Chuyên đề Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Lớp 11

 MỤCLỤC
CHƯƠNG1Hàmsè lượng gi¡c và phương tr¼nh lượng gi¡c 5 
 1 C¡c hàm sè lượng gi¡c 5
 A Mët sè d¤ng to¡n 5
 B Bài tªp tự luªn 10
 C Bài tªp tr­c nghi»m 11
 2 Phương tr¼nh lượng gi¡c cơ b£n 17
 A Tóm t­t l½ thuy¸t 17
 B Mët sè d¤ng to¡n. 18
 C Bài tªp ôn luy»n 20
 D Bài tªp tr­c nghi»m 20
 3 Phương tr¼nh bªc hai, bªc ba đối với mët hàm sè lượng gi¡c 26
 A Bài tªp tự luªn 26
 B Bài tªp tr­c nghi»m 26
 4 Phương tr¼nh bªc nh§t đối với sin x và cos x 30
 A Phương ph¡p gi£i 30
 B Bài tªp tự luªn 31
 C Bài tªp tr­c nghi»m 32
 D Phương tr¼nh d¤ng a sin x + b cos x = c sin u + d cos u, với a2 + b2 =
 c2 + d2 35
 5 Phương tr¼nh đẳng c§p bªc hai đối với sin x và cos x 36
 A Phương ph¡p gi£i to¡n 36
 B Bài tªp tự luªn 36
 C Bài tªp tr­c nghi»m 37
MỤC LỤC 12 B§t phương tr¼nh lượng gi¡c cơ b£n 54
 Æn tªp chương55 
 A Bë đề sè 1 55
 B Bë đề 2 58
MỤC LỤC Dạng 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác y = f (x).
Phương pháp.
Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số y = f (x).
Bước 2. Với mọi x 2 D:
 § −x 2 D
  Nếu thì y = f (x) là hàm số chẵn.
 f (−x) = f (x)
 § −x 2 D
  Nếu thì y = f (x) là hàm số lẻ.
 f (−x) = − f (x)
Chú ý 2. Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng, đồ thị hàm số chẵn nhận trục
tung (trục Oy) làm trục đối xứng.
Chú ý 3. Ta có
 (1) cos(−x) = cos x, 8x 2 R; (2) sin(−x) = − sin x, 8x 2 R;
 p
 (3) tan(−x) = − tan x, 8x 6= + kp; (4) cot(−x) = − cot x, 8x 6= kp.
 2
Vậy hàm số y = cos x là hàm số chẵn, các hàm số y = sin x, y = tan x, y = cot x là hàm số lẻ.
Bài 4. Xét tính chẵn-lẻ của mỗi hàm số sau:
 1 y = −19 cos x; 2 y = sin x − 2 sin3 x;
 3 y = sin3 x cos8 x − 2 cot x; 4 y = sin x − cos x;
 tan x − cot 2x
 5 y = ; 6 y = 8 sin x + 5 cos x − 2.
 sin x
Bài 5. Xét tính chẵn-lẻ của các hàm số sau:
 tan x + cot x cos x
 1 y = ; 2 y = ;
 sin x 2 jsin xj − 1
 p p
 3 y = jsin x − cos xj − jsin x + cos xj; 4 y = 1 + sin x − 1 − sin x.
Bài 6. Xác định các giá trị của m sao cho hàm số
 y = f (x) = 2m sin 2008x + 5 cos 3x
là hàm số chẵn
 Dạng 3. Xét chiều biến thiên của hàm số lượng giác.
Phương pháp.
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Dựa vào chiều biến thiên của các hàm số lượng giác cơ bản:
  p p 
  Hàm số y = sin x đồng biến trên mỗi khoảng − + k2p; + k2p và nghịch biến
 2 2
 p 3p 
 trên mỗi khoảng + k2p; + k2p (với k 2 Z).
 2 2
  Hàm số y = cos x đồng biến trên mỗi khoảng ((2k − 1)p; k2p) và nghịch biến trên mỗi
 khoảng (k2p; (2k + 1)p) (với k 2 Z).
 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC h p i
 b) Hàm số y = sin x trên đoạn − ; 0 .
 2
 h p p i
 c) Hàm số y = sin x trên đoạn − ; − .
 2 3
 h p p i
 d) Hàm số y = tan 2x trên đoạn − ; .
 8 6
Bài 9. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
  p  p p
 1 y = 5 sin x − + 2; 2 y = 1 − cos(3x2) − 2; 3 y = 2008 cos x − 1.
 6
Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
 1 y = sin x + cos x; 2 y = sin4 x + cos4 x; 3 y = sin6 x + cos6 x.
Bài 11. Cho trước hai số thực a, b không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số: y = a sin x + b cos x.
Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
 y = 2 sin2 x + 3 sin x cos x + cos2 x.
Bài 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
 p
 y = jsin xj − cos x.
Bài 14. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
 y = 12 sin4 x + sin2 2x + cos 4x + 2 cos2 x.
Bài 15. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:
 g(x) = sin x + cos x − 2 sin 2x + 3.
 Dạng 5. Phương pháp lượng giác hoá.
Phương pháp.
 p p
  Nếu gặp −a ≤ u ≤ a thì đặt u = a sin a, với − ≤ a ≤ hoặc đặt u = a cos a, với
 2 2
 0 ≤ a ≤ p.
 p p
  Nếu gặp a2 + u2 thì ta đặt u = a tan a, với − < a < hoặc đặt u = a cot a, với
 2 2
 0 < a < p.
  Nếu gặp u2 + v2 = 1 thì ta đặt u = cos a và v = sin a, với 0 ≤ a ≤ 2p.
Bài 16. Cho x2 + y2 = 1, u2 + v2 = 1, xu + yv = 0. Chứng minh
 x2 + u2 = 1, y2 + v2 = 1, xy + uv = 0.
 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 28. Tìm x để bất phương trình
 x2 + 2x (sin y + cos y) + 1 ≥ 0. (1)
 đúng với mọi y 2 R.
 Bài 29. Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện
 p p p
 x 6= + kp, y 6= + mp, z 6= + np (k, m, n 2 Z).
 2 2 2
 Chứng minh rằng
 tan x + tan y + tan z = tan x tan y tan z , x + y + z = lp, l 2 Z.
 Bài 30. Cho a1, a2,..., an là các số thực thoả mãn
 n
 −2 ≤ ai ≤ 2, 8i = 1, 2, . . . , n; ∑ ai = 0.
 i=1
  3 3 3 
 Chứng minh rằng a1 + a2 + ··· + an ≤ 2n.
B. BÀI TẬP TỰLUẬN
 Bài 31. Xét tính chẵn - lẻ của mỗi hàm số sau:
  p 
 1 y = cos x − ; 2 y = tan jxj; 3 y = tan x − sin 2x.
 4
 Bài 32 (Kosovo National Mathematical Olympiad 2011, Grade 11).
 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = 8 − 3 sin2 3x + 6 sin 6x.
 Bài 33. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
 y = cos2 2x − sin x cos x + 4.
 Bài 34. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
 y = cos4x − 3cos2 x + 5.
 x
 Bài 35. Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng y = với đồ thị hàm số y = sin x
 p 3
 đều cách gốc tọa độ một khoảng nhỏ hơn 10.
 Bài 36. Từ tính chất hàm số y = sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì 2p, hãy chứng minh
 rằng:
 a) Hàm số y = A sin (ax + b) + B (A, B, a, b là những hằng số, Aa 6= 0) là một hàm số tuần
 2p
 hoàn với chu kì .
 jaj
 b) Hàm số y = cos (ax + b) + B (A, B, a, b là những hằng số, Aa 6= 0) là một hàm số tuần
 2p
 hoàn với chu kì .
 jaj
 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 6 (Thi HK1, THPT Lương Thế Vinh Hà Nội, 2019).
Xét trên tập xác định của hàm số thì khẳng định nào sau đây là đúng?
 A. Hàm số y = cos x là hàm số lẻ. B. Hàm số y = sin 2x là hàm số lẻ.
 C. Hàm số y = tan x là hàm số chẵn. D. Hàm số y = cot 2x là hàm số chẵn.
Câu 7 (Học kỳ 1 lớp 11, trường THPT Lê Quý Đôn, Đà Nẵng, 2019).
Tập hợp R n fkpjk 2 Zg không phải là tập xác định của hàm số nào sau đây?
 1 − cos x 1 + cos x 1 + cos x 1 − cos x
 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = .
 sin x sin 2x sin x 2 sin x
Câu 8 (Học kỳ 1 lớp 11, trường THPT Lê Quý Đôn, Đà Nẵng, 2019).
Tập xác định của hàm số y = cot 2x là
 np  o
 A. R. B. R n + kpk 2 Z .
 2 
 np p  o n p  o
 C. R n + k k 2 Z . D. R n k k 2 Z .
 4 2  2 
Câu 9. Tìm tập giá trị T của hàm số y = 2 cos x.
 A. T = [−2; 2]. B. T = [−1; 1]. C. T = R. D. T = (−1; 1).
 3
Câu 10. Tập xác định của hàm số y = là
 1 − sin x
 n p o n p o
 A. D = x 2 Rjx 6= + k2p, k 2 Z . B. D = x 2 Rjx 6= + kp, k 2 Z .
 2 2
 n p o
 C. D = x 2 Rjx 6= + k2p, k 2 Z . D. D = fx 2 Rjx 6= k2p, k 2 Zg.
 4
Câu 11 (Học kỳ 1 lớp 11, trường THPT Lê Quý Đôn, Đà Nẵng, 2019).
Xét hàm số y = cos x với x 2 [−p; p]. Khẳng định nào sau đây đúng?
 A. Hàm số nghịch biến trên (−p; 0) và đồng biến trên (0; p).
 B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−p; 0) và (0; p).
 C. Hàm số đồng biến trên (−p; 0) và nghịch biến trên (0; p).
 D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−p; 0) và (0; p).
Câu 12 (Học kỳ 1, lớp 11, Sở GD và ĐT - Vĩnh Phúc, 2019).
Khẳng định nào sau đây đúng?
  p p 
 A. Hàm số y = tan x nghịch biến trên khoảng − ; .
 4 4
 B. Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng (0; p).
  p 
 C. Hàm số y = cot x nghịch biến trên khoảng 0; .
 2
 D. Hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng (0; p).
Câu 13 (Thi HK1, THPT Lương Thế Vinh Hà Nội, 2019).
Cho hàm số f (x) = sin 3x. Mệnh đề nào dưới đây sai?
 A. Hàm số có tập xác định là R. B. Hàm số là một hàm lẻ.
 C. Hàm số có tập giá trị là [−3; 3]. D. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ.
Câu 14 (Học kỳ 1 lớp 11, THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh, 2018-2019).
  p 
Tập giá trị của hàm số y = sin 2x + là
 2
 A. (−1; 1). B. [−1; 1]. C. R. D. R n f±1g.
 p
Câu 15. Tìm tập xác định của hàm số y = 7 − 7 cos x.
 n p o
 A. D = x 2 Rjx 6= + k2p, k 2 Z . B. D = R.
 2
 C. D = fx 2 Rjx 6= k2p, k 2 Zg. D. D = fx 2 Rjx 6= p + k2p, k 2 Zg.
Câu 16. Tìm tập xác định của hàm số y = tan x + cot x.
 § kp ª § kp ª
 A. D = x 2 Rjx 6= p + , k 2 Z . B. D = x 2 Rjx 6= , k 2 Z .
 2 4
 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC