiều cao CC' 12 cm . Mực nước trong bình hiện 
 2
 tại bằng chiều cao của hình lăng trụ. Bây giờ ta đậy bình lại và lật đứng lên sao cho mặt BCC'' B 
 3 
 là mặt đáy. Tính chiều cao của mực nước khi đó. 
 Bài 16: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.''' A B C là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh 
 BC a 2 và biết A' B 3 a . Tính thể tích khối lăng trụ. 
 Bài 17: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.'''' A B C D có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể 
 tích khối lăng trụ này. 
 TỰ LUYỆN 
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.DEF có ABC vuông tại A. 
a) Những cặp mặt phẳng nào song song với với nhau? 
b) Những cặp mặt phẳng nào vuông góc với nhau? 
c) Cho biết DF 2 cmAB ; 3 cmAD , 5 cm . Tính diện tích xung quanh, 
 diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ. 
d) Gọi M là trung điểm của EF . Tính độ dài các đoạn thẳng BM, AM . 
 Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng tam giác MNP. QRS . (Mỗi câu sau đây có giả thiết riêng) 
a) Nếu MPN vuông tại P có PN 2 cm ;PS 5 cm và thể tích 
 V 15 cm3 .Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ. 
b) Nếu MPN cân ở M có MN 15 cmPN ; 8 cm ; PS 22 cm . Tính 
 diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ. 
c) Nếu MPN đều có cạnh là a( cm ) . Gọi H là trung điểm của cạnh 
 SR và MHQ 600 . Tính độ dài MQ , diện tích xung quanh, toàn 
 phần và thể tích của hình lăng trụ theo a. 
 Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.EFGH, đáy ABCD là hình thang vuông ở A và B . 
 a) Hãy kể tên các cạnh song song với cạnh AD , song song với cạnh AB, các đường thẳng song song với 
 mp EFGH ;các đường thẳng song song với mp DCGH . 
 b) Cho biết AB AD 4 cm ; BC 2AD và AFE 450 .Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần 
 và thể tích của hình lăng trụ đứng. 
 Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a cm và 
 AD C 600 và DD ' a cm . 
 a) Chứng minh mp CB'D' // mp A'DB 
 b) Chứng minh mp AA'C'C // mp DD 'B'B . 
 c) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ. 
AB AA (AA'' B B là hình chữ nhật) nên AB vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AC và AA' 
của mặt phẳng AA''. C C 
Suy ra AB mp AA ' CC ' 
b) mp AA'' B B chứa AB, mà AB vuông góc với mp AA'' C C nên mp AA'' CC  mp AA ' BB' 
Bài 5: HD: 
Ta có AC aa 2 a2 cm 
Chu vi đáy hình lăng trụ 
a a a2 (2 2) a 
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ 
 2(2 2)a  a
S 2 ph (22) a2 ( cm2 ) 
 xq 2
Bài 6: 
D là trung điểm AB, suy ra CD là chiều cao tam giác đáy 
Vậy nên DB 52 4 2 25 16 9 3cm 
BB  AB , áp dụng định lí py-ta-go, ta có 
BB 52 3 2 25 9 16 4cm 
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là 
 1 
SSStp xq 2 d (5 5 6)  4 2  4.6 
 2 
 2
Stp 64 24 88 cm
Bài 7: 
Ta có AA( ABC )  AA AB và AB là hình chiếu 
của AB' trên đáy ABC và ABA' 60 
Trong ABA' ta có 
 AA AB  tan 60  a 3 
 1 a 2
S BA  BC 
 ABC 2 2
 a3 3
 Vậy V S  AA' 
 ABC 2
Bài 8: 
Diện tích xung quanh hình trụ 
Sxq 2( a a )  h (cm) 
Diện tích toàn phần của hình trụ 
 2
Stp S xq 2 S d 2( a  a ) h 2 a . a Stp 4 ah 2 a 2(2 a h a ) 
 1
Theo đề ta có SS 
 xq2 tp
 1 a
Hay 4ah 2( a a 2) h 4h a 2 h 2h a h 
 2 2
 a
Vậy chiều cao của hình trụ là (cm) 
 2
Bài 9: Độ dài đường chéo của tam giác đáy là JK HG 32 4 2 25 5cm 1 V
 mà nên diện tích hình chữ nhật là S AM.AA' cm2 
 AA' MN AMNA' 2 a
 1
 Bài 14: Diện tích tam giác đáy là S 8.6 24cm2
 2
 2
 Thể tích nước hiện tại trong hình lăng trụ là V 24.  12 192cm3
 3
 Nếu chọn đáy là thì S 8.12 96cm2
 ACC'' A d
 V 192
 Chiều cao mực nước mới là h h 2cm
 Sd 96
Vậy chiều cao mực nước mới là 2cm. 
Bài 15: 
 1
Diện tích tam giác đáy là S 8.6 24cm2
 2
 2
 Thể tích nước hiện tại trong hình lăng trụ là V 24.  12 192cm3
 3
 Nếu chọn đáy là thì S 6.12 72cm2 
 BCC'' B d
 V 192
 Chiều cao mực nước mới là h h 2,7cm
 Sd 72
Vậy chiều cao mực nước mới là 2,7cm. 
Bài 16: Ta có ABC vuông cân tại A nên AB AC a
 ABC.''' A B C là lăng trụ đứng AA  AB
 AA B AA 2 A B2 AB 2 8a 2
 AA 2 a 2
 Vậy 3
 V B  h SABC  AA a 2
 Bài 17: ABCD.'''' A B C D là lăng trụ đứng nên
 BD2 BD 2 DD 2 9a 2 BD 3a
 3a
 ABCD là hình vuông AB 
 2
 9a2
 Suy ra BS 
 ABCD 4
 Vậy 3 .
 V B  h SABCD. AA 9a