Chuyên đề Hình học - Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 7 
Bài 1: Cho Tam giác ABC nhọn, AH là đường cao, về phía ngoài của tam giác vẽ các ABE vuông cân 
ở B và ACF vuông cân tại C, Trên tia đối của tia AH, lấy điểm I sao cho AI=BC. CMR: 
a, ABI= BEC 
b, BI = CE và BI vuông góc với CE 
c, Ba đường thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại 1 điểm 
 Bài làm : 
 I
a, Ta có : 
IAB=1800 − BAH = 180 0 −( 90 0 − ABC) =900 +ABC = EBC 
Và AB= BE,(..) AI = BC = ABI = BEC c g c 
b, Theo câu a ta có : 
 F
 ABI = BEC = BI = EC, ECB = BIA A
hay ECB= BIH , E
Gọi M là giao điểm của của CE và BI, Ta có : M
MBC+ MCB = BIH + IBH = 900 =>CE⊥ BI 
c, Chứng minh tương tự: BF⊥ AC , B H C
Trong BIC có AH, CE,BF là đường cao 
Nên đồng quy tại 1 điểm. 
Bài 2: Cho ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM, trên nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ là đường thẳng 
AB, vẽ AE vuông góc với AB và AE=AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B vẽ AD vuông góc với 
AC và AD=AC 
a, CMR: BD=CE 
b, Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN=MA, CMR : ADE= CAN 
 AD22+ IE
c, Gọi I là giao của DE và AM, CMR: =1 A
 DI22+ AE
 Bài làm: 
a, Chứng minh ABD = AEC( c.. g c) E
=> BD=EC I
b, Chứng minh CMN = BMA( c.. g c) D
=>CN=AB B M C
và ABC= NCM , có: DAE= DAC + BAE − BAC =9000 + 90 − BAC 
=1800 − BAC (1) 
Và ACN= ACM + MCN = ACB + ABC =1800 − BAC (2) 
Từ (1) và (2) ta có: 
DAE= ACN 
 N
CM : ADE = CAN( c.. g c) 
c, ADE = CAN cmt = ADE = CAN 
 ( ) 
mà DAN+ CAN =9000 = DAN + ADE = 90 Hay DAI+ ADI =900 = AI ⊥ DE 
Áp dụng định lý py-ta-go cho AID và AIE có: 
 AD22+ IE
AD2− DI 2 = AE 2 − EI 2 = AD 2 + EI 2 = AE 2 + DI 2 = =1 
 DI22+ AE
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 1 
Bài 5: Cho ABC nhọn, trên nửa mp bờ AB không chứa C, dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB và 
AD= AB, trên nửa mp bờ AC không chứa B, dừng AE vuông góc AC và AE=AC, vẽ AH vuông góc với 
BC, đường thẳng HA cắt DE ở K, CMR: K là trung điểm của DE 
 Bài làm : 
Trên AK lấy điểm H sao cho AH=BC H
Ta có : 
KAE= ACH Vì cùng phụ với góc HAC E
Nên EHA = ABC( c.. g c) K
= AB = HE ( Hai cạnh tương ứng) D
Và HEA= BAC , 
 A
mà : BAC+ DAE =18000 = HEA + DAE = 180 
Do đó : AD//HE 
Khi đó : KAD = KHE( g.. c g) = KD = KE 
 B C
 H
Bài 6: Cho ABC có góc A nhọn, về phía ngoài tam giác ABC vẽ BAD vuông cân tại A và CAE 
vuông cân tại A, CMR: 
a, DC=BE và DC vuông góc với BE 
b, BD2+ CE 2 = BC 2 + DE 2 
c, Đường thẳng qua A và vuông góc với DE cắt BC tại K, CMR: K là trung điểm của BC 
 Bài làm: 
a, ABE = ADC =>DC=BE E
Tự chứng minh DC⊥ BE Q
b, ta có: CE2= ME 2 + MC 2 = DB 2 = MD 2 + MB 2 D
DE2= MD 2 + ME 2 = BC 2 = MB 2 + MC 2 
=> BD2+ CE 2 =( MD 2 + MB 2) +( ME 2 + MC 2 ) A
=> BC2+ DE 2 =( MB 2 + MC 2) +( MD 2 + ME 2 ) 
 2 2 2 2 M
=> BD+ CE = BC + DE 
c, Trên AC lấy điểm P sao cho AP=DE, Ta cm: ADE = CPA 
=> CP= AD = CP = AB, 
Chứng minh : P= BAK = ABK = PCK B K C
=> CPK = BAK = BK = KC 
 P
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 3 
Bài 10: Cho ABC có A 900 , vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB, 
AE vuông góc và bằng AC, Gọi H là trung điểm của BC, CMR: HA vuông góc với DE 
 Bài làm: 
Trên AH lấy N sao cho AH=HN D
=> AHC = NHB( c.. g c) = BN = AC = AE M
ta có: EAD+ CAB =18000 , ABN + CAB = 180 E
=> EAD= NBA 
 2
=> EAD = NBA = N = E = A1 
 0 0 0 A 1
Mà AAEAM1+ 2 =90 = + 2 = 90 = = 90 = AM ⊥ ED 
 B
 C H 
 N 
Bài 11: Cho ABC có ba góc nhọn, đường cao AH, ở miền ngoài tam giác ta vẽ các tam giác vuông cân 
 ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông, kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH, (M, N thuộc 
AH) 
a, CMR: EM+HC=NH 
b, EN//FM 
 Bài làm: 
a, Ta chứng minh NAF= HCA (Cạnh huyền góc nhọn) M E
nên FN=AH và NA=CH (1) 1
Tương tự ta chứng minh AHB= EMA (Cạnh huyền góc nhọn) 
 1 I
=> AH=ME, F
Nên EM+HC=AH+NA=NH( đpcm) N
b, Từ AH=FN =>ME=FN 
=> FNI= EMI (g.c.g) => IM=IN và IF=IE 
 A
=> FIM= EIN( c.g.c)=> FE11= , lại ở vị trí so le nên EN//FM 
 C H B
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 5 
Bài 14: Cho ABC có A 900 , vẽ ra phía ngoài các tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng 
AB, AE vuông góc và bằng AC 
a, CMR: DC=BE và DC vuông góc BE 
b, Gọi N là trung điểm của DE, trên tia đối của tia NA, lấy M sao cho NA=NM, CMR: AB=ME và 
ABC = EMA 
c, CMR: MA ⊥ BC M
 E
 N
 D
 A
 B C
 H
Bài 15: Cho ABC cân tại A và cả ba góc đều là góc nhọn 
a, Về phía ngoài cảu tam giác vẽ ABE vuông cân ở B, Gọi H là trung điểm của BC, trên tia đối của tia 
HA lấy điểm I sao cho AI=BC, CMR: ABI= BEC và BI⊥ CE 
b, Phân giác của ABC, BDC cắt AB và BC lần lượt tại D và M, Phân giác BDAcắt BC tại N, CMR: 
 1
BD= MN 
 2 I
HD: 
Xét hai AIB và BCE có: 
AI=BC(gt) 
BE=BA(gt) 
 A
IAB là góc ngoài của ABH nên: 
 IAB= ABH + AHB = ABH = 900 
Ta có: EBC= EBA + ABC = ABC = 900 , E D
Do đó: IAB= EBC 
Do đó: ABI= BEC(c.g.c) N
 B H M C F
Do ABI= BEC(c.g.c) nên AIB= BCE 
Trong IHB vuông tại H có AIB+= IBH 900 do đó: BCE+= IBH 900 vậy CE vuông góc với BI 
b, Do tính chất của đường phân giác ta có: DM⊥ DN 
Gọi F là trung điểm của MN, ta có: FM=FD=FN 
 FDM cân tại F nên FMD= MDF 
FMD=+ MBD BDM (Góc ngoài của ) =+MBD CDM 
=> MBD= CDF (1) 
ta có: MBD=+ CDF CFD (2) 
Do ABC cân tại A nên MCD= 2 MBD (3) 
 1
Từ (1), (2) và (3) suy ra: MBD= DFC hay DBF cân tại D, do đó: BD== DF MN 
 2
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 7