Chuyên đề Hệ trục tọa độ trong không gian - Hình học 12

 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 
 3 
 TRONG KHÔNG GIAN 
 CHƯƠNG 
 BÀI 1. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
1. Hệ trục toạ độ trong không gian 
 Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox,, Oy Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung 
 một điểm gốc O. Gọi i,, j k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox,, Oy Oz . Hệ ba 
 trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian. 
 2 2 2
 Chú ý: i j k 1 và i. j i . k k . j 0. 
2 Toạ độ của vectơ 
 a) Định nghĩa: u xyz;; u xiyjzk 
 b) Tính chất: Cho a ( a1 ; a 2 ; a 3 ), b ( b 1 ; b 2 ; b 3 ), k 
 a b (;;) a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 
 ka (;;) ka1 ka 2 ka 3 
 ab11 
 a b a22 b 
 ab33 
 0 (0;0;0),i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1) 
 a cùng phương bb( 0) a kb() k 
 a11 kb
 aa12a3
 a2 kb 2 , ( b 1 , b 2 , b 3 0) 
 b1 b 2 b 3
 a33 kb
 a.... b a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 a b a1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 0 
 2 2 2 2 222
 a a1 a 2 a 3 a a1 a 2 a 2 
 ab. a b a b a b
 cos(ab , ) 1 1 2 2 3 3 (với ab,0 ) 
 2 2 2 2 2 2
 ab. a1 a 2 a 3. b 1 b 2 b 3
3 Tọa độ của điểm 
 a) Định nghĩa: Mxyz(;;)... OM xi yj zk (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) 
 Chú ý: M Oxy z 0; M Oyz x 0; M Oxz y 0 
 MOx yz0; MOy xz 0; MOz xy 0 . 
 b) Tính chất: Cho A( xAAABBB ; y ; z ), B ( x ; y ; z ) 
 AB (;;) xBABABA x y y z z 
1 
 DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN VECTƠ, CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ, SỰ 
 ĐỒNG PHẲNG 
 Ví dụ 1 
 Ví 
Trong không gian Oxyz 
a. Cho u 23 i j k . Tìm tọa độ của u . 
 b. Cho vectơ a 2 i j 2 k . Tính độ dài của vectơ a . 
 Lời giải 
a. Theo định nghĩa tọa độ của một vectơ ta có u 2; 3; 1 
b. Ta có: a 22 i j k aa(2; 1; 2) 22 ( 1) 2 ( 2) 2 3.
 Ví dụ 2 
 Ví 
Trong không gian Oxyz , cho các vectơ a 1; 1;2 , b 3;0; 1 và c 2;5;1 . 
a. Tìm tọa độ của vectơ u a b c . b. Tìm tọa độ của vectơ v 23 a b c 
 Lời giải 
a. Ta có u a b c 13 2;105;211 6;6;0 . 
 . 
b. Ta có v 2 a 3 b c 2.1 3.3 2 ;2. 1 3.0 5;2.2 3. 1 1 9;3;8 
 Ví dụ 3 
 Ví 
Trong không gian Oxyz , cho a 2;2;0 , b 2;2;0 , c 2;2;2 . 
 1
a. Tính abc . b. Tính a b c . 
 2
 Lời giải 
a. Ta có abc 2;6;2 abc 22 6 2 2 2 44 2 11 . 
 1 1 2
 Ví dụ 12 b. Ta có a b c 3;1;1 a b c 3 122 1 11 . 
 2 2
 Ví dụ 4 
 Ví 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có ba đỉnh A 2;1; 3 , B 4;2;1 , 
C 3;0;5 và G a;; b c là trọng tâm của tam giác ABC . Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ? 
 Lời giải 
3 
 Ta thấy phương trình 2mm2 2 4 0 có 90 nên phương trình 2mm2 2 4 0 có hai 
 nghiệm phân biệt nên ta có 2 giá trị m thỏa mãn. 
 Ví dụ 8 
 Ví 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 3;2;8 , N 0;1;3 và Pm 2; ;4 . Tìm m 
để tam giác MNP vuông tại N . 
 Lời giải 
Ta có NM 3;1 ; 5 , NP 2; m 1 ; 1 . 
Do tam giác MNP vuông tại N nên NM. NP 0 6 m 1 5 0 m 10 . 
 Ví dụ 9 
 Ví 
Trong không gian với tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1;2 , B 1;3; 9 . Tìm tọa độ điểm M
 thuộc Oy sao cho ABM vuông tại M . 
 Lời giải 
Ta có: M Oy Ma 0; ;0 . 
MA 1;1 a ;2 , BM 1; a 3;9 . 
 ABM vuông tại M MA.0 BM 1 (1 aa )( 3) 18 0 
 a 2 2 5
 aa2 4 16 0 . 
 a 2 2 5
 Ví dụ 10 
 Ví 
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm ABC( 2;0;0), (0; 2;0), (0;0; 2) . Tìm tọa độ 
điểm D khác gốc tọa độ O(0;0;0) sao cho ABCD là tam diện vuông tại D . 
 Lời giải 
Gọi D(;;) x y z và AD ( x 2;;), yzBD (; xy 2;), zCD (;; xyz 2). 
Ta có DA,, DB DC đôi một vuông góc nhau nên 
 AD.0 BD x( x 2) y ( y 2) z2 0
 4
 ADCD. 0 xx ( 2) yzz2 ( 2) 0 xyz 
 3
 x2 y( y 2) z ( z 2) 0
 BD.0 CD 
 444
Vậy tọa độ điểm cần tìm là D ;; . 
 333
 Ví dụ 11 
 Ví 
5 
Tính cosin của góc giữa AB và CD . 
 Lời giải 
 AB 2;2; 2 . 
CD 2; 2; 1 . 
 AB. CD 2 .2 2. 2 2 . 1 3
Ta có: cos AB , CD . 
 AB. CD 12. 9 3
 Ví dụ 15 
 Ví 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lăng trụ đứng ABC. A B C có A 0;0;0 , 
B 2;0;0 , C 0;2;0 và A 0;0;2 . Tính số đo góc giữa BC và AC . 
 Lời giải 
Gọi C (;;) a b c ; CC ( a ; b 2; c ) ; AA (0;0;2). 
 aa 00
Ta có CC AA b 2 0 b 2 C (0;2;2) và BC 2;2;2 ; AC 0;2; 2 . 
 cc 22
Lúc đó BC . A C ( 2).0 2.2 2.( 2) 0 BC  A C . 
Hay góc giữa và bằng 90. 
 Ví dụ 16 
 Ví 
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm M 2;3; 1 ; N 1;1;1 ; P 1; m 1;2 . Tìm 
m để tam giác MNP vuông tại N . 
 Lời giải 
Ta có: NM 3;2; 2 , NP 2; m 2;1 
 MNP N NM.0 NP 3.2 2. m 2 2.1 0 m 0 . 
 Ví dụ 17 
 Ví 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho véc tơ u 1;1; 2 , v 1;0; m . Tìm tất cả giá trị của 
m để góc giữa u , v bằng 45 . 
7 
 Ví dụ 21 
 Ví 
 2 
Cho ab 2; 5, góc giữa hai vectơ a và b bằng , u ka b; v a 2 b . Tìm k để u vuông 
 3
góc với v . 
 Lời giải 
 2 
uvkabab. 245021 k k ab cos 0.
 3
 45 
 6kk 45 0 . 
 6
 Ví dụ 22 
 Ví 
Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm ABCD 0;1;1 , 1;0;2 , 1;1;0 , 2;1; 2 . 
 a) Chứng minh rằng: ABCD,,, là 4 đỉnh của một hình tứ diện. 
 b) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC , kẻ từ đỉnh A . 
 c) Tính thể tích tứ diện ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng ABC 
 Lời giải 
a) Ta có BA 1;1; 1 , BC 0;1; 2 , BD 3;1; 4 . 
Suy ra BA, BC 1;2;1 , BA, BC . BD 5 0 . 
Do đó 4 điểm ABCD,,, không đồng phẳng, nên nó là 4 đỉnh của một tứ diện. 
 1 12 22 6
b) Ta có diện tích tam giác ABC là SABC BA, BC 1 2 1 
 2 2 2
 2S 6
Suy ra độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC là: AH ABC 
 BC 5
 15
c) Thể tích khối tứ diện ABCD là V BA,. BC BD 
 ABCD 66 
Khoảng cách từ D đến ABC bằng độ dài đường cao kẻ từ D xuống đáy ABC . 
 3V 5
Suy ra d D, ABC ABCD . 
 SABC 6
 Ví dụ 23 
 Ví 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD với A 0;0;1 , B 0;1;0 , C 1;0;0 và 
 D 2;3; 1 . Thể tích khối tứ diện ABCD bằng 
 Lời giải 
Ta có: 
9