Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông Toán 9 Chân trời sáng tạo

 301
 Chương 4. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUễNG
 Chỷỳng
 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUễNG4
 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUễNG
 Baõi 1 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GểC NHỌN
 AA TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
 1 Khỏi niệm tỉ số lượng giỏc của gúc nhọn
 Cho gúc nhọn α. X²t tam giĂc ABC vuụng tÔi A cú gúc nhọn B bơng α. Ta cú: C
 ○ T¿ số giỳa cÔnh đối và cÔnh huyãn gọi là sin cừa α, kẵ hiằu sin α.
 uyãn
 ○ T¿ số giỳa cÔnh kã và cÔnh huyãn gọi là cụsin cừa α, kẵ hiằu cos α. h
 cÔnh
 ○ T¿ số giỳa cÔnh đối và cÔnh kã cừa gúc α gọi là tang cừa α, kẵ hiằu tan α. cÔnh đối
 α
 ○ B A
 T¿ số giỳa cÔnh kã và cÔnh đối cừa gúc α gọi là cụtang cừa α, kẵ hiằu cot α. cÔnh kã
 o cÔnh đối cÔnh kã cÔnh đối cÔnh kã
 ○ sin α = ; ○ cos α = ; ○ tan α = ; ○ cot α = ;
 cÔnh huyãn cÔnh huyãn cÔnh kã cÔnh đối
 1
 ○ cot α = ;
 tan α
 ○ sin α, cos α, tan α, cot α gọi là cĂc t¿ số lượng giĂc cừa gúc nhọn α.
 o sin, cụsin cừa gúc nhọn luụn dương và b² hơn 1 vẳ trong tam giĂc vuụng, cÔnh huyãn dài nhĐt.
 Ta cú bÊng cĂc giĂ trị lượng giĂc đặc biằt:
 α sin α cos α tan α cot α
 p p
 1 3 3 p
 30◦ 3
 2 2 3
 p p
 2 2
 45◦ 1 1
 2 2
 p p
 3 1 p 3
 60◦ 3
 2 2 3
 2 Tỉ số lượng giỏc của hai gúc phụ nhau
 Náu hai gọc phụ nhau thẳ sin gúc này bơng cụsin gúc kia, tang gúc này bơng C
 cụtang gúc kia.
 o Cho α và β là hai gúc phụ nhau, khi đú
 sin α = cos β, cos α = sin β, tan α = cot β, cot α = tan β. α β
 A B
 Tờng quĂt, với gúc nhọn α ta cú:
301/476 301/476 303
 Chương 4. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUễNG
 Biát BĐm phẵm Kát quÊ BĐm tiáp x
 ◦ 0
 sin α1 = 0;3214 q j0 . 3 2 1 4 = 18;74761209 18 44 51;4"
 ◦ 0
 a) cos α2 = 0;4321 q k0 . 4 3 2 1 = 64;39909458 64 23 56;74"
 ◦ 0
 tan α3 = 1;2742 q l1 . 2 7 4 2 = 51;87495892 51 52 29;85"
 ◦ 0
 cot α4 = 1;5384 q l1 . 6 3 8 4 u = 33;02491482 33 1 29;69"
 ◦ 0 ◦ 0 ◦ 0 ◦ 0
 Làm trỏn đến phỳt ta được: α1 ≈ 18 45 , α2 ≈ 64 24 , α3 ≈ 51 52 , α4 ≈ 33 1 .
 Biát BĐm phẵm Kát quÊ BĐm tiáp x
 sin α = 0;3782 q j0 . 3 7 8 2 = 22;222231 22◦13020;03"
 b) cos α = 0;6251 q k0 . 6 2 5 1 = 51;31047244 51◦18037;7"
 tan α = 2;154 q l2 . 1 5 4 = 65;09679426 65◦5048;46"
 cot α = 3;253 q l3 . 2 5 3 u = 17;08787556 17◦5016;35"
 ◦ 0 ◦ 0 ◦ 0 ◦ 0
 Làm trỏn đến phỳt ta được: α1 ≈ 22 13 , α2 ≈ 51 19 , α3 ≈ 65 6 , α4 ≈ 17 5 .
 □
 | Dạng 2. Tớnh tỉ số lượng giỏc của gúc nhọn trong một tam giỏc vuụng
 Ą Vớ dụ 3.
 Cho hẳnh thoi ABCD cú hai đường ch²o cưt nhau tÔi điểm O. B
 OB OB
 a) T¿ số là sin cừa gúc nhọn nào? T¿ số là cụsin cừa gúc nhọn
 AB BC O
 nào? A C
 b) Viát t¿ số lượng giĂc cừa mội gúc nhọn sau: tan OCD’ , cot OAD’ .
 D
 ɓ Lời giải.
 Hẳnh thoi ABCD cú hai đường ch²o cưt nhau tÔi điểm O nản AC vuụng gúc với BD tÔi O.
 OB OD
 a)Tam giĂc OAB vuụng tÔi O nản = sin OAB’. b) Tam giĂc OCD vuụng tÔi O nản tan OCD’ = .
 AB OC
 OB OA
 Tam giĂc OBC vuụng tÔi O nản = cos OBC’ . Tam giĂc OAD vuụng tÔi O nản cot OAD’ = .
 BC OD
 □
 Ą Vớ dụ 4.
 Tẵnh cĂc t¿ số lượng giĂc cừa gúc α trong tam giĂc ABC ở hẳnh v³ bản. A
 12 9
 α
 B C
 15
 ɓ Lời giải.
 X²t tam giĂc ABC vuụng tÔi A, B“ = α, ta cú
 AC 9 AB 12
 sin α = = = 0;6; cos α = = = 0;8;
 BC 15 BC 15
 AC 9 AB 12 4
 tan α = = = 0;75; cot α = = = .
 AB 12 AC 9 3 □
 Ą Vớ dụ 5. Tẵnh cĂc t¿ số lượng giĂc cừa gúc nhọn A trong mội tam giĂc vuụng ABC cú B“ = 90◦ ở hẳnh sau.
303/476 303/476 305
 Chương 4. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUễNG
 Ą Vớ dụ 8.
 Tẵnh t¿ số lượng giĂc cừa gúc B trong hẳnh bản. B
 5
 A 12 C
 ɓ Lời giải.
 Ta cú BC2 = AB2 + AC2 = 52 + 122 = 169 ) BC = 13.
 AC 12 AB 5 AC 12 AB 5
 Do đú sin B = = ; cos B = = ; tan B = = ; cot B = = .
 BC 13 BC 13 AB 5 AC 12 □
 Ą Vớ dụ 9. Cho tam giĂc MNP vuụng tÔi M, MN = 3 cm, MP = 4 cm. Tẵnh cĂc t¿ số lượng giĂc cừa gúc
 P .
 ɓ Lời giải.
 p p
 2 2 2 2
 pTrong tam giĂc MNP vuụng tÔi M, ta cú NP = MN + MP = 3 + 4 = M
 25 = 5:
 X²t tam giĂc MNP vuụng tÔi M, ta cú
 MN 3 MP 4
 sin P = = ; cos P = =
 NP 5 NP 5
 MN 3 MP 4
 tan P = = ; cot P = = : N P
 MP 4 MN 3
 □
 Ą Vớ dụ 10. 4ABC vuụng tÔi A cú BC = 2AB. Tẵnh cĂc t¿ số lượng giĂc cừa gúc C.
 ɓ Lời giải.
 p
 Ta đặt AB = m thẳ BC = 2m, suy ra AC2 = BC2 − AB2 = 4m2 − m2 = 3m2 ) AC = m 3.
 AB m 1
 Ta cú sin C = = = ; B
 BC 2mp 2 p
 AC m 3 3
 cos C = = = ;
 BC 2m 2
 AB m 1
 tan C = = p = p ;
 AC m 3 3
 p
 AC m 3 p
 cot C = = = 3: A C
 AB m
 □
 Ą Vớ dụ 11. Tam giĂc ABC cƠn tÔi A, cú BC = 6, đường cao AH = 4. Tẵnh cĂc t¿ số lượng giĂc cừa gúc B.
 ɓ Lời giải.
 p
 Ta cú BH = 6 : 2 = 3; AB = 42 + 32 = 5.
 AH 4
 Do đú sin B = = = 0; 8;
 AB 5 A
 BH 3
 cos B = = = 0; 6;
 AB 5
 AH 4
 tan B = = ; 4
 AB 3
 BH 3
 cot B = = = 0; 75: H
 B C
 AH 4 6
 □
305/476 305/476