Chuyên đề Hình chữ nhật - Bồi dưỡng HSG Toán 8

 ễN TẬP HèNH CHỮ NHẬT
A. Túm tắt lý thuyết
 A B
1. Định nghĩa: Hỡnh chữ nhật là tứ giỏc cú bốn gúc 
vuụng
 ABCD
 ABCD là hỡnh chữ nhật 
 ˆ ˆ ˆ ˆ D C
 A B C D
- Nhận xột: Hỡnh chữ nhật cũng là 1 hỡnh bỡnh hành, 1 hỡnh thang cõn
2. Tớnh chất: Hỡnh chữ nhật cú tất cả cỏc tớnh chất của hỡnh bỡnh hành và hỡnh thang cõn
- Tớnh chất về cạnh: Cỏc cạnh đối bằng nhau, song song với nhau 
- Tớnh chất về gúc: Bốn gúc bằng nhau
- Tớnh chất về đường chộo: Hai đường chộo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi 
đường
3. Dấu hiệu nhận biết 
- Tứ giỏc cú ba gúc vuụng là hỡnh chữ nhật
- Hỡnh thang cõn cú 1 gúc vuụng là hỡnh chữ nhật
- Hỡnh bỡnh hành cú 1 gúc vuụng là hỡnh chữ nhật
- Hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh chữ nhật 
4. Ứng dụng vào tam giỏc vuụng A
- Trong tam giỏc vuụng, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 
 M
 1
bằng nửa cạnh huyền, ta cú: BM AC
 2
 B C
- Nếu một tam giỏc cú đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa 
cạnh ấy thỡ tam giỏc đú là tam giỏc vuụng
 1
Nếu BM AC ABC vuụng 
 2
B. Bài tập 
 1 Bài 3: 
Cho hỡnh chữ nhật ABCD và điểm E thuộc 
 A B
đoạn BD , gọi F là điểm đối xứng với A E
qua E . Gọi H, K lần lượt là hỡnh chiếu của 
 F
 O H
F lờn BC,CD . Chứng minh rằng E, H, K I
thẳng hàng 1 1
 D M C K
 Lời giải
Ta cú HKCF là hỡnh chữ nhật 
 HK, FC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
 EI là đường trung bỡnh CFA EI / / AC (1) 
+) Gọi M là trung điểm của DK nờn EM là đường trung bỡnh hỡnh thang ADKF
 ả ả à
 EM / /FK EM  CD DEK cõn tại E D1 K1 C1 EK / / AC (2) 
 E, I, K :thanghang
Từ (1)(2) E, H, K thẳng hàng 
 H IK
 Bài 4: 
Cho hỡnh chữ nhật ABCD . Gọi H là hỡnh 
 A B
chiếu của A lờn B , gọi M , N lần lượt là 
 F
trung điểm của HD, BC . CMR: AM  MN N
 H
 M
 D C
 Lời giải
Gọi E là trung điểm của AH nờn ME là đường trung bỡnh của
 1 1
 AHD ME / / AD;ME AD BC BN BEMN 
 2 2
Là hỡnh bỡnh hành BE / /MN (1)
 3 +) Gọi N, H là trung điểm của EM , CD NH là đường trng bỡnh hỡnh thang EDCM 
 NH  CD
 HD HC  NI NK
 1 1
+) DI IH HK KC HI HK NIK cõn tại N 1 NK NM NI NM
 NK EM 2 2
 DI KC  2
 EIM vuụng tại I EI  MI
 Bài 7: 
 Cho hỡnh chữ nhật ABCD , kẻ BH  AC , gọi 
 A B
 M là trung điểm của AH, K là trung điểm 
 của CD . Chứng minh rằng BM  MK I
 M
 H
 D K C
 Lời giải
 Qua M kẻ đường thẳng vuụng gúc với BC , cắt BH tại I
 Ta cú: MI / / AB / /CD
 M là trung điểm của AH nờn MI là đường trung bỡnh của
 1 MI / /CK
 MI AB 
 ABH 2 1 MICK là hỡnh bỡnh hành MK / /CI (1)
 MI CK CD
 IH IB 2
 Trong MBC cú I là trực tõm CI  MB(2) BM  MK dpcm 
 5 1 1
b) MBK cú MD IC BK Bã MK 900
 2 2
 1 1
 MBK cú MD IC BK Bã MK 900
 2 2
 Bài 10: 
Cho ABC vuụng cõn tại A cú AH là A
đường cao, Gọi M là 1 điểm bất kỳ trờn 
 K
cạnh BC, I và K là hỡnh chiếu vuụng gúc 
của M trờn AB, AC . Chứng minh rằng 
 I
 IHK vuụng cõn. 1
 2
 3
 B M H C
 Lời giải
Chứng minh AIMK là hỡnh chữ nhật
Vỡ ABC vuụng cõn tại A AK IM BI
Mà BH HA Hã BI Hã AK 450
 BHI AHK cgc IH HK
 ả ả 0 ả ả 0
Mà H3 H2 90 H1 H2 90
 Bài 11: 
Cho ABC vuụng tại A AC AB , đường A
cao AH , trờn HC lấy HD HA , đường  
BC tại D cắt AC tại E
 E
a) Chứng minh rằng AE AB F
b) M là trung điểm của BE , Tớnh ãAHM M
 C
 B H D
 7 Khi đú 3 điểm A, H, K thẳng hàng và A là trung điểm của HK
b) Tứ giỏc AIDJ là hỡnh bỡnh hành
 M là trung điểm của AD thỡ M nằm trờn đường chộo của hỡnh bỡnh hành.
 Bài 13: 
Cho hỡnh chữ nhật ABCD và E là điểm nằm A B
trờn đường chộo AC , trờn tia đối của tia EB 1
lấy F sao cho EF BE , Gọi M , N là hỡnh 
 O
chiếu của F trờn 2 đường thẳng AD,éC . 
 2 N
Chứng minh rằng D
 1 C
a) DF / / AC;MN / /BD I
 1 1
b) 3 điểm E, M , N thẳng hàng M F
 Lời giải
a) Dễ thấy OE là đường trung bỡnh của BDF DF / /OE DF / / AC
 à ả à ả ả
 A1 D1 (Đồng vị ) OAD cõn A1 D2 D1
 ả ả
 IDM cõn D1 M1
 ả ả
 D2 M1 (đồng vị) MN / /BD
b) I là trung điểm DF IE là trung bỡnh IE / /BD mà MN / /BD
Vậy M , N, E thẳng hàng
 Bài 14: 
Cho hỡnh chữ nhật ABCD , điểm P thuộc đường chộo BD ( P khỏc B và D ), Gọi M là 
điểm đối xứng của C qua P
a) Chứng minh AM song song với BD
b) Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của M trờn AD và AB . Chứng mỉnh ba điểm E, F, P 
thẳng hàng
 9 Cho ABC vuụng tại A , đường cao AH , 
 B
 I
trung tuyến AM , Gọi D và E theo thứ tự là 1 H
 D
chõn đường vuụng gúc kẻ từ H đến AB, AC , 
 M
 K
. Chứng minh rằng O
 3
a) AH DE 2 1
 1 2 3
 C
 A E
b) Hã AB Mã AC
c) AM  DE
d, DI / /EK , với I là trung điểm của HB, K , 
là trung điểm của HC .
 Lời giải
a) Tứ giỏc ADHE cú 3 gúc vuụng nờn là hỡnh chữ nhật AH DE
b) ABC vuụng tại A , Cú AM là đường trung tuyến AM MB MC
 ACM cõn tại M Mã AC Cà
Mặt khỏc Hã AB Cà Vỡ cựng phụ với Hã AC Hã AB Mã AC Cà 
 à ả 0
c) Chứng minh AM  DE , ta cú A1 E2 90 , 
 ả à ả à ả à 0
Ta cú: E2 A1 E2 A3 E2 E1 90
 ả à à
d) Ta cú HEC cú EK HK CK EKC cõn tại K E3 C A1
 EK / / AM KE  DE . Chứng minh tương tự DI  DE DI / /EK
 Bài 16: 
Cho ABC đều cú cạnh bằng 4cm, M và N A
là cỏc điểm lần lượt chuyển động trờn hai 
cạnh BC và AC sao cho BM CN Q
 H
a) Tớnh diện tớch ABC 
 N
b) Xỏc định vị trớ của M và N để độ dài 
 P
MN nhỏ nhất . Tỡm độ dài nhỏ nhất đú?
 B C
 M
 11