Chuyên đề Hàm số lũy thừa - Đại số 12

 HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ 
 2 MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT 
 CHƯƠNG
 BÀI 1. LŨY THỪA 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
1. Lũy thừa vớ=i số mũ nguyên 
 *
 Lũy thừ=a với số mũ nguyên dương: Cho an , . Khi đó 
 I an a. a ... a ( n thừa số a ). 
 Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0: Cho a 0. Khi đó 
 1
 aa n ;10 . 
 an
 Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ 
 nguyên dương. 
 00 và 0 n không có nghĩa. 
2. Căn bậc n . 
- Cho số thực b và số nguyên dương n 2 . 
 n
- Số a được gọi là căn bậc của số nếu ab . 
- Khi n lẻ, b : Có duy nhất một căn bậc n của b , ký hiệu là n b . 
- Khi chẵn và: 
 + b 0: Không tồn tại căn bậc của b . 
 + b 0: Có một căn bậc n của b là n 00 . 
 + b 0: Có hai căn bậc của kí hiệu là n b và n b . 
3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ 
 m
Cho số thực a 0 và số hữu tỉ r , trong đó m , n , n 2 . Khi đó 
 n
 m
 arm an n a . 
4. Lũy thừa với số mũ vô tỉ 
Cho số thực , là một số vô tỉ và rn là một dãy số hữu tỉ sao cho lim rn . Khi 
 n 
đó aa lim rn . 
 n 
5. Các tính chất 
 Cho hai số dương ab, và các số , . Khi đó: 
1 | 
 1 4 4
 3 3 21
 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 
Ta có: 3 ......7 3 7 ..7 3 .. 
 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 
 25 88
 2 63 2 2 63
 . . 
 5 5 5 
 Câu 5 
 a2 4 ab
 3a2 10 ab
 1 3 a
[Mức độ 2]Cho a , b là 2 số thực khác 0 . Biết 625 . Tính tỉ số . 
 125 b
 Lời giải 
 a2 4 ab 4 2
 3a2 10 ab 34a2 ab 3a 10 ab 
 1 3 3 2 4
Ta có 625 55 70a ab 
 125 3 
 4
 70ab (do a 0 )
 3 
 a 4 a 4
 . Vậy . 
 b 21 b 21 
 Câu 6 
 1 2 2017
 1 1 1 b
[Mức độ 3]Tích 2017 ! 1 1 ... 1 được viết dưới dạng a , khi đó ab, 
 1 2 2017 
 là bộ số nào ? 
 Lời giải 
Ta có: 
 1 2 2017 1 2 2016 2017
 1 1 1 2 3 2017 2018 
 2017 ! 1 1 ... 1 2017 ! ... 
 1 2 2017 1 2 2016 2017 
 1 1 1 1 20182017
 2017 ! . . ... . 20182017 ab 2018; 2017 . 
 1 2 3 2016 2017
Vậy ab; 2018;2017 . 
 Câu 7 
 1
[Mức độ 3]Cho biểu thức fx . Tính tổng sau 
 2018x 2018
 S 2018 f 2017 f 2016 ... f 0 f 1 ... f 2018 . 
 Lời giải 
 1 2018x 2018x
Ta có fx 1 
 20181 x 2018 2018 2018x 2018 2018 2018x 2018 
 1 2018x 1
 f x f 1 x . 
 2018x 2018 2018 2018x 2018 2018
3 | 
 Câu 2 
[Mức độ 1] Cho số thực dương x . Rút gọn biểu thức: 
 T x 44 x 1 x x 1 x x 1 . 
 Lời giải 
 22
T x 1 44 x x 1 x x x 1 x 11 4 x x x
 2
 x 2 x 1 x x 1 x x 11 x x x 2 xx2 1. 
 xx 1 
Vậy T x2 x 1. 
 Câu 3 
 11
 a33 b b a
[Mức độ 2] Cho các số thực dương a và b . Hãy rút gọn biểu thức: P 3 ab . 
 66ab 
 Lời giải 
 1 1 111 1 1 1 1 1
 3 3 322 3 1 3 3 6 6 1111
 a b b a3 a b b a a b b a 
P ab ab 3 ab 33 a33 b ab 0. 
 66ab 11 11
 ab66 ab66 
Vậy P 0 . 
 Câu 4 
[Mức độ 3] Rút gọn biểu thức P x x x... x với n dấu căn và x là số thực dương. 
 Lời giải 
 1
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 1 2 ... 
 . . . . ... 2 3nn 2
Ta có P x2 . x x x ... x x2. x 2 2 . x 2 2 2 ... x 2 2 2 x2. x 2 . x 2 ... x 2 x 2 2 2 . 
 1 1 1 1
Ta thấy S ... là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số 
 n 2 223 2 2n
 n
 1
 1
 1 1 112
hạng đầu u , công bội q . Khi đó S .1 . 
 1 2 2 n 22 1 n
 1
 2
 1
 1 
Vậy Px 2n . 
 Câu 5 
[Mức độ 3] Rút gọn biểu thức sau với a 0, b 0, a b 
5 | 
 a. 3 15 và 4 20 b. 3 7 15 và 10 3 28 . 
 Lời giải 
a. Vì 3 15 12 154 12 50625 và 420 12 203 12 8000 . 
Mà 50625 8000 nên 3 15 4 20 . 
b. Ta có 337 15 8 16 2 4 6 , 10 33 28 9 27 3 3 6 . 
 33
Vậy 7 15 10 28 . 
 Câu 4 
[Mức độ 2] Có thể kết luận gì về số a nếu: 
 3 11
 2 
 a. 22 aa 4 b. 11 aa 32 . 
 Lời giải 
 3
a. Ta có 2 mà nên 0 2 a 1 12 a . 
 4
 11
 b. Ta có mà nên 1 aa 1 0. 
 32
 Câu 5 
[Mức độ 3] Cho U 2.20192020 , V 20192020 , W 2018.20192019 , X 5.20192019 
và Y 20192019 . Trong các số sau đây, số nào bé nhất XY ; UV ; V W ; W X ? 
 Lời giải 
Ta có XY 5.20192019 2019 2019 4.2019 2019 . 
UV 2.20192020 2019 2020 2019 2020 2019.2019 2019 . 
V W 2019.20192019 2018.2019 2019 2019 2019 . 
W X 2018.20192019 5.2019 2019 2013.2019 2019 . 
Vậy trong các số trên số nhỏ nhất là : . 
 Câu 6 
 2
 22
[Mức độ 4] So sánh hai số 11 2 2 3 3 ... 1000 1000 và 22 . 
 Lời giải 
 2
 224 2 16
Ta thấy rằng 22 2 2 2 2 mà 210 1024 1000, và 26 64 . 
 2
 22
 Suy ra 216 2 10 .2 6 64000 nên 222 64000 . 
 1 2 3 1000 1000 1001 10 1001 10010 64000
 Mặt khác 1 2 3 ... 1000 1000.1000 1000 (2 ) 2 2 . 
 2
 22
 Từ đó suy ra 11 2 2 3 3 ... 1000 1000 2 2 . 
 DẠNG 4: ĐIỀU KIỆN CHO CÁC BIỂU THỨC CHỨA LŨY THỪA 
 Câu 1 
 5
[Mức độ 1] Tìm x để biểu thức P x 21 x 3 có nghĩa.
 Lời giải 
7 | 
 Câu 6 
 2
[Mức độ 2] Tìm điều kiện của để biểu thức P x x32 32 x x có nghĩa. 
 Lời giải 
Nhận xét 2 là số mũ không nguyên nên điều kiện để biểu thức Px có nghĩa là: 
 x32 3 x 2 x 0 x 0;1  2; . 
Vậy x 0;1  2; . 
 Câu 7 
 3
[Mức độ 2] Tìm điều kiện của để biểu thức P x x 35 2 4 x có nghĩa. 
 Lời giải 
 3
Nhận xét là số mũ không nguyên nên điều kiện để biểu thức Px đã cho có nghĩa là: 
 2
 xx 3 0 3
 35 x . 
 5 xx 0 5
Vậy 35 x . 
 Câu 8 
 3
 23x 
[Mức độ 2] Tìm để biểu thức Px 2 có nghĩa. 
 xx 32
 Lời giải 
Nhận xét 3 là số mũ nguyên dương nên điều kiện để biểu thức Px có nghĩa là: 
 2 x 1
 xx 3 2 0 .
 x 2 
Vậy x \ 1;2 . 
 Câu 9 
 5
[Mức độ 2] Tìm để biểu thức P x x 1 2018 2 có nghĩa. 
 Lời giải 
 5
Nhận xét là số mũ không nguyên nên điều kiện để biểu thức Px có nghĩa là: 
 2
 x 1 2018 0
 xx 1 0 1. 
 x 10
Vậy x 1. 
 Câu 10 x
 2
 xx 32 71 
[Mức độ 2] Tìm để biểu thức P x 2 x 5 3 x 11 có nghĩa. 
 3 x
9 |