Chuyên đề Hình bình hành Toán Lớp 8

 HÌNH BÌNH HÀNH 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
• Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song. 
 Tứ giác ABCD là 
 hình bình hành 
 AB// CD
 AD//BC
* Tính chất: Trong hình bình hành: 
- Các cạnh đối bằng nhau. 
- Các góc đối bằng nhau. 
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. 
* Dấu hiệu nhận biết: 
- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành. 
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành. 
- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. 
- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành. 
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành. 
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
A.CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 
Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học. 
Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình bình 
hành. 
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD . Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD . 
 a) Chứng minh rằng AF / / CE . 
 b) Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của BD với AF, CE . Chứng minh rằng: 
 DM MN NB . 
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo, E và F theo thứ tự là trung 
điểm của OD và OB. 
 a) Chứng minh rằng AE // CF . 
 1
 b) Gọi K là giao điểm của AE và DC . Chứng minh rằng DK KC . 
 2
Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành 
Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình bình hành. 
 b) Gọi AC BD O 
Xét ADC có DO;A F là trung tuyến; AFDO M 
 M là trọng tâm của ADC 
 22
 DM DO BO(1)
 33
 (doDO BO ) 
 11
 OM DO BO(2)
 33
Xét ABC có: BO; CE là trung tuyến, BO CE N 
 N là trọng tâm của ABC 
 2
 BN BO(3)
 3
 1
 ON BO(4)
 3
 112
Từ (2) và (4) MN OM ON BO BO BO(5) 
 333
Từ (1); (3) và (5) 
 DM BN MN (đpcm). 
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo, E và F theo thứ tự là trung 
điểm của OD và OB. 
 a) Chứng minh rằng AE // CF . 
 1
 b) Gọi K là giao điểm của AE và DC . Chứng minh rằng DK KC . 
 2
Hướng dẫn giải 
 a) AC BD O DO BO 
 E; F là trung điểm của DO và BO nên:
 DE EO OF FB 
 Xét tứ giác AFCE , có: 
 AC EF O 
 OA OC 
 OE OF
 AFCE là hình bình hành (dhnb) 
 Tương tự, ta có GH là đường trung bình của ACD 
 GH AD(3)
 
 1 
 GH AD(4)
 2
 1 và 3 EF GH 
  tứ giác GFEH là hình bình hành. 
 2 và 4 EF GH  
 11
 b) Ta có: GH EF AD a 
 22
 11
Tương tự: FG HE BC b 
 22
 11 
 Chu vi của tứ giác GFEH là: a b .2 a b 
 22 .
Bài 4. Cho ABC , trực tâm H. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C 
cắt nhau tại D. CMR: 
 a) BDCH là hình bình hành. 
 0
 b) BAC BDC 180 
 c) H, M , D thẳng hàng ( M là trung điểm của BC ). 
Hướng dẫn giải 
 CH AB
 a) Ta có  CH BD(1) 
 BD AB 
 BH AC
 Lại có  BH CD(2 ) 
 CD AC 
 Từ (1) và (2) BHCD là hình bình hành. 
 b) Tứ giác ABCD có: 
 BAC ABD BDC ACD 360
 BAC 90 BDC 90 360  
 BAC BDC 180 (dpcm).
 c) Vì BHCD là hình bình hành nên BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường 
ta có: M là trung điểm của BC 
 O;;HG thẳng hàng. 
 e) AB CD 4 cm 
 Chứng minh được GH là đường trung bình của DEC 
 11
 GH DC .4 2 cm 
 22 .
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD . Lấy N AB, M CD sao cho AN CM . 
 a) CMR: AM // CN . 
 b) CMR: DN BM. 
 c) CMR: AC, BD , MN đồng quy. 
Hướng dẫn giải 
 a) Xét tứ giác ABCD, có 
 AN CM
 AN CM(do AB CD )
 ANCM Là hình bình hành 
 AM CN . 
 b) Ta có: 
 BN AB AN
 DM DC CM
 Mà AB DC, AN CM 
 BN DM 
 Mà BN DM (do AB CD ) 
 BNDM là hình bình hành 
 DN BM . 
 c) Gọi AC BD O(1) 
 O Là trung điểm của AC và BD 
 Ta có ANCM là hình bình hành; O là trung điểm của đường chéo AC 
 O Là trung điểm của MN 
 O MN (2) 
 Từ (1) và (2) AC, BD, MN đồng quy. 
C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CB-NC 
Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh tính chất hình học 
1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điếm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh: 
 a) BE = DF và ABE CDF ; b) BE // DF. 
 10. Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với 
AC tại C cắt nhau ở D. 
a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành. 
b) Tính số đo góc BDC , biết BAC = 60°. 
11. Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Từ C vẽ CE vuông góc với AB. Nối E với trung điểm 
M của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE cắt BC tại N. 
a) Tứ giác MNCD là hình gì? 
b) Tam giác EMC là tam giác gì? 
c) Chứng minh BAD 2 AEM . 
 HƯỚNG DẪN 
 1. 
 a) Ta chứng minh được BEDF là hình bình hành BE = DF và 
 EBF CDF . 
 Cách khác: AEB = CFD (c.g.c) suy ra BE = DF và ABE CDF . 
 b) Vì BEDF hình bình hành ĐPCM. 
 2.a) Chứng minh được AKCI là hình bình hành ADI = CBK (c-
 c-c-) ADM = CBN (g-c-g) 
 b) Vì AKCI là hình bình hành ĐPCM. 
 c) Từ câu a) DM= NB. Mặt khác MN = NB (định lý 1 của đường 
 trung bình), từ đó suy ra ĐPCM. 
 3. Ta chứng minh AH//CK, AH = CK ( AHD = CKB) AHCK 
 là hình bình hành (cặp cạnh đối song song và bằng nhau). 
 4. Ta có AOK = COH OK =OH, DOE = BOF OE = OF 
 EHFK là hình bình hành. 
 1
 5. Gọi I trung điểm LE. Ta có DL//EN//OB và DL = EN = OB 
 2
 DENL là hình bình hành. Tương tự chứng minh LMEF là hình bình 
 hành. Từ đó suy ra EL,FM, DN đồng quy tại I. 
 6. Chứng minh được AKCI là hình bình hành ĐPCM. 
 a) Chứng minh rằng CM CN; 
b) Trên AC lấy một điểm O. Hãy so sánh OM với ON. 
 Nhận biết hình bình hành 
Bài 7. Cho đoạn thẳng PQ và một điểm A ở ngoài đường thẳng PQ. Vẽ hình hình hành ABCD có 
đường chéo BD PQ và BD PQ . Chứng minh rằng mỗi đường thẳng BC và CD luôn đi qua một 
điểm cố định. 
Bài 8. Trong tất cả các tứ giác với hai đường chéo có độ dài m và n cho trước và góc xen giữa hai 
đường chéo có độ lớn cho trước hãy xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất. 
 Dựng hình bình hành 
Bài 9. Cho tam giác ABC. Dựng điểm M AB , điểm N AC sao cho MN BC và BM AN . 
Bài 10. Dựng hình bình hành ABCD biết vị trí các điểm A và vị trí các trung điểm M, N của BC và 
CD. 
 Hướng dẫn giải 
Bài 1. (h.4.6) 
Vẽ hình bình hành DAEF. Khi đó AF đi qua M. 
Gọi H là giao điểm của MA với BC. 
Ta có: EF AD AB. 
 AEF DAE 180 mà BAC DAE 180 nên 
 AEF BAC. 
 AEF CAB gcg..  A1 C1. 
Ta có: A1 A2 90 C1 A2 90  H 90 . 
 CA CB HA HB HC. 
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được: 
 2 AB BC CA 3 HA HB HC 
 3
Do đó AB BC CA HA HB HC . 
 2
Bài 4. (h.4.9) 
Qua O dựng một đường thẳng song song với BC cắt AB và CD lần lượt tại E và G. Qua O dựng một 
đường thẳng song song với CD cắt AD tại H. 
Qua E dựng một đường thẳng song song với OC cắt BC tại F. 
Khi đó tứ giác EFGH thỏa mãn đề bài. 
Thật vậy, các tứ giác AEOH, HOGD là những hình thang cân. 
 OA EH; OD HG. (1) 
Tứ giác EFCO là hình bình hành OC EF (2) 
và OE CF . Suy ra OG BF 
Vậy tứ giác OBFG là hình bình hành OB GF. (3) 
Từ (1), (2), (3) suy ra tứ giác EFGH thỏa mãn đề bài. 
Bài 5. (h.4.10) 
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vẽ 
 OO  xy. 
Ta có: AA  BB  CC  DD  OO . 
Xét hình thang AA C C có OA OC 
và OO  AA nên O A O C . 
Do đó OO là đường trung bình của 
 AA CC 
hình thang AA C C OO hay AA CC 2 OO . 
 2
Xét hình thang DD B B , cũng chứng minh tương tự, ta có: BB DD 2 OO . 
Từ đó suy ra: AA CC BB DD .