Chuyên đề Hằng đẳng thức - Bồi dưỡng HSG Toán 8

 CHUYÊN ĐỀ: HẲNG ĐẲNG THỨC
A. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
1. (a b)2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 4ab (a b)2 4ab
2. (a b)2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 4ab (a b)2 4ab
3. a2 b2 (a b)(a b)
4. (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 3ab(a b) a3 b3 (a b)3 3ab(a b)
5. (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 3ab(a b) a3 b3 (a b)3 3ab(a b)
6. a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
7. a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) 
 Bài 1:
a) Tính A 1002 992 982 972 ... 22 12
 n
b) Tính B 12 22 32 42 .... 1 .n2
 Lời giải
 101.100
a) A 1002 992 982 972 ... 22 12 (100 99)(100 99) ... (2 1)(2 1) 100 ... 1 5050
 2
b) Ta xét hai trường hợp
- TH1: Nếu n chẵn thì 
 2 n n 1 
B 22 12 42 32 ... n2 n 1 1 2 3 4 ... n 1 n 
 2
- TH1: Nếu n lẻ thì
 2 2 n n 1 
B 22 12 42 32 ... n 1 n 2 n2 1 2 3 4 ... n 1 n2 
 2
 n n n 1 
 Hai kết quả trên có thể dùng công thức: 1 .
 2
 Bài 2:
So sánh A 19999.39999 và B 299992
 Lời giải
Ta có: 19999.39999 (29999 10000)(29999 10000) 299992 100002 299992 A B
 1 Bài 6:
CMR, nếu (a b c d)(a b c d) (a b c d)(a b c d) thì ad = bc
 Lời giải
 2 2 2 2 2 2
 VT = a d b c a d b c = a d (b c) a d 2ad b c 2bc 
VP =[(a-d)+(c-b)][(a-d)-(c-b)]=(a-d)2 (c b)2 (a d)2 (c b)2 a2 d 2 2ad c2 b2 2bc 
VT = VP 2ad 2bc 2ad 2bc 4ad 4bc ad bc(dpcm)
 Bài 7: Chứng minh rằng nếu
a. a + b + c = 0 thì a3 a2c abc b2c b3 0
b. (y z)2 (z x)2 (x y)2 (y z 2x)2 (z x 2y)2 (y x 2z)2 thì x = y = z
 Lời giải
a. Ta có : 
 3 3 2 2
 a b (a b)(a ab b ) 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2
 a b c(a ab b ) a c abc b c a b a c abc b c 0
 a b c a b c
 y z 2x (y x) (z x) b c
b. Đặt : y z a; z x b; x y c a b c 0 và z x 2y c a 
 x y 2z a b
Từ giả thiết ta có : 
a2 b2 c2 (b c)2 (c a)2 (a b)2 a2 b2 c2 b2 2bc c2 c2 2ac a2 a2 2ab b2
 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 0 2(a2 b2 c2 ) (a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca) 0
 x y
 2 2 2 2 2 2 2 
 2(a b c ) (a b c) 0 a b c 0 a b c y z x y z
 z x
 Bài 8:
Chứng minh rằng không tồn tại các số thực x, y, z thỏa mãn:
a. 5x2 10y2 6xy 4x 2y 3 0 b. x2 4y2 z2 2x 6z 8y 15 0
 Lời giải
a. VT (x 3y)2 (2x 1)2 (y 1)2 1(dpcm)
b. VT (x 1)2 4(y 1)2 (z 3)2 1 1(dpcm)
 3 2 2
Đặt t x2 ax A t t 2a 2 a4 t 2 2ta2 a4 t a2 A x2 ax a2 dpcm 
 Bài 13:
a) Cho a, b, c thỏa mãn a2010 b2010 c2010 a1005b1005 b1005c1005 c1005a1005 . Tính giá trị của biểu thức 
sau A a b 20 b c 11 c a 2010 
b) Cho a,b,c,d Z thỏa mãn a b c d. Chứng minh rằng a2 b2 c2 d 2 luôn là tổng của ba 
số chính phương
c) Chứng minh rằng: Nếu p và q là hai số nguyên tố thỏa mãn p2 q2 p 3q 2 thì p2 q2 
cũng là số nguyên tố 
 Lời giải
a) a2010 b2010 c2010 a1005b1005 b1005c1005 c1005a1005 2a2010 2b2010 2c2010 2a1005b1005 2b1005c1005 2c1005a1005 0
 2 2 2
. a1005 b1005 b1005 c1005 c1005 a1005 0 a1005 b1005 b1005 c1005 c1005 a1005 a b c
Vậy A a a 20 b b 11 c c 2010 A 0 \
b) a b c d a c d b;a2 b2 c2 d 2 c d b 2 b2 c2 d 2 c d 2 2 c d b b2 b2 c2 d 2
 c d 2 2bc 2bd b2 b2 c2 d 2 c d 2 b c 2 b d 2
c) p2 q2 p 3q 2 4 p2 4q2 4 p 12q 8 4 p2 4 p 1 4q2 12q 9 2 p 1 2 2q 3 2
mà 2 p 1 0 ( p nguyên tố ); 2q 3 0 (q nguyên tố ). Do đó 2 p 1 2q 3 q p 1
Ta có: q 3 p 2 q lẻ, do đó p chẵn p 2 q 3 p2 q2 13 là số nguyên tố
 Bài 14: Học sinh giỏi Yên Phong, năm 2015
Cho a, b, c thỏa mãn: a2 b2 c2 2;a b c 2.CMR : M (a2 1)(b2 1)(c2 1) viết được dưới 
dạng bình phương của một biểu thức
 Lời giải:
Cách 1:
 M (a2 1)(b2 1)(c2 1) a2b2c2 a2b2 a2c2 b2c2 a2 b2 c2 1(*) 
Có: a2 b2 c2 2 a b c (a2 b2 c2 )2 (a b c)2
Có: 
 (a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ca) 4 ab bc ca 1 a2b2 a2c2 b2c2 2(acb2 a2bc c2ab) 1
 5 1. (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 3ab(a b) a3 b3 (a b)3 3ab(a b)
2. (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 3ab(a b) a3 b3 (a b)3 3ab(a b)
 Bài 1:
Cho x2 x 10. Tính A x6 3x5 4x4 3x3 2x2 x 1
 Lời giải
A x6 3x5 4x4 3x3 2x2 x 1 (x6 3x5 3x4 x3 ) (x4 2x3 x2 ) (x2 x 1)
 (x2 x)3 (x2 x)2 (x2 x) 1 1111
 Bài 2:
 (23 1)(33 1)...(1003 1)
Tính A 
 (23 1)(33 1)....(1003 1)
 Lời giải
 (k 1)3 1 (k 2)[(k+1)2 -(k+1)+1] k 2
Ta có: 
 k 3 1 (k-1)(k2 k 1) k 1
Cho k chạy từ 2 đến 100, ta thu được: 
 33 1 43 1 1003 1 1 4 5 101 1
A (23 1). . ..... . 9. . .... .
 23 1 33 1 993 1 1003 1 1 2 98 99(1002 100 1)
 99.100.101 9.99.100.101 30300
A 9. 
 1.2.3...10101 6.99.10101 20202
 Bài 3:
Cho x2 y2 1. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y. 
A 2 x6 y6 3 x4 y4 
 Lời giải
Ta có: 
 3 3
A 2 x2 y2 3 x4 y4 2 x2 y2 x4 x2 y2 y4 3 x4 y4 2x4 2x2 y2 2y4 3x4 3y4
 
 1
 2
 x4 2x2 y2 y4 x2 y2 1 dpcm
 Bài 4:
Cho a3 3ab2 2;b3 3a2b 11.. Tính a2 b2
 Lời giải
 7 abc abc abc 1 1 1 3
 A abc( ) abc. 3
 a3 b3 c3 a3 b3 c3 abc
 Bài 9:
Cho x y a b; x2 y2 a 2 b2. Chứng minh rằng x 3 y3 a3 b3 
 Lời giải
Ta có: x 3 y3 x y x2 xy y2 ; x y a b x y 2 a b 2 x2 2xy y2 a2 2ab b2
Do x2 y 2 a2 b2 2xy 2ab xy ab 
Thay các kết quả vào ta được: x 3 y3 x y x2 xy y2 a b a2 ab b2 a3 b3 dpcm
 Bài 10:
Cho a b m;a b n. Tính ab;a3 b3 theo m và n 
 Lời giải
 m n m n m n m n m2 n2
Cách 1: Từ a b m;a b n. b ,a ab . 
 2 2 2 2 4
 3 3 3 3 2 3
 3 3 m n m n m n m n 3m n n
a b 
 2 2 8 4
 2 2
 2 2 m n
Cách 2: Ta có: 4ab a b a b m2 n2 ab 
 4
 2 2
 3 3 2 2 2 2 m n 
Lại có: a b a b a ab b a b a b ab n m 
 4 
 2 2
 n 3m n 3m2n n3
 4 4
 Bài 11:
Cho a2 b2 c 2 m. Tính giá trị biểu thức sau theo m 
A 2a 2b c 2 2b 2c a 2 2c 2a b 2 
 Lời giải
Ta có: A 2a 2b 2c 3c 2 2b 2c 2a 3a 2 2c 2a 2b 3b 2 
Đặt x a b c A 2x 3c 2 2x 3a 2 2x 3b 2 12x2 12x a b c 9 a2 b2 c2 
 12x2 12x2 9 a2 b2 c2 9m
 9