Chuyên đề Hàm số mũ - Hàm số logarit Đại số Lớp 12

 BÀI 4. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT 
A. KIẾN THỨC CO BẢN CẦN NẮM
1. Hàm số mũ
 Định nghĩa 
Hàm số yaa x 0; a1 được gọi là hàm số mũ cơ số a. 
 Tập xác định 
Hàm số yaa x 0; a1 có tập xác định là . 
 Đạo hàm 
 Đặc biệt: ex 'e x .
Hàm số yaa x 0; a1 có đạo hàm tại mọi x. 
 aaaxx'ln 
 aaauuu 'ln.' 
 limaaaxx 0, lim 1 ;
 xx 
 limaaaxx , lim 0 0 1 . 
 xx 
 Sự biến thiên 
 Khi a 1 hàm số luôn đồng biến.
 Khi 01 a hàm số luôn nghịch biến.
 Đồ thị 
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox và luôn đi qua các 
điểm 0;1 , 1; a và nằm phía trên trục hoành. 
2. Hàm số lôgarit
 Định nghĩa 
Hàm số yxaa loga 0; 1 được gọi là hàm số lôgarit cơ 
số a. lãi sau n kì hạn ( n * ) là: Sn A nAr A 1 nr
 2. Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không
rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau. 
 Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với 
lãi kép r (% / kì hạn) thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn 
 Sn
 n log 1 r ; 
 n A
lãi sau n kì hạn ( n * ) là: SAn 1 r. 
 S
 r%1; n n 
 3. Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số A
tiền vào một thời gian cố định. 
 Sn
 A n
 Công thức tính: Đầu mỗi tháng, khách hàng gửi vào ngân 1 r
hàng số tiền A đồng với lãi kép r (% / tháng) thì số tiền khách 
 Sr.
 n logn 1 ; 
hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng ( n * ) (nhận tiền 1 r 
 Ar 1 
cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là Sn . 
 Sr.
 n logn 1 ; 
 1 r 
 A n Ar 1 
 Ta có Srr 111 . 
 n r 
 Sr.
 A n
 11 rr n 1
 4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng 
 Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r (% / tháng). 
Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng. 
 n r
 Công thức tính: XArS 1 n . 
 11 r n 
 Khi đó số tiền còn lại sau n tháng là 
 n
 n 11 r
SA 1 r X
 n r
 5. Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là A đồng với
lãi suất r (% / tháng). Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt 
đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi 
hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng. 
 Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống 
 hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng 
 n
 n 11 r 
 nên ta có SA 1 r X . 
 n r Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là 
m , gọi là hình thức lãi kép liên tục thì người ta chứng 
minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là: 
 SAe nr. (công thức tăng trưởng mũ). B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số chứa mũ – lôgarit.
1. Phương pháp giải
* Hàm số yaa x 0; a 1 có tập xác định là .
* Hàm số yxaa loga 0; 1 có tập xác định là 0; . 
* Tìm điều kiện của tham số để hàm số yfx loga xác định trên trong đó f x là một tam 
thức bậc hai. 
 Áp dụng tính chất 
 a 0
 Tam thức bậc hai fx  axbxc2 0 x khi và chỉ khi . 
 0
* Tìm điều kiện của tham số để hàm số yfx loga xác định trên khoảng D. 
 Cô lập tham số m.
 Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số.
2. Bài tập
 1
Bài tập 1: Điều kiện xác định D của hàm số y là 
 21x
 log 
 9 x 12
 A. x 3 B. x 1 C. 31 x D. 03 x
 Hướng dẫn giải 
 Chọn C 
 21x 1
 2x 2
 log9 9
 x 12 x 1 2x
 Hàm số xác định 3 
 2x 2x x 1
 0 0
 x 1 x 1
 x 3
 03x 1 
 x 1
Bài tập 2: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số yxmx ln 2 2 4 xác
định với mọi x ? 
 A. 5 B. 2 C. 4 D. 3
 Hướng dẫn giải Do m và m 10;10 nên m 1;2;3;...;8;9 . 
Bài tập 5: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nằm trong khoảng 10;10 để hàm số 
 1
y 2 xác định trên khoảng 0; ?
 mxlog33 4log xm 3
 A. 13 B. 11 C. 12 D. 10
 Hướng dẫn giải 
 Chọn A. 
 2
 Hàm số xác định  xmxxmx 0; log33 4log 3 0,  0; (*). 
 Đặt txt log3 , . 
 (*) mt2 430 t m vô nghiệm. 
 Trường hợp 1: m 0 . Phương trình có nghiệm (loại m 0 ). 
 Trường hợp 2: m 0 . Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi 
 '0 4 mm 3 0 m 4 hoặc m 1. 
 Do m và m 10;10 nên m 9; 8; 7; 6; 5;2;3;...8;9 . 
 Vậy có 13 giá trị nguyên thỏa mãn. 
 xx
Bài tập 6: Hàm số ym log2 4 2 có tập xác định D  khi. 
 1 1 1
 A. m . B. m . C. m 0 . D. m . 
 4 4 4
 Hướng dẫn giải 
 Chọn B. 
 xx
 Hàm số ym log2 4 2 có tập xác định khi và chỉ khi. 
 1
 42xx   mx 0 m 24xx x m max24 xx . 
 4
 1
Bài tập 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y 2 xác định 
 mxlog33 4log xm 3
trên khoảng 0; . 
 Hướng dẫn giải 
 Đặt tx log3 , khi đó xt 0; . xm 0
 22
 xmxm 22 1 4 0 lđ với x 1; 
 22
 xmxm 22 1 4 1 lđ
 mm 1; 1 
 Dạng 2: Đồ thị hàm số 
1. Phương pháp
2. Bài tập
Bài tập 1: Cho ba số thực dương abc, , khác 1. Đồ thị các hàm số yaybyc x ,, xx được cho
trong hình vẽ sau
Mệnh đề nào đúng? 
 A. ab c B. ac b
 C. bca D. cab 
 Hướng dẫn giải 
 Chọn B. 
 Ta có: ya x nghịch biến nên 0 a 1. 
 Mặt khác, ybyc x , x đồng biến, đồng thời cho x 1 ybyc. 
 Vậy acb 
Bài tập 2: Từ các đồ thị yx loga , yx logb , yx logc đã cho ở hình vẽ sau: x
 Ta có yx logc nghịch biến nên 01 c còn yx logb và ya đồng biến nên b 1 và 
a 1. 
 Xét ya x : Với xyaa 1 1 2 . 
 Xét yx logb : Với yxbb 1 2 . 
 Do đó ab 
 Vậy cab 1 . 
Bài tập 4: Cho hàm số yfx có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số điểm cực trị của hàm số 
y 34f xfx . 
 A. 5. B. 3. C. 6 . D. 4 .
 Hướng dẫn giải 
 Chọn A. 
 Đặt ygx 34f xfx . 
 Quan sát đồ thị, ta thấy hàm số yfx có ba điểm cực trị. 
 fx 0
 Ta có yfx .3 fx .ln34fx .ln4 y 0 . 
 fx fx 
 3.ln34.ln40 
 fx 
 fx fx 3ln4 ln4 
 3.ln34.ln40 fx log3 0,8. Phương trình này 
 4ln34 ln3 
 có hai nghiệm phân biệt khác các nghiệm của phương trình fx 0 nên hàm số 
 y 34f xfx có năm điểm cực trị. Cách 2 : Ta nhận thấy f xxxfxgx ln ln x 1 nằm bên phải trục tung và
 không đi qua (1; 0) . Vậy chọn đáp án C. 
 Dạng 3: Xét tính đơn điệu, cực trị, GTLN và GTNN của hàm số mũ, logarit 
1. Phương pháp.
 Phương pháp chung: 
 Bước 1: Tìm tập xác định 
 Bước 2: Tìm đạo hàm f x . Tìm các điểm xi làm cho fx 0 hoặc không xác định.
 Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập BBT. 
 Bước 4: Kết luận. 
 Ngoài ra cần chú ý tính chất của hàm số mũ và hàm số logarit: 
 x
 +) Hàm số ya và hàm số yx loga đồng biến trên TXĐ a 1. 
 x
 +) Hàm số ya và hàm số yx loga nghịch biến trên TXĐ 01 a . 
2. Bài tập
Bài tập 1. Gọi a , b lần lượt là số điểm cực đại và số điểm cực tiểu của hàm số
y xxe3231 x . Tính 2ab .
 A. 0 . B. 4 . C. 2 . D. 3.
 Hướng dẫn giải 
 Chọn C. 
 Ta có yx 3231 x e x . Tập xác định: D .