Chuyên đề Hệ phương trình - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 DẠNG IV: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
§Ò bµi 1: Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau :
 5x 2y 9 x 2y 5 x 3 7x y 3 7y
a) b) c) 
 2 2 2 2
 4x 3y 2 x 2y 2xy 5 x y x y 2
 1 3
 2 x y xy 7
d) x 2 y ( §Æt Èn phô ) e) ( ®èi xøng lo¹i 
 2 2
 2 1 x y 3x 3y 16
 1
 x 2 y
1 )
 2x2 y 3y2 2 3x2 2xy y2 11
f) ( ®èi xøng lo¹i 2 ) g) ( ®¼ng cÊp 
 2 2 2 2
 2y x 3x 2 x 2xy 5y 25
bËc hai )
Gi¶i :
 x 1 x 1
a) 5x 2y 9 15x 6y 27 23x 23 2 4
 4x 3y 2 8x 6y 4 4x 3y 2 4 1 3y 2 y 2
 3
VËy hÖ cã mét nghiÖm lµ : ( x ; y ) = ( -1 ; 2 )
 x 2y 5 x 5 2y x 5 2y
 b) 2 2 2 2 2 2 2
 x 2y 2xy 5 5 2y 2y 2 5 2y y 5 25 20y 4y 2y 10y 4y 5
 x 5 2y x 5 2y 1 
 2 2
 10y 30y 20 0 y 3y 2 0 2 
Ph­¬ng tr×nh (2) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai cã a + b + c = 0 nªn cã hai nghiÖm lµ 
 c
 y 1; y 2
 1 2 a
Víi y = y1 = 1 thay vµo (1) ta cã x = 5 – 2.1 = 3
Víi y = y2 = 2 thay vµo (1) ta cã x = 5 – 2.2 = 1
VËy hÖ ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ( x ; y ) lµ ( 3 ; 1 ) vµ ( 1 ; 2 )
 3 3 3 3 x y x2 xy y2 7 x y 0
 c) x 7x y 7y x y 7x 7y 0 
 2 2 2 2 2 2
 x y x y 2 x y x y 2 x y x y 2
 x y x2 xy y2 7 0 1 
 2 2
 x y x y 2 2 
Tõ (1) => x - y = 0 hoÆc x2 + xy + y2 + 7 = 0
 • NÕu x – y = 0 x = y thay vµo (2) ta cã : x2 x2 x x 2 x2 x 1 0
 2
 1 4.1. 1 5 0 . Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt : 
 1 5 1 5
 x ; x 
 1 2 2 2 1 5 1 5
 A 2 ; A 3 => HÖ ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm ( 2 ; -3 ) vµ ( -3 ; 
 1 2 2 2
2 )
 ❖ Víi S = S2= 2 ta cã P = -7 - 2 = -9 . => Tù lµm tiÕp.
KÕt luËn : HÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm lµ :
( 2 ; -3 ) , ( -3 ; 2 ) , 1 10 ;1 10 , 1 10 ;1 10 
 2x2 y 3y2 2 1 
 f) 
 2 2
 2y x 3x 2 2 
Trõ tõng vÕ hai ph­¬ng tr×nh cña hÖ ta cã : 
 2(x2 - y2 )-(x-y ) = 3(y2 -x2 ) 2 x y x y x y 3 x y x y 0
 x-y 2x 2y 1 3x 3y 0 x y 5x 5y 1 0 x-y=0
 5x 5y 1 0
 ❖ NÕu x - y = 0  x = y thay vµo (1) ta cã 2x2 + x = 3x2 - 2  x2 - x - 2 = 
 0 
 Ph­¬ng tr×nh cã d¹ng a – b + c = 0 nªn cã hai nghiÖm lµ x1 = -1 , x2 = 2
  HÖ ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = y = -1 vµ x = y = 2
 1 5x
 ❖ NÕu 5x + 5y – 1 = 0 y thay vµo (1) ta cã : 
 5
 2
 2 1 5x 1 5x 2 2 2
 2x 3. 2 50x 5 25x 3 1 10x 25x 50 25x 5x 52 0
 5 5 
 52 4.25. 52 5225 0
 5 5225 1 209 5 5225 1 209
 Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x ; x 
 1 50 10 2 50 10
 1 209 1 209 1 209
 Víi x = x1 = ta cã y = (1 – 5. ) : 5 = 
 10 10 10
 1 209 1 209 1 209
 Víi x = x2 = ta cã y = (1 – 5. ) : 5 = 
 10 10 10
 KÕt luËn : HÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 4 nghiÖm ( x ; y ) lµ : 
 1 209 1 209 1 209 1 209 
 1; 1 , 2;2 , ; , ;
 10 10 10 10 
Chó ý :NÕu hÖ ®èi xøng bËc 3 th× c¸ch lµm vÉn thÕ nh­ng lêi gi¶i dµi vµ khã 
h¬n rÊt nhiÒu cÇn quan s¸t kÜ xem ë b­íc thø hai cã c¸ch nµo ®¬n gi¶n kh«ng
 2 2 2 2 2 2
 3x 2xy y 11 1 25. 3x 2xy y 25.11 75x 50xy 25y 275
 g) 
 x2 2xy 5y2 25 2 2 2 11x2 22xy 55y2 275
 11. x 2xy 5y 11.25 
 75x2 50xy 25y2 11x2 22xy 55y2 64x2 28xy 30y2 0 32x2 14xy 15y2 0 * 
 3x2 11
 Víi y = 0 thay vµo hÖ ph­¬ng tr×nh ta cã : 2 ( hÖ v« nghiÖm)
 x 25
 Víi y 0 chia hai vÕ cña (*) cho y2 ta ®­îc ph­¬ng tr×nh : e. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n x + y > 1
 f. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tháa m·n x + y = -1.
 g. T×m m nguyªn ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt lµ nghiÖm nguyªn
 h. Víi ( x ; y ) lµ nghiÖm duy nhÊt cña hÖ .T×m ®¼ng thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y 
 kh«ng phô thuéc vµo m.
Gi¶i :
 a. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh víi m = 2 ( tù lµm )
 b. Gi¶i vµ biÖn lu©n hÖ ph­¬ng tr×nh.
 3x m 1 y 12 1 36x 12 m 1 y 144
 2
 m 1 x 12y 24 2 m 1 x 12 m 1 y 24 m 1 
Trõ tõng vÕ cña hai ph­¬ng tr×nh trªn ta cã : 
 2 2
 m 1 x 36x 24 m 1 144 m 1 36 x 24m 24 144
 m 7 m 5 x 24m 168 3 
 ❖ NÕu m = 7 thay vµo hÖ ph­¬ng tr×nh ban ®Çu ta cã :
 3x 6y 12 x 2y 4 x 2y 4 x 4 2y
 6x 12y 24 x 2y 4
 HÖ v« sè nghiÖm d¹ng ( 4 – 2t ; t ) víi t R
 ❖ NÕu m = -5 thay vµo hÖ ph­¬ng tr×nh ban ®Çu ta cã :
 3x 6y 12 x 2y 4 HÖ v« nghiÖm
 6x 12y 24 x 2y 4
 ❖ NÕu m 5 vµ m 7 tõ (3) ta cã : 
 24m 168 24 m 7 24
 x 
 m 7 m 5 m 7 m 5 m 5
 Thay vµo (2) ta cã:
 24 24 m 1 2 m 1 12
 m 1 . 12y 24 12y 24 y 2 y 
 m 5 m 5 m 5 m 5
 Tãm l¹i : 
 ✓ NÕu m = -5 hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm
 ✓ NÕu m = -7 hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã v« sè nghiÖm x = 4 – 2t , y = t 
 víi t R
 ✓ NÕu m 5 vµ m 7 hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt: 
 24 12
 x , y 
 m 5 m 5 HÖ cã mét nghiÖm duy nhÊt ©m khi 
 24
 0
 m 5 m 5 0 m 5 0 m 5
 12 m 5 0
 0
 m 5
 KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã m < -5 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m
Chó ý :NghiÖm ( x ; y ) cña hÖ ®­îc gäi lµ ©m nÕu x < 0 vµ y < 0. NghiÖm 
d­¬ng, kh«ng ©m, kh«ng d­¬ng cña hÖ còng t­¬ng tù.
 e. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n x + y > 1
 ❖ Theo c©u trªn, ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt khi 
 m 5 vµ m 7 .
 24 12
 ❖ Khi ®ã nghiÖm cña hÖ lµ : x , y 
 m 5 m 5
 HÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n x + y > 1 
 24 12 36 m 5 31 m
 1 0 0
 m 5 m 5 m 5 m 5
 31 m 0 m 31
 m 5 0 m 5
 m 31 5 m 31
 31 m 0 m 31 m 5
 v« nghiÖm 
 m 5 0 m 5
KÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn ta cã 5 m 31 vµ m 7 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m
 f. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tháa m·n x + y = -1.
 ❖ Theo c©u trªn, ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt khi 
 m 5 vµ m 7 .
 24 12
 ❖ Khi ®ã nghiÖm cña hÖ lµ : x , y 
 m 5 m 5
HÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n x + y = -1
 24 12 36 2m 10 46 2m
 2 0 0 46 2m 0 do m 5 m 23
 m 5 m 5 m 5 m 5
KÕt hîp c¸c ®iÒu kiÖn ta cã m = - 23 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m
 g. T×m m nguyªn ®Ó hÖ cã nghiªm duy nhÊt lµ nghiÖm nguyªn
 ❖ Theo c©u trªn, ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt khi 
 m 5 vµ m 7 .
 24 12
 ❖ Khi ®ã nghiÖm cña hÖ lµ : x , y 
 m 5 m 5 1) (0;2); (2;0) 2) (2; 3),( 3;2),(1 10;1 10),(1 10;1 10) 3) 
 (1;5),(5;1),(2;3),(3;2)
 10 10 10 10
4) (3; 2),( 2;3),( 2 ; 2 ),( 2 ; 2 ) 5) (2;3);(3;2) 
 2 2 2 2
6) (1;4),(4;1)
Bµi 2 Giaûi caùc heä phöông trình sau ( ®¼ng cÊp bËc hai ): 
 3x2 2xy y2 11 6x 2 xy 2y 2 56
 1) 2) 3) 
 2 2 2 2
 x 2xy 5y 25 5x xy y 49
 2x3 3x2 y 5
 3 2
 y 6xy 7
Bµi 3. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh:
 x 2y 3 m
 2x y 3(m 2)
a) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh khi thay m = -1.
b) Gäi nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh lµ (x, y). T×m m ®Ó x2 + y2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
 a 1 x y 4
Bµi 4. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh (a lµ tham sè).
 ax y 2a
a) Gi¶i hÖ khi a = 1.
b) Chøng minh r»ng víi mäi a hÖ lu«n cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y 
 2.
Bµi 5 T×m c¸c gi¸ trÞ cña m vµ n ®Ó c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh 
 2 m 1 x 7 n 2 y 6
 a) m 1 n 2 cã nghiÖm (x ; y) = (1 ; 2)
 x y 2
 6 6
 4m 1 x 8 n 2 y 11
 b) cã nghiÖm (x ; y) = ( 1;3 )
 3m 2 x 5 n 1 y 4
Bµi 6 Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau :
 2 2 3 1 3
 2 
 2 2 
 x 2 y 1 3x y 5 y 1 x 2 4
a) b) c) d) 
 2 3 x2 3y2 1 5 3 29
 1 
 x 2 y 1 y 1 x 2 12
 1 1 2
 x y x y 3
 1 1 1
 x y x y 3