Chuyên đề Hình chữ nhật Toán Lớp 8

 HÌNH CHỮ NHẬT 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
• Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. 
 Tứ giác ABCD là hình chữ nhật 
 A B C D 900 . 
* Nhận xét: Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành, một hình thang cân. 
* Tính chất: 
- Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành. 
- Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình thang cân. 
- Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. 
* Dấu hiệu nhận biết: 
-Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. 
- Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật. 
- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. 
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. 
* Áp dụng vào tam giác vuông: 
- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. 
- Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam 
giác vuông. 
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
A.CÁC DANG BÀI MINH HỌA CB-NC 
Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật 
Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết đê chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật. 
 b) Qua A kẻ đường vuông góc với EF , cắt BC ở I . Chứng minh I là trung điểm của BC . 
Dạng 3: Vận dụng định lý thuận và định lý đảo của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của 
tam giác vuông. 
Phương pháp giải: Sử dụng định lí về tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền cả tam giác 
vuông để chứng minh các hình bằng nhau hoặc chứng minh tam giác vuông 
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của 
 AB, AC . Chứng minh: 
a) IHK 900 ; 
b) Chu vi IHK bằng nửa chu vi ABC. 
Bài 7: Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By 
song song với AC. Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối M với trung điểm P của AB, 
đường MP cắt AC tại Q và BQ cắt AI tại H . 
a) Tứ giác AMBQ là hình gì? 
b) Chứng minh rằng CH⊥ AB. 
c) Chứng minh tam giác PIQ cân. 
Dạng 4: Tìm điều kiện để tứ giác là hình chữ nhật 
Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa, các tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình chữ nhật. 
Bài 8: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F , G , H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh 
 AB, BC , CD , DA . Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác EFGH là hình chữ nhật? 
Bài 9: Cho tam giác ABC. Gọi O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. M, N , P , Q lần lượt 
là trung điểm của các đoạn thẳng OB, OC , AC , AB . 
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành. 
b) Xác định vị trí của điểm O để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. 
 HƯỚNG DẪN 
Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật 
 Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các cạnh AC, BC lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho 
 AP CQ. Từ điểm P vẽ PM song song với BC M AB . 
a) Chứng minh PM CQ . 
b) Chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật. 
 Bài giải 
 A
 P M
 B
 C Q
a) Ta có: A B ( vì ABC vuông cân tại C ) 1 
Vì PM// BC nên PM A B ( hai góc đồng vị) 2 
Từ 1 , 2 suy ra A PM A ( vì cùng bằng B ) 
 APM cân tại P AP PM ( hai cạnh bên bằng nhau) 
 AP CQ gt 
Ta có: PM CQ 
 AP PM
 PM// CQ
b) Ta có: PCQM là hình bình hành ( tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng 
 PM CQ
nhau) 
Lại có C 90o 
Vậy PCQM là hình chữ nhật. 
Bài 3: Cho tam giác ABC , các trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G . Gọi P là điểm đối xứng 
của M qua G , gọi Q là điểm đối xứng của N qua G . 
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao? 
 K F
 I
 A 2 1 B
 1 H 1
 E
 O
 D C 
a) FHA FKA HAK 90o AHFK là hình chữ nhật. 
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD . 
 EF EC gt 
Ta có: OE là đường trung bình của CAF . 
 OA OC
 AF// OE hay AF// BD 
c) Gọi I là giao điểm của AF và HK . 
Ta có: H1 A1 H1 A2 B1 A1 KH// AC , 
Mà KH đi qua trung điểm I của AF KH đi qua trung điểm của FC . 
Mà E là trung điểm của FC K,,HE thẳng hàng. 
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông ở A , đường cao AH . Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc 
 kẻ từ H đến AB, AC . 
a) Tứ giác EAFH là hình gì? 
b) Qua A kẻ đường vuông góc với EF , cắt BC ở I . Chứng minh I là trung điểm của BC . 
 Bài giải 
 A
 F
 O
 E
 C
 B H I
 Tương tự KHA HAK (2) 
Từ (1) và (2) suy ra IHA KHA IAH HAK 90o (gt) 
Vậy IHK 90o . 
b) Ta có: 
 AB
 HI ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông AHB )(3) 
 2
 AC
 IK ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông AHC )(4) 
 2
 AC
 IK ( đường trung bình của tam giác ABC )(5) 
 2
 AB AC BC AB AC BC P
Từ (3), (4), (5) suy ra : P IH HK IK ABC . 
 IHK 22222
Vậy chu vi IHK bằng nửa chu vi ABC. 
Bài 7: Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By 
song song với AC. Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối M với trung điểm P của AB, 
đường MP cắt AC tại Q và BQ cắt AI tại H . 
a) Tứ giác AMBQ là hình gì? 
b) Chứng minh rằng CH⊥ AB. 
c) Chứng minh tam giác PIQ cân. 
 Bài giải 
 A
 Q
 P H
 y
 M
 C
 x B I
 Vậy EFGH là hình bình hành 3 
Để EFGH là hình chữ nhật thì HEF 90o HE EF AC BD . 
Bài 9: Cho tam giác ABC. Gọi O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. M, N , P , Q lần lượt 
là trung điểm của các đoạn thẳng OB, OC , AC , AB . 
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành. 
b) Xác định vị trí của điểm O để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. 
 Bài giải 
 A
 Q P
 O
 M N
 B C
a) Ta có: 
 1
 PQ là đường trung bình của tam giác ABC PQ// BC , PQ BC (1) 
 2
 1
 MN là đường trung bình của tam giác OBC MN//BC , MN BC (2) 
 2
Từ (1) và (2) suy ra QP//M N ,QP MN 
 MNPQ là hình bình hành. 
b) Để MNPQ là hình chữ nhật thì cần QM N 90o 
Mà MN//BC QM BC 
Hơn nữa: QM// AO nên AO BC . 
Vậy để MNPQ là hình chữ nhật là O nằm trên đường cao xuất phát từ đỉnh A của ABC . 
B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN 
B.DẠNG BÀI NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY 
 * Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước 
Bài 11. Cho góc xOy có số đo bằng 30 . Điểm A cố định trên tia Ox sao cho OA 2 cm . Lấy 
điểm B bất kì trên tia Oy . Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho BC 2 BA. Hỏi khi điểm 
 B di động trên tia Oy thì điểm C di động trên đường nào? 
Bài 12. Cho góc xOy có số đo bằng 45. Điểm A cố định trên tia Ox sao cho OA 3 2 cm . Lấy 
điểm B bất kì trên tia Oy . Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB . Hỏi khi điểm B di động trên tia 
 Oy thì điểm G di động trên đường nào? 
 HƯỚNG DẪN 
Bài 1. (h.5.10) 
Tứ giác AEMF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật . 
 AE MF 
Tam giác FMC vuông tại F,C 45 nên là tam giác vuông cân CF MF . Do đó AE CF . 
Tam giác ABC vuông cân, AD là đường cao nên đồng thời là đường 
 1
trung tuyến, đường phân giác nên AD DC BC; EAD FCD 45 . 
 2
 EDA FDC cgc.. DE DF và EDA FDC 
Ta có: ADF FDC 90 ADF EDA 90 hay EDF 90 . 
Do đó DEF vuông cân E F 45 ;EDF 90 . 
Bài 2. (h.5.11) 
Gọi O là giao điểm của AC và BD , ta có OA OC 
 1
Vì AD AC nên AD AO 
 2
Vẽ AH OD, OK AB. 
Xét AOD cân tại A, AH là đường cao AH cũng là đường trung 
tuyến, cũng là đường phân giác.