Chuyên đề Hình học - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 TÀI LIỆU BỒI 
DƯỠNG HỌC SINH 
 GIỎI
MÔN TOÁN 9
 Trang 1 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn
 =>C1 = E1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
 Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp 
 C 1 = E2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
 E 1 = E2 => EB là tia phân giác của góc FED.
 Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt 
 nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
 Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi 
 O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.
 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
 3. Chứng minh ED = 1 BC.
 2
 4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
 5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
 Lời giải:
 1. Xét tứ giác CEHD ta có:
  CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)
 A
 1
 O
 1
 2 E
 H 3
B 1 D C
  CDH = 900 ( Vì AD là đường cao)
 => CEH +  CDH = 1800
 Mà  CEH và  CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác 
nội tiếp 
2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE  AC =>BEA = 900.
 AD là đường cao => AD  BC =>BDA = 900.
Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 90 0 => E và D cùng nằm trên đường tròn 
đường kính AB.
 Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung 
tuyến 
 => D là trung điểm của BC. Theo trên ta có BEC = 900 .
 Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 1 BC.
 2
 4. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => 
 OA = OE => tam giác AOE cân tại O =>E1 = A1 (1).
 1
 Theo trên DE = BC => tam giác DBE cân tại D =>E3 = B1 (2)
 2
 Trang 3 Theo tính chất tiếp tuyến ta có ACAB; BDAB => AC // BD => tứ giác ACDB 
 là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là 
 đường trung bình của hình thang ACDB 
 IO // AC , mà AC  AB => IO  AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường 
tròn đường kính CD 
 CN AC CN CM
 6. Theo trên AC // BD => , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra 
 BN BD BN DM
 => MN // BD mà BDAB => MN  AB.
 7. ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên 
 suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB 
 nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là 
 CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB.
 Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường 
 tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK.
 1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.
 2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
 3. Tính bán kính đường tròn (O) BiếtAB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.
 Lời giải: (HD)
 1. Vì I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A nên BI và BK 
 là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B 
 Do đó BI  BK hayIBK = 900 . 
 Tương tự ta cũng có ICK = 900 như vậy B và C cùng nằm trên đường tròn đường 
 kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.
 2. Ta có C1 = C2 (1) ( vì CI là phân giác của góc ACH.
 0 0
 C2 + I1 = 90 (2) ( vì IHC = 90 ).
 A
 I
 1
 1
 B 2 C
 H
 o
 K
 I1 =  ICO (3) ( vì tam giác OIC cân tại O) 
 0
 Từ (1), (2) , (3) =>C1 + ICO = 90 hay AC  OC. Vậy AC là tiếp tuyến của đường 
 tròn (O).
 3. Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.
 AH2 = AC2 – HC2 => AH = 202 122 = 16 ( cm)
 CH 2 122
 CH2 = AH.OH => OH = = 9 (cm)
 AH 16
 OC = OH 2 HC 2 92 122 225 = 15 (cm)
 Trang 5 3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).
 4. Chứng minh BE = BH + DE.
Lời giải: (HD)
 1. AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) và AE = AC (2).
 Vì AB CE (gt), do đó AB vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của BEC => BEC 
 là tam giác cân. =>B1 = B2
 E D
 A
 I
 1
 2
 B H C
 2. Hai tam giác vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB 
 chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH.
 3. AI = AH và BE  AI tại I => BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I.
 4. DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
 Bài 7 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến 
 đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M.
 1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.
 2. Chứng minh BM // OP.
 3. Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là 
 hình bình hành.
 4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng 
 minh I, J, K thẳng hàng.
Lời giải: 
 1. (HS tự làm).
2.Ta có  ABM nội tiếp chắn cung AM;  AOM là góc ở tâm
 chắn cung AM => ABM = AOM (1) OP là tia phân giác  AOM ( t/c hai tiếp tuyến 
 2
 cắt nhau ) => AOP = AOM (2) 
 2
 Từ (1) và (2) => ABM =  AOP (3) 
 X
 N J
 P
 1
 I
 M
 K
 2
 A 1 ( 1 (
 O B
 Mà  ABM và  AOP là hai góc đồng vị nên suy ra BM // OP. 
 (4)
 Trang 7 3. Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM =>IAE = MAE => AE = 
 ME (lí do )
 =>ABE =MBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phân giác 
 góc ABF. (1)
 Theo trên ta có AEB = 900 => BE  AF hay BE là đường cao của tam giác ABF (2).
 Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân. tại B .
 4. BAF là tam giác cân. tại B có BE là đường cao nên đồng thời là đương 
 trung tuyến => E là trung điểm của AF. (3)
 Từ BE  AF => AF  HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia 
 phân giác HAK (5) 
 Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân. tại A có AE là đường cao nên đồng thời là 
 đương trung tuyến => E là trung điểm của HK. (6).
 Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với nhau tại 
 trung điểm của mỗi đường).
 5. (HD). Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK => tứ giác 
 AKFI là hình thang. 
 Để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn thì AKFI phải là hình thang cân. 
 AKFI là hình thang cân khi M là trung điểm của cung AB. 
 Thật vậy: M là trung điểm của cung AB =>ABM = MAI = 450 (t/c góc nội tiếp ). (7)
 Tam giác ABI vuông tại A có ABI = 450 =>AIB = 450 .(8)
 Từ (7) và (8) =>IAK = AIF = 450 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai 
 góc đáy bằng nhau).
 Vậy khi M là trung điểm của cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.
 Bài 9 Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C 
 và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E).
 1. Chứng minh AC. AE không đổi.
 2. Chứng minh  ABD =  DFB.
 3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.
Lời giải: 
 1. C thuộc nửa đường tròn nên ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => 
 BC  AE. 
 ABE = 900 ( Bx là tiếp tuyến ) => tam giác ABE vuông tại B có BC là đường cao => 
 AC. AE = AB2 (hệ thức giữa cạnh và đường cao ), mà AB là đường kính nên AB = 2R 
 không đổi do đó AC. AE không đổi.
 2. ADB có ADB = 90 0 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ).
 =>ABD + BAD = 900 (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 1800)(1)
 ABF có ABF = 900 ( BF là tiếp tuyến ).
 =>AFB + BAF = 900 (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 1800) (2)
 Trang 9 3. Tam giác SPB vuông tại P; tam giác SMS’ vuông tại M =>B1 = S’1 (cùng phụ với 
 S). (3)
 Tam giác PMS’ cân tại P =>S’1 = M1 (4)
 Tam giác OBM cân tại O ( vì có OM = OB =R) =>B1 = M3 (5).
 Từ (3), (4) và (5) =>M1 = M3 =>M1 + M2 = M3 + M2 mà M3 + M2 = AMB 
 0 0
 = 90 nên suy ra M1 + M2 = PMO = 90 => PM  OM tại M => PM là tiếp tuyến của 
 đường tròn tại M
Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC). CạnhAB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) tại 
các điểm D, E, F . BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng minh :
 1. Tam giác DEF có ba góc nhọn.
 BD BM
 2. DF // BC. 3. Tứ giác BDFC nội tiếp. 4. 
 CB CF
 Lời giải: 
 1. (HD) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AD = AF => tam giác ADF cân tại A 
 =>ADF = AFD sđ cung DF DEF < 900 ( vì góc DEF nội tiếp 
 chắn cung DE). 
 Chứng minh tương tự ta có DFE < 900; EDF < 900. Như vậy tam giác DEF có ba 
 góc nhọn.
 AD AF
 2. Ta có AB = AC (gt); AD = AF (theo trên) => => DF // BC.
 AB AC
 3. DF // BC => BDFC là hình thang lại có  B = C (vì tam giác ABC cân) 
 => BDFC là hình thang cân do đó BDFC nội tiếp được một đường tròn .
 A
 D F
 O
 I
 B M E C 4. Xét hai tam giác BDM và CBF Ta có  DBM = BCF ( 
 hai góc đáy của tam giác cân).
 BDM = BFD (nội tiếp cùng chắn cung DI);  CBF = BFD (vì so le) =>BDM = 
 CBF .
 BD BM
 => BDM  CBF => 
 CB CF
 Bài 12 Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với 
 nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O). CM cắt (O) tại N. Đường thẳng 
 vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở P. Chứng minh :
 1. Tứ giác OMNP nội tiếp.
 2. Tứ giác CMPO là hình bình hành.
 3. CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
 Trang 11