Chuyên đề hệ thức Viet và ứng dụng - Toán 9

 CHUYN Đ 
Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai 
1.1. Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có một nghiệm là 1 hoặc – 1 
Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau: 
 a) 3x2 + 8 x − 11 = 0 b) 2x2 + 5 x + 3 = 0 
1.2. Cho phương trình bậc hai, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm, tìm 
nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số chưa biết của phương trình: 
Ví dụ 2: 
 a) Phương trình x2 −2 px + 5 = 0 có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm còn lại của 
phương trình. 
b) Phương trình x2 +5 x + q = 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm còn lại của 
phương trình 
c) Phương trình x2 −7 x + q = 0 biết hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của 
phương trình 
d) Phương trình x2 − qx +50 = 0 có hai nghiệm trong đó một nghiệm gấp đôi nghiệm kia, 
tìm q và hai nghiệm đó. 
* Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình: 
a) 5x2 + 24 x + 19 = 0 b) x2 −( m + 5) x + m + 4 = 0 
Bài 2: Xác định m và tìm nghiệm còn lại của phương trình 
 a) x2 + mx −35 = 0 biết một nghiệm bằng – 5 
 b) 2x2 − ( m + 4) x + m = 0 biết một nghiệm bằng – 3 
 c) mx2 −2( m − 2) x + m − 3 = 0 biết một nghiệm bằng 3 
2. Dạng 2: Lập phương trình bậc hai 
2.1. Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm 
Ví dụ 1: Lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm là 3 và 2 
 3+ 1 1
Ví dụ 2: Cho x1 = ; x2 = 
 2 1+ 3
 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm: x1; x2. 
2.2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm 
của một phương trình cho trước. 
 2
Ví dụ 1: Cho phương trình x−3 x + 2 = 0 có hai nghiệm x1; x 2 . 
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 1 Bài tập áp dụng: 
 2
Bài 1: Cho phương trình 8x− 72 x + 64 = 0 có hai nghiệm x1; x 2 hãy tính 
 2 2 1 1
 a) x1+ x 2 b) + 
 x1 x 2
 2
Bài 2: Cho phương trình x−14 x + 29 = 0 có hai nghiệm x1; x 2 hãy tính 
 3 3 1−x1 1 − x 2
 a) x1+ x 2 b) + 
 x1 x 2
4.2. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc tham 
số 
Ví dụ 1: Cho Phương trình mx2 −(2 m + 3) x + m − 4 = 0 ( m là tham số) 
 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x 2 
 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x 2 không phụ thuộc vào m 
 2
Ví dụ 2: Gọi x1; x 2 là nghiệm của phương trình (m− 1) x − 2 mx + m − 4 = 0 
Chứng minh biểu thức A=3( x1 + x 2 ) + 2 x 1 x 2 − 8 không phụ thuộc giá trị của m 
Bài tập áp dụng: 
 2
Bài 1: Cho phương trình x−( m + 2) x + 2 m − 1 = 0 có hai nghiệm x1; x 2 . Hãy lập hệ thức 
liên hệ giữa x1; x 2 sao cho chúng độc lập (không phụ thuộc) với m 
Bài 2: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009) 
 Cho phương trình x2−2( m + 1) x + m 2 − 1 = 0(1) 
 a) Giải phương trình (1) khi m = 7 
 b) Tìm tất cả các giá trị m để (1) có nghiệm. 
 c) Tìm hệ thức kiên hệ giữa hai nghiệm x1; x 2 của (1) sao cho hệ thức đó không phụ 
thuộc tham số m 
4.3. Tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức nghiệm cho trước. 
Ví dụ 1: Cho phương trình mx2 −6( m − 1) x + 9( m − 3) = 0 Tìm giá trị của tham số m để 
phương trình có hai nghiệm x1; x 2 thỏa mãn x1+ x 2 = x 1 x 2 
Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 −2( m − 4) x + m + 7 = 0 . Tìm giá trị của tham số m để 
phương trình có hai nghiệm x1; x 2 thỏa mãn x1−2 x 2 = 0 
 2 2
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 3x+ 4( m − 1) x + m − 4 m + 1 = 0 có hai nghiệm x1; x 2 thỏa 
 1 1 1
mãn + =()x1 + x 2 
 x1 x 2 2
Ví dụ 4: Cho phương trình x2 −2( m − 1) x + 2 m − 5 = 0 
Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1; x2 với mọi m. 
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện: 
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 3 4.4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức nghiệm 
Ví dụ 1: Cho phương trình: x2−( m − 1) x − m 2 + m − 2 = 0 
 2 2
Gọi 2 nghiệm của phương trình là x1 và x2. Tìm giá trị của m để x1+ x 2 đạt giá trị nhỏ 
nhất. 
Ví dụ 2: Cho phương trình x2 – 2(m+4)x + m2 - 8 = 0 (1) trong đó m là tham số. 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn : A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt GTLN. 
Ví dụ 3: Cho phương trình x2 + 2x – m = 0 (1) . (x là ẩn, m là tham số) 
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm. Gọi x1, x2 là hai nghiệm (có 
 4 4
thể bằng nhau) của phương trình (1). Tính biểu thức P = x1 + x2 theo m, tìm m để P 
đạt giá trị nhỏ nhất. 
Ví dụ 4: Cho a, b, c là 3 số thực thoả mãn điều kiện: 
  > 0a
 
 a c
 =
 b a Tìm GTNN của a (Xác định b, c khi a min) 
 
 abccba
  =++
Ví dụ 5: Cho phương trình: x2 − mx + m −1 = 0 
 Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn 
nhất của biểu thức sau: 
 2x1 x 2 + 3
 B = 2 2 
 x1+ x 2 +2() x 1 x 2 + 1
Bài tập áp dụng: 
 2 2
Bài 1: Tìm m để phương trình x−2( m − 4) x + m − 8 = 0 có hai nghiệm x1; x 2 thỏa mãn: 
 a) A= x1 + x 2 − 3 x 1 x 2 đạt giá trị lớn nhất 
 2 2
 b) B= x1 + x 2 − x 1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất 
 2
Bài 2: Cho phương trình x+(4 m + 1) x + 2( m − 4) = 0 có hai nghiệm x1; x 2 . 
 2
 Tìm m để A=() x1 − x 2 đạt giá trị nhỏ nhất 
Bài 3: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT 2004 – 2005) 
 Cho phương trình (m4+1) x 2 − m 2 x − ( m 2 − 2 m + 2) = 0 (1) 
 a) Giải phương trình (1) khi m = 1 
 b) Gọi x1; x 2 là nghiệm của phương trình (1).Tìm giá trị lớn nhất của x1+ x 2 
Bài 4: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009) 
Cho phương trình x2−(3 m − 1) x + 2( m 2 − 1) = 0 (1), (m là tham số) 
 a) Giải phương trình (1) khi m = 2 
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 5 Bài 3: Cho phương trình x2 −2( m + 3) x + 4 m − 1 = 0 
 a) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương 
 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m 
Bài 4 : Xác định m để phương trình 
 a) mx2 −2( m + 2) x + 3( m − 2) = 0 có hai nghiệm cùng dấu 
 b) (m− 1) x2 − 2 x + m = 0 có ít nhất một nghiệm không âm 
 Chúc các con ôn tập tốt ! 
Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 7