Chuyên đề Hệ phương trình - Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS

 CHUYÊN ĐỀ 
 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
BỒI DƯỠNG HSG TOÁN THCS 
 3 
 Dạng 2: Hệ ba phƣơng trình ba ẩn 53 
 Chủ đề 4. Hệ phƣơng trình có chứa tham số 57 
 Dạng 1: Biện luận về nghiệm của phƣơng trình 57 
 Dạng 2: Tim điều kiện của tham số để thỏa mãn một điều kiện cho trƣớc 60 
 Bài tập rèn luyện tổng hợp 64 
 Hƣớng dẫn giải 76 
 5 
 THÍ DỤ MINH HỌA 
 x y xy 1
 
 Thí dụ 1. Giải hệ phƣơng trình 22 
 x y xy 7
 Lời giải 
 (x y) xy 1
 Hệ 2 
 (x y) 3xy 7
 x y S S P 1 S 1, P 2
 x, y S2 4P 
 Đặt ta đƣợc 2 
 xy P S 3P 7 S 4, P 3
 S 1 x y 1 x 1, y 2
 TH 1. 
 P 2 xy 2 x 2, y 1
 S 4 x y 4 x 1, y 3
 TH 2. . 
 P 3 xy 3 x 3, y 1
 Vậy tập nghiệm của hệ là: S = ( 1;2); (2; 1); ( 1; 3); ( 3; 1)
  
 x3 x 3 y 3 y 3 17
 Thí dụ 2. Giải hệ phƣơng trình 
 x xy y 5
 Lời giải 
 3
 x3 x 3 y 3 y 3 17 xy xy33 3xyxy 17
 x xy y 5 x y xy 5 
 Đặt x y a; xy b . Hệ đã cho trở th|nh: 
 a33 b 3ab 17 a 5 b a 5 b
 2 
 a b 5 b 5b 6 0 (b 2)(b 3) 0
 a3 a2 
 hoặc 
 b2 b3 
 a3 x y 3 x 3 y x 3 y
 Với ta có hệ phƣơng trình 2 
 b2 xy2 y 3y 2 0 (y1)(y2)0 
 x2 x1 
 hoặc 
 y1 y2 
 x y 2 x 2 y
 Với ta có hệ phƣơng trình 2 (vô nghiệm) 
 xy 3 y 2y 3 0
 Vậy nghiệm của hệ đã cho l|: x; y 1;2 ; 2;1 
 xy(x y) 2
 Thí dụ 3. Giải hệ phƣơng trình 3 3 3 3
 x y xy 7x1y1 31
 7 
 2
 x 2y 1 1 
 hệ. Ví dụ: 2 khi thay ho{n đổi vị trí của x và y ở phƣơng trình (1) ta 
 y 2x 1 2 
 đƣợc y2 2x 1 đ}y chính l| phƣơng trình (2) 
 PHƢƠNG PHÁP GIẢI 
 Trừ từng vế hai phƣơng trình của hệ ta đƣợc nhân tử chung (x – y) nhóm lại v| đƣa 
 về phƣơng tích v| sau đó xét hai trƣờng hợp: 
 xy 
 (x y).A(x,y) 0 
 A(x,y) 0
 Việc trừ theo vế thƣờng phải sử dùng hằng đẳng thức hoặc liên hợp nếu chứa căn: 
 a22 b a b a b 
 a3 b 3 a b a 2 ab b 2 
 ab 
 ab 
 ab 
 ab 
 33ab 
 33a223 ab b
 THÍ DỤ MINH HỌA 
 x2 x 2y
 Thí dụ 3. Giải hệ phƣơng trình 
 y2 y 2x
 Lời giải 
 Điều kiện: x,y 0 . 
 Trừ hai phƣơng trình của hệ cho nhau ta thu đƣợc: 
 x22 x y y 2 y x 
 xy xyxy12xy 0
 Vì x y x y 1 2 x y 0 
 nên phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với: xy . 
 x0 
 Hay x2x22 x0x x2x xx1x x10 x1 
 35 
 x 
 2
 9 
 2xyyx 7xy xyxy 0 xyxy2xy7 0
 xy 
 x y 2xy 7 0
 2 x y 2
 + Nếu xy thay vào hệ ta có: x 5x 6 0 
 x y 3
 + Nếu x y2xy7 0 12x12y 15 . 
 Mặt khác khi cộng hai phƣơng trình của hệ đã cho ta đƣợc: 
 22
 x22 y 5x 5x 12 0 2x 5 2y 5 2 . 
 Đặt a 2x 5,b 2y 5 
 a b 0
 22 2 
 a b 2 a b 2ab 2 ab 1
 Ta có: 
 a 4 b 4 15 ab 4 a b 1 a b 8
 ab 31
 a b 0
 Trƣờng hợp 1: x; y 3; 2 , 2; 3 
 ab 1
 a b 8
 Trƣờng hợp 2: vô nghiệm. 
 ab 31
 Vậy nghiệm của hệ đã cho l|: x;y 2;2 ,3;3 ,2;3 ,3;2 
 III- HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP 
 LÝ THUYẾT CHUNG: 
 k
 f x, y c1
 + Là những hệ có dạng: k
 g x, y c2
 1
 Trong đó f(x, y) v| g(x, y) l| c{c đa thức bậc k của x và y (k = , 1, 2, 3,.) v| 
 2
 không chứa thành phần nhỏ hơn k. 
 11 
 2
 xx 
 Chia hai vế phƣơng trình (3) cho y2 ta đƣợc 2. 9. 5 0 
 yy 
 1 y
 x tx 
 Đặt t = ( t > 0) Khi đó: 2t2 9 t 5 0 2 t 1 t 5 0 22 
 y 
 t 55 x y
 y
 Với x thay vào (1) ta đƣợc:
 2 
 y2 3 x 1 x 1
 y2 y 2 12 y 2 4 y 2 ; 
 22 y 2 y 2
 Với x 5y thay v|o (1) ta đƣợc: 
 5 3 5 3
 xx 
 2 2 2 2 3 33
 50y 15y y 12 36y 12 y ; 
 3 33
 yy 
 33
 Vậy nghiệm của hệ phƣơng trình l|: 
 5 3 3 5 3 3 
 x;y 1;2,1;2, ; , ; 
 3 3 3 3 
 x22 2y 1
 Thí dụ 6. Giải hệ phƣơng trình 
 2x33 y 2y x
 (Trích đề Chuyên Vũng Tàu năm 2019-2020) 
 Lời giải 
 Để ý rằng nếu nh}n chéo 2 phƣơng trình của hệ ta có: 2x3 y 3 x 2 2y 2 x 2y 
 đ}y l| phƣơng trình đẳng cấp bậc 3: Từ đó ta có lời giải nhƣ sau: 
 22
 x 2y 1 1 
 33
 2x y 2y x 2 
 2x3 y 3 x 2 2y 2 x2y x 3 2xy2xy 2 2 5y 3 0 
 xy 
 22 
 x y x 3xy 5y 0 22 . 
 x 3xy 5y 0
 TH1: xy , thay v|o phƣơng trình 1 ta đƣợc x y 1 . 
 2 3
 2 2 3 11 2 x y 0
 TH2: x3xy5y0xy y0 2 xy0 . 
 24 
 y0 
 Thử lại, ta thấy x y 0 không phải là nghiệm của hệ phƣơng trình đã cho.