Chuyên đề Hàm số mũ và Logarit - Đại số 12

 HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ 
 2 MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT 
 CHƯƠNG 
 BÀI 4. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
1. Tổng quan về hàm mũ - logarit 
 Hàm số mũ Hàm số logarit 
 Hàm số y ax , ( a 0, a 1) được gọi là Hàm số y log x , ( a 0, a 1) được 
 Định nghĩa a
 hàm số mũ cơ số a. gọi là hàm số lôgarit cơ số a. 
Tập xác định D D (0, ). 
 Tập giá trị T (0; ) T 
 x
 a 1: Hàm số ya đồng biến trên . a 1: Hàm số yx loga đồng biến 
 Tính đơn 01 a : Hàm số ya x nghịch biến trên D . 
 điệu trên . 01 a : Hàm số yx loga nghịch 
 biến trên D . 
 ()ax a x .ln a () a u u ..ln a u a 1 u 
 logaaxu log 
 x x u u x.ln a u .ln a
 Đạo hàm ()().e e e e u 
 1 u 
 (lnx ) , ( x 0) (ln u ) 
 xu
 Đồ thị 
 Đồ thị: Đồ thị: 
 - Đi qua điểm 0;1 . - Đi qua điểm 1;0 . 
 Nhận xét 
 - Nằm ở phía trên trục hoành. - Nằm ở bên phải trục tung. 
 - Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. - Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. 
2. Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất 
 Mmax f x
 ab;
 Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó . 
 mmin f x
 ab;
 II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. 
 = 
 DẠNG 1: GIỚI HẠN CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ 
 Câu 1 
 eeax bx
[Mức độ 2] Tìm giới hạn A lim . 
 x 0 x
 Lời giải 
 eeax bx eeax 11 bx
Ta có A lim lim a b a b . 
 x 0 x x 0 ax bx
Vậy A a b. 
 Câu 2 
 3
 ee2xx 1 1 1 3 1
[Mức độ 2] Tìm giới hạn A lim . 
 x 0 x
 Lời giải 
 3 3
 ee2xx 1 1 1 3 1 2x 1 1 e2xx 1 1 13 1 3 x 1 e 1 3 1 1
A lim lim . . . 
 x 0 x x 0 xx2xx 1 13 1 3 1
 2x 1 1 2x 2
Ta có lim lim lim 1. 
 x 0 x x 0 xx 2 1 1 x 0 2x 1 1
 2xe 1 12x 1 1 1
Nên lim . 1 
 x 0 x 2x 1 1
 3 1 3x 1 3x 3
Ta có lim lim lim 1. 
 x 0 x 0 x 0
 x x 3 1 3 x 2 3 1 3 x 1 3 1 3xx 2 3 1 3 1
 3
 3 1 3xe 11 3x 1 1
Nên lim . 1. Vậy A 2 . 
 x 0 x 3 1 3x 1
 Câu 3 
 1 ex
[Mức độ 2] Tìm giới hạn A lim . 
 x 0 x 11
 Lời giải 
 1 ex xex 1
A lim lim . . 
 x 0 x 11 x 0 x 11 x
 13 3
 A 1 . Vậy A . 
 22 2
 Câu 8 
 2
 ex 3x 3 1 2
[Mức độ 2] Tìm giới hạn A lim . 
 x 0 ln 1 x2 
 Lời giải 
 2 2
 ex 3x 3 1 2 e 3x 1 x22 1 3 1 x
A lim lim 3 . . 
 x 0 2 x 0 2 2 2
 ln 1 x 3x ln 1 x ln 1 x 
 2
 ex 3x 1 2
Ta có lim 3 . 3 . 
 x 0 3xx22 ln 1 
 11 3 x2 1 x2 1
Ta có lim lim . . 
 x 0 2 x 0 2 2
 ln 1 x 1 33 1 xx22 1 ln 1 x 3
 1 10 10
Nên A 3 . Vậy A . 
 33 3
 Câu 9 
 axx a
[Mức độ 3] Tìm giới hạn A lim . 
 xa xa 
 Lời giải 
 a
 xa a x a a a a x a a x a a
Ta có ax a a 1 a x a a 11 a 
 a
 a
 a x a a xa 
 a a 1 a 1 1 . 
 a
 a
 xa 
 aa 1 11
 xa a xa 
 ax aa 1 a
 . 
 x a x a xa 
 a
 a
 a 1 xa 
 a a 11
 aaxa 1 
 a a aa 1
Ta có lim aa ln , lim a. a a 
 xa xa xa xa 
 a
 11 x 
(do câu 4 ta có lim ) 
 x 0 x
 xa
 aa a a a
 A lim aln a a a ln a 1 . 
 xa xa 
 2
 ex 22x 3 1
[Mức độ 3] Tìm giới hạn L lim . 
 x 0 ln 1 x2 
 Lời giải 
 22 2
 e 2xx 331 x 2 e 2 1 1 x 2 1 ln 1 x 
L lim lim : ... 
 xx 002 2 2 2
 ln 1 x x x x
 2 2
 e 2x 1 1ln 1 x 7
 lim 2 : . 
 22
 x 0 23xx222 3
 3 1 xx 1 1
 Câu 14 
 ln sinxx cos 
[Mức độ 2] Tìm giới hạn L lim . 
 x 0 x
 Lời giải 
 2
 ln sinxx cos 2ln sinxx cos ln sinxx cos ln 1 sin 2x 
Ta có L lim lim lim lim
 x 0 x x 0 2x x 0 2x x 0 2x
 ln 1 sin 2x sin 2x
 lim . 1. 
 x 0 sin 2xx 2
 Câu 15 
 ln 3 3xx 1 1 ln 1 1 
[Mức độ 3] Tìm giới hạn L lim . 
 x 0 x
 Lời giải 
 ln3 3xx 1 1 ln 1 1 ln3 3xx 11 ln2 ln 11 ln2
L lim lim . 
 x 0 x x 0 x
 3 3xx 1 1 1 1 
 ln 1 ln 1 
 22 
 lim . 
 x 0 xx
 3 13x
 3x 1 1 ln 1 
 ln 1 2
 2 3 3
 2 3xx 1 3 1 1 1
Ta có lim lim . 
 x 0 x 0 22 1 3x
 x 3 3xx 1 3 3 1 1 2
 2
 32 3 3xx 1 3 3 1 1