Chuyên đề Hình bình hành - Bồi dưỡng HSG Toán 8

 HèNH BèNH HÀNH
A. Lí THUYẾT
1. Định nghĩa: Hỡnh bỡnh hành là tứ giỏc cú cỏc cặp cạnh đối A B
song song
 ABCD
 ABCD là hỡnh hỡnh hành 
 AB // CD, AD // BC
 D C
 - Chỳ ý: Hỡnh bỡnh hành là hỡnh thang đặc biệt cú hai cạnh H1
bờn song song
2. Tớnh chất: Trong hỡnh bỡnh hành
- Tớnh chất về cạnh: Cỏc cạnh đối bằng nhau 
- Tớnh chất về gúc: Cỏc gúc đối bằng nhau
- Tớnh chất về đường chộo: Hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
3. Dấu hiệu nhận biết 
- Tứ giỏc cú cỏc cạnh đối song song là hỡnh bỡnh hành
- Tứ giỏc cú cỏc cạnh đối bằng nhau là hỡnh bỡnh hành
- Tứ giỏc cú hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hỡnh bỡnh hành
- Tứ giỏc cú cỏc gúc đối bằng nhau là hỡnh bỡnh hành
- Tứ giỏc cú hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hỡnh bỡnh hành
4. Mở rộng
- Hai hỡnh bỡnh hành cú một đường chộo chung thỡ cỏc đường chộo của chỳng đồng quy tại 
trung điểm của đường chộo chung.
 A B
 K
 O H
 D C
 1 Bài 3: 
Cho tam giỏc ABC và một điểm I thuộc A
miền trong của tam giỏc. Gọi M , N, P lần 
 F
 E
 BC,CA, AB N
lượt là trung điểm của . Gọi P
 I
 D, E, F lần lượt là cỏc điểm đối xứng với I 
qua M , N, P . Chứng minh rằng cỏc đường B M C
thẳng AD, BE,CF đồng quy. D
 Lời giải
+) Tứ giỏc ABIF là hỡnh bỡnh hành (hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 
 FA// BI(1)
+) Tứ giỏc BICD là hỡnh bỡnh hành
 BI // CD(2)
Từ (1)(2) FA / / CD(1) FACD là hỡnh bỡnh hành AD,CF cắt nhau tại trung điểm của 
mỗi đường (3)
Tương tự: ABDE là hỡnh bỡnh hành AD, BE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (4)
Từ (3)(4) ta cú điều phải chứng minh.
 Bài 4: 
Cho ABC , O là 1 điểm thuộc miền trong A
tam giỏc. D, E, F là trung điểm của 
 AD, BC,CA . L, M , N lần lượt là trung điểm L
 D F
của OA,OB,,OC . 
 O
Chứng minh răng EL, FM , DN đồng quy N
 M
 B E C
 Lời giải
 3 Bài 6: 
 Cho ABC , cú cỏc trung tuyến AD, BE,CF . A
 Biết rằng BE  CF . 
 Chứng minh rằng: AD2 BE 2 CF 2
 E
 M
 Sử dụng phương phỏp dịch chuyển tức thời F
 G
 B D C
 Lời giải
 MC BE
 Dựng hỡnh bỡnh hành BEMC 
 MC / /BE MC  CF(BE  CF)
 ME / /BC
 FE / /CB(duongTB )
 Vậy M , E, F thẳng hàng
 1
 +) FE BC
 2
 1 3
 FM ME FE BC BC BC(1)
 2 2
 AD 3GD
 3
 Mặt khỏc: 1 AD BC(2)
 BGC :GD BC 2
 2
 MF AD MF 2 AD2 
 Từ (1)(2) AD2 FC 2 BE 2 (dpcm)
 2 2 2 
 Pytago : FM FC MC  
 Bài 7: 
Cho hỡnh bỡnh hành ABCD . Về phớa trong hỡnh bỡnh hành dựng cỏc tia Ax, By,Cz, Dt lần lượt 
tạo với AB, BC,CD, DA cỏc gúc bằng nhau và bằng . Cỏc tia này cắt nhau tạo thành tứ giỏc 
 MNPQ . Chứng minh rằng AC, BD, MP, NQ đồng quy
 5 1 
 EI A
 2 
 1 EI JF
 JE CH  EIJF : hinhbinhhanh
 2 EI / /JF
 AB CH 
 
 JI FE(2) HD 2FE(dpcm)
 Bài 9: 
Cho tam giỏc ABC . Gọi A' đối xứng với A B'
qua C , B ' đối xứng với B qua A , C ' đối 
xứng với C qua B . Gọi BM là trung tuyến 
 I A
của tam giỏc ABC , B 'M ' là trung tuyến của 
 M
tam giỏc A' B 'C ' G
 J
a. Chứng minh tứ giỏc ABM 'M là hỡnh bỡnh C'
 C B
hành
 M'
b. G là giao điểm của BM và B 'M ' . Chứng 
minh rằng G là trọng tõm tam giỏc ABC và A'
 A' B 'C '
 Lời giải
 1 1
a. BM ' / / A'C BM ' / / AC AM ABMM ': hinhbinhhanh
 2 2
b. Gọi I là trung điểm của B'G, J là trung điểm của BG
Suy ra IJ là đường trung bỡnh của tam giỏc GBB ' 
 1 JI / / AB
 JI / / BB ' 
 2 JI AB JI / / MM ' JIMM ': hinhbinhhanh
Suy ra G là trung điểm của IM '
 GM ' GI IB '
MJ G..................... ABC, A' B 'C '
 GM GJ JB
 7 M là trung điểm của BC và HK
 BHCK là hỡnh bỡnh hành
 BH / /CK BK / /CH
 ; BH  AC CK  AC ; AB  BK
 CH / /BK CH  AB
Gọi I ' là trung điểm của AK
 I ' N là đường trung bỡnh của tam giỏc ACK I ' N // CK ' I ' N  AC 
 Gọi P là trung điểm của AB I ' P là đường trung bỡnh của tam giỏc ABK
 I ' P / /BK I ' P  AB 
 I ' N :trungtruc : AC 
Cú:  I  I ' K đối xứng với A qua I .
 I ' P  AB I ' P :trungtruc : AB
 Bài 12: 
Cho ABC , về phớa ngoài tam giỏc vẽ cỏc E
tam giỏc đều ABD, ACE . Gọi I, M , N lần lượt 1
là trung điểm của DE, AB, AC . 
 A
 I
 F
Chứng minh rằng IMN đều 1
 M N
 D
 1 C
 B
 Lời giải
Dựng phương phỏp phúng to tam giỏc IMN
 FE AD BD
Gọi F là điểm đối xứng với A qua I ADFE là hỡnh bỡnh hành 
 DF AE CE
 BF FC
+) ãADF ãAEF Dả Eà ( 600 ãADF) FEC BDF(cgc) 
 1 1 à à
 F1 B1
 ã 0 à ã ã 0 ã ã ã 0 0 ã 0 ã
+) BFC 360 F1 BFD DFE 360 DBF BFD DFE 360 (180 BDF) (180 ADF)
 Bã DF ãADF ãADB 600 BFC đều
 9 Bài 14: 
Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú àA 1200 , tia 
 D H C
phõn giỏc gúc D đi qua trung điểm I của 
 AB . Kẻ AH vuụng gúc với DC . CMR: M
a) AB 2AD
b) DI 2AH A I B
c) AC vuụng gúc AD
 Lời giải
 1
a) ADI cõn tại đỉnh A AD AI AD AI AB
 2
 1
b) Kẻ  AH  DC, AM  DI ADM ADH AH DM DI
 2
c) ACD cú Dà 600 CD 2.AD ADC vuụng tại A
 Bài 15: 
Cho hỡnh bỡnh hành ABCD , lấy hai điểm A I K
 B
 BD 1
E, F trờn BD sao cho BE DF 
 2 E
a) Chứng minh AECF là hỡnh bỡnh hành O
b) Gọi K là giao điểm của CE và AB , I là F
 1
 D
trung điểm của AK , xỏc định vị trớ điểm E C
sao cho AI IK KB
 Lời giải
 à ả
a) Xột ABE và CDF ta cú: AB CD, B1 D1 và BE CF
 ABE CDF(cgc) AE CF
Chứng minh tương tự AF CE AECF là hỡnh bỡnh hành
 OA OC BK IK
b) Ta cú OI / /CK , khi đú E là trung điểm OB
 AI KI KE / /IO
 11 Lời giải
 1
Gọi N là trung điểm của HD , ta cú MN là đường trung bỡnh MN DC, MN / /DC
 2
 1
Mà AB / /DC, AB DC
 2
nờn AB / /MN và AB MN ABMN là hỡnh bỡnh hành AN / /BM
 ADM cú DH  AM , MN  AD, AN  DM
Khi đú Bã MD 900
 Bài 18: 
Cho hỡnh thang vuụng ABCD , àA Dà 900 , 
 A B
CD 2AB 2AD . Gọi H là hỡnh chiếu của H
 D lờn AC . Gọi M , N, P lần lượt là trung 
 P
điểm của CD,CH và DH Q
a) Chứng minh tứ giỏc ABMD là hỡnh 
 D C
vuụng và tam giỏc BCD là tam giỏc vuụng M
cõn
b) Chứng minh DMPQ là hỡnh bỡnh hành
c) Chứng minh AQ  DP
 Lời giải
a) Chứng minh tứ giỏc ABMD cú 4 cạnh bằng nhau, lại cú àA 900 nờn ABMD là hỡnh vuụng
 BCD cú MB MC MD nờn là tam giỏc vuụng, lại cú Bã DC 450
Do đú BCD là tam giỏc vuụng cõn ở B
b) Tứ giỏc DMPQ là hỡnh bỡnh hành vỡ cú PQ / /DM và PQ DM
c) Chứng minh Q là trực tõm của ADP
 13