Chuyên đề Hình học luyện thi vào Lớp 10

 Tỉ số lượng giỏc của gúc nhọn
KIẾN THỨC CƠ BẢN
 A
 canhgocvuong canhgocvuong
  H
 B C
 canhhuyen
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A . Khi đú ta cú cỏc gúc B,C là gúc nhọn, đặt Cà , Bà  
thỡ  900 .
Xột gúc ta thấy: AB là cạnh đối của gúc , AC gọi là cạnh kề của gúc .
1. Cỏc tỉ số lượng giỏc của gúc nhọn (hỡnh) được định nghĩa như sau:
 AB AC AB AC
sin ;cos ;tan ;cot .
 BC BC AC AB
Nếu là gúc nhọn thỡ: 
0 sin 1;0 cos 1;tan 0;cot 0 .
2. Với hai gúc , mà  900 ,
Ta cú: sin cos;cos sin ;
tan cot ;cot tan  .
Nếu hai gúc nhọn và  cú sin sin  hoặc cos cos thỡ  .
3. sin2 cos2 1;tan .cot 1.
 1 2
4. Với một số gúc đặc biệt ta cú: sin 300 cos600 ;sin 450 cos450 
 2 2
 3 1
cos300 sin 600 ;cot 600 tan 300 ;tan 450 cot 450 1;cot 300 tan 600 3 .
 2 3
Việc chứng minh cỏc hệ thức khỏ đơn giản:
 AB AB
+) Ta cú: sin ;cos suy ra sin cos . Tương tự cho cỏc trường hợp cũn lại.
 BC BC
+) Ta cú:
 2 2 2 2
 AB AC 2 AB 2 AC 2 2 AB AC
sin ;cos sin ;cos sin cos 2 1.
 BC BC BC BC BC
 Một số vớ dụ tiờu biểu a. Khi ãACB 300 . Tớnh độ dài cỏc cạnh cũn lại của tam giỏc.
b. Khi ãACB 300 . Gọi M là trung điểm của AC . Tớnh độ dài BM .
c. Khi ãACB 300 . Cỏc đoạn thẳng AO,BM cắt nhau ở điểm G . Tớnh độ dài GC .
d. Giả sử điểm A thay đổi sao cho Bã AC 900 , BC 2a . Tam giỏc ABC phải thỏa món 
điều kiện gỡ để diện tớch tam giỏc AHO lớn nhất?
e. Giả sử CG cắt AB tại điểm N . Tứ giỏc AMON là hỡnh gỡ? Tam giỏc ABC phải thỏa 
món điều kiện gỡ để diện tớch tứ giỏc AMON lớn nhất?
 Giải
 A
 N M
 B C
 H O
 a. Khi ãACB 300 thỡ tam giỏc ABC là tam 
 1
giỏc nửa đều nờn AB BC a ,
 2
AC 2 BC 2 AB2 4a2 a2 3a2 AC a 3 .
 a 3 3 7a2
b. Theo cõu a) ta cú: AC a 3 AM BM 2 BA2 AM 2 a2 a2 
 2 4 4
 a 7
 BM .
 2
 2
c. Do G là trọng tõm của tam giỏc ABC nờn CG CN (với N là trung điểm của AB ).
 3
 a2 13a2 a 13
Áp dụng định lý Pitago ta cú: CN 2 AN 2 AC 2 3a2 CN . Suy ra 
 4 4 2
 2 a 13
CG CN .
 3 3
 2
 1 1 2 2 1 2 BC 2
d. Ta cú: SAHO AH.HO AH HO AO a . Diện tớch tam giỏc AHO lớn 
 2 2 2 4
nhất khi và chỉ khi AH HO . Tức là AHO vuụng cõn tại H . Suy ra ãACB 22030 , 
ãABC 77030 .
d. Tứ giỏc AMON là hỡnh chữ nhật nờn SAMON AM.AN . Theo bất đẳng thức Cụsi ta cú: 
 a2
AM 2 AN 2 2AM.AN MN 2 2AM.AN . Mà MN 2 OA2 a2 nờn AM.AN . Vậy 
 2 Cho tam giỏc nhọn ABC , cú cỏc đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H , gọi O là 
trung điểm của BC , I là trung điểm của AH , K là giao điểm của EF , OI biết BC 2a .
 a) Chứng minh : cỏc tam giỏc IEO , IFO là tam giỏc vuụng.
 b) Chứng minh : OI là trung trực của EF .
 c) Chứng minh: AH 2 4IK.IO .
 EF
 d) Chứng minh : cos A .
 BC
 EF FD ED
 e) Chứng minh : . . cos A.cosB.cosC
 BC AC AB
 S
 f) Chứng minh: AEF cos2 A
 SABC
 S
 g) Chứng minh : DEF 1 cos2 A cos2 B cos2 C 
 SABC
 AD
 h) Chứng minh : tan B.tan C 
 HD
 ã ã
 i) Giả sử ABC 60 , ACB 45 . Tớnh SABC theo a
 ã
 j) Gọi M là điểm trờn AH sao cho BMC 90. Chứng minh: SBMC SABC .SBHC
 GIẢI
 A
 I
 K
 F
 H
 B
 D O C
 a. Do BE , CF là cỏc đường cao của tam giỏc ABC nờn cỏc tam giỏc AEH , AFH lần 
 lượt vuụng tại E , F . Do I là trung điểm cạnh huyền AH nờn tam giỏc AIE cõn tại 
 I suy ra IãEA IãAE 1 , tam giỏc OEC cõn tạiO nờn Oã EC Oã CE 2 . Lấy 1 2 theo 
 vế ta cú IãEA Oã EC IãAE Oã CE 90 hay Oã EI 90 . Tương tự ta cũng cú Oã FI 90 .
 AH BC
 b. Do IE IF I nằm trờn trung trực của EF ,OE OF nờn O nằm trờn 
 2 2
 trung trực của EF suy ra OI là trung trực của EF . Áp dụng cụng thức tớnh diện tớch cỏc tam giỏc ta cú :
 1 1 1
 S MD.BC, S AD.BC, S HD.BC
 BMC 2 ABC 2 BHC 2
 Thay vào *** thỡ điều cần chứng minh tương đương với MD2 AD.HD
 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng BMC ta cú : MD2 DB.DC . Như vậy 
 ta quy về chứng minh : DB.DC AD.HD . Xột tam giỏc BDH và tam giỏc ADC ta cú: 
 DH BD
 Bã HD 180 Bã HE ãACD suy ra BDH ∽ ADC . Nờn hay AD.HD BD.CD 
 DC AD
 đpcm.
 Vớ dụ 5
 Cho tam giỏc ABC cú BC a, AC b, AB c. Chứng minh rằng :
 a. a2 b2 c2 2bc.cosA
 a b c
 b. S p p a p b p c ( cụng thức Heron ) với p .
 2
 c. a2 b2 c2 4 3S
 1 1 1
 S ab.sin C bc.sin A ac.sin B
 2 2 2
 a b c
 d. 2R ( với R là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC ).
 sin A sin B sin C
 Giải
 A
 E
 F
 H
 B D C
a. Dựng đường cao BE của tam giỏc ABC ta cú : c. Từ cõu b) ta cú : S p p a p b p c . Áp dụng bất đẳng thức Cụsi ta cú : 
 3
 p a p b p c p3 p3 p2
 p a p b p c . Suy ra S p. .
 3 27 27 3 3
 2 2 2
 3 a b c 2
Hay S . Mặt khỏc ta dễ chứng minh được : a b c 3 a 2 b2 c 2 . 
 12 3
 3 a2 b2 c2 
Suy ra S a2 b2 c2 4 3S . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam 
 12 3
giỏc ABC đều .
 1 AD
d. Ta cú : S AD.BC , trong tam giỏc vuụng ABD ta cúsin B AD AB.sin B 
 ABC 2 AB
 1 1 1
 thay vào ta cú S AD.BC AB.BC.sin B ac.sinB . Tương tự cho cỏc cụng 
 ABC 2 2 2
 thức cũn lại.
e. Dựng đường kớnh BK của đường trũn O ngoại tiộp tam giỏc ABC thỡ 
 Bã AK Bã CK 90 và OA OB OC R. .
 BC a
 Trong tam giỏc vuụng BKC ta cú : sin Bã KC 
 BK 2R
 Áp dụng tớnh chất gúc ngoài của tam giỏc ta cú : 
 1 1
 Bã OC 2Bã KC, Bã AC Bã AO Oã AC ãAOK ãAOx
 2 2
 1 1
Hay Bã AC Kã Ox Bã OC Bã KC . 
 2 2
 a a
Từ đú suy ra : sin ãABC sin Bã KC hay 2R
 2R sin A
 b c
Tương tự : 2R. .
 sin B sin C
Chỳ ý : Việc dựng đường kớnh AK giỳp ta tạo ra tam giỏc vuụng đẻ sử dụng tỷ số 
lượng giỏc gúc nhọn, Bã AC Bã KC là một kết quả quen thuộc trong chương 2- hỡnh 9 ( 
hai gúc nội tiếp chỏn cựng một cung ) 
 a b c
Nếu chỉ chứng minh rằng : . Ta làm đơn giản hơn như sau : 
 sin A sin B sin C A BH BD a
b. Dựng BH  AD thỡ sin . 
 2 AB AB b c
 A B C a b c 
c. Áp dụng kết quả cỏc cõu a, b ta cú: sin .sin .sin . 
 2 2 2 b c c a a b 
Theo bất đẳng thức AM GM ta cú: b c 2 bc, c a 2 ca, a b 2 ab. 
Nhõn cỏc bất đẳng thức (cú cỏc vế dương) cựng chiều ta cú: b c c a a b 8abc. 
 a b c 1 A B C 1
Suy ra hay sin .sin .sin . 
 b c c a a b 8 2 2 2 8
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c hay tam giỏc ABC đều.
c. Để chứng minh bài toỏn ta cần kết quả sau:
  sin 2 2sin .cos . 
 1
  S absin C. 
 2
*) Thật vậy xột tam giỏc vuụng ABC, àA 90, gọi O là trung điểm của BC, dựng đường 
cao AH. A
Đặt ãACB ãAOB 2 . 
 AH h AC b
Ta cú: sin sin C , cos cosC . 
 AC b BC a
 AH h 2h
sin 2 sin ãAOH . 
 AO a a 2 
 C
 2 B H O 
Từ đú ta suy ra: sin 2 2sin .cos . 
 1
*) S absin C (Xem vớ dụ 5).
 2
Trở lại bài toỏn: A
 1 à 1 A 
Ta cú: SABD AD.AB.sin A1 AD.c.sin . 
 2 2 2 1 2
 1 ả 1 A 
SACD AD.AC.sin A2 AD.b.sin . 
 2 2 2 
 1 A B C
Suy ra SABC SACD SABD AD.sin c b. D
 2 2