Chuyên đề Hàm số lượng giác và các bài toán liên quan - Đại số 11

 Giải tích lớp 11 | 
ĐẠI SỐ 11. CHƯƠNG I. 
LƯỢNG GIÁC 
PHẦN I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 
 DẠNG 1. TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ 
 I LÝ THUYẾT. 
+ Định nghĩa tập xác định của hàm số 
+ Tập xác định của 4 hàm số lượng giác. 
Hàm số y sin x ; y cosx có tập xác định là . 
  
Hàm số yx tan có tập xác định là \,  kk . 
 2
Hàm số yx cot có tập xác định là \, kk . 
PHƯƠNG PHÁP 
+ Tìm điều kiện để hàm số có nghĩa 
+ Giải ra điều kiện 
+ Suy ra tập xác định của hàm số 
Chú ý: Cho hàm số y f x xác định bởi: 
 Px 
- y f x thì y f x có nghĩa khi Qx 0 
 Qx 
- y f x 2n Q x thì y f x có nghĩa khi Qx 0 
 Px 
- y f x thì y f x có nghĩa khi Qx 0 
 2n Qx 
Chú ý: khi tìm tập xác định (phân thức, căn thức). 
 II VÍ DỤ. 
 = 
 1 | Giải tích lớp 11 | 
cosx 0 x k 2 ; k 2 ; k . 
 22
Vậy D k2 ; k 2 ; k . 
 22
h) Điều kiện xác định của hàm số là 
 22 k 
sinx cos x 0 cos 2 x 0 2 x k x ; k . 
 2 4 2
  k
Vậy tập xác định của hàm số là Dk \;  . 
 42
i) Điều kiện xác định của hàm số là 
 k 
 3x k x 
 sin 3x 0 6 18 3
 6 
 k 
 cos 2x 0 2 x k x ; k . 
 2 4 2
 sinx 1 
 x k22 x k
 22
  kk 
Vậy tập xác định của hàm số là D \  ; k 2 ; ; k . 
 18 3 2 4 2
j) Ta có điều kiện xác định của hàm số là 
 5 2cot2 x sinx 01 
 sin x 0 2 
 2
 222
Ta có 5 2cotx sinx 3 sinx 2 1 cot x 3 sinx 2  0 x . 
 sin x
 2; x k x k k . 
 22
  
Vậy tập xác định của hàm số là D \;  k k . 
 2
 Ví dụ 2 
 Tìm để hàm số sau xác định trên ℝ. 
 a) . b) 
 Lời giải 
a) Điều kiện xác định của hàm số là 
 2m
2m 3cos x  0 x ; 3cos x 2 m ;  x cos xx  . 
 3
 2m 3
 1 m . 
 3 2
 3 | Giải tích lớp 11 | 
 Nếu f x f x kết luận hàm số là hàm chẵn. 
 Nếu f x f x kết luận hàm số là hàm lẻ. 
 Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ. 
Chú ý: Với các hàm số lượng giác cơ bản, ta có: 
1. Hàm số yx sin là hàm số lẻ. 
2. Hàm số yx cos là hàm số chẵn 
3. Hàm số yx tan là hàm số lẻ. 
4. Hàm số yx cot là hàm số lẻ. 
* Lưu ý: Một số công thức liên quan đến việc xử lí dấu “ ’’ 
1. Công thức hai cung đối nhau: 
sin x sin x ; cos x cos x ; tan x tan x ; cot x cot x 
2. xx 
3. xx n n khi n chẵn và xx n n khi n lẻ. 
 II VÍ DỤ. 
 = 
 Ví dụ 1 
 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau 
 a) b) c) d) 
 Lời giải 
a) Tập xác định: D là tập đối xứng do đó x D x D 1. 
NX: f x 2 x sin x 2 x sin x f x 2 . 
Từ 1 và 2 ta kết luận hàm số đã cho là hàm số chẵn. 
b) Tập xác định: D là tập đối xứng do đó x D x D. 
Ta có f x cos x sin 2 x cos x 2sin2 x . 
NX: f x f x và f x f x 
Do đó hàm số đã cho không chẵn, không lẻ. 
c) Tập xác định: D \0 là tập đối xứng do đóx D x D. 
 cos 2xx cos 2 
Ta có f x f x .
 xx 
Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ. 
  k
d) Tập xác định: Dk \|  là tập đối xứng do đó x D x D. 
 42
 5 | Giải tích lớp 11 | 
 Ví dụ 3 
 Xác định tất cả các giá trị của tham số để hàm số là 
 hàm chẵn. 
 Lời giải 
- Tập xác định: D là tập đối xứng do đó x D x D. 
- Để hàm số đã cho là hàm số chẵn thì f x f x ,.  x D 
 3m sin 4 x cos 2 x 3 m sin4 x cos2 x ,  x D 
 3m sin 4 x cos 2 x 3 m sin4 x cos2 x ,  x D 
 6m sin 4 x 0,  x D 
` m 0. 
 DẠNG 3: TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ 
 I LÝ THUYẾT. 
Định nghĩa: Hàm số y f x có tập xác định là D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một 
số T 0 sao cho với mọi xD ta có: 
 x T D và x T D . 
 f x T f x . 
Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì hàm số tuần hoàn đó. 
Người ta chứng minh được rằng hàm số yx sin tuần hoàn với chu kì T 2 ; hàm số yx cos 
tuần hoàn với chu kì T 2 ; hàm số yx tan tuần hoàn với chu kì T ; Hàm số yx cot tuần 
hoàn với chu kì T . 
Chú ý: 
 2 
 Hàm số y sin ax b tuần hoàn với chu kì T . 
 0 a
 2 
 Hàm số y cos ax b tuần hoàn với chu kì T . 
 0 a
 Hàm số y tan ax b tuần hoàn với chu kì T . 
 0 a
 Hàm số y cot ax b tuần hoàn với chu kì T . 
 0 a
 7 | Giải tích lớp 11 | 
 11
 cosT 1 T k 2 k 
 sin T sin
 2 2
Vì T 0;2 Không tồn tại số nguyên k thỏa mãn T k2 k Điều giả sử là sai. 
 1
 Vậy hàm số y là hàm số tuần hoàn và có chu kì T 2 
 sin x
 Ví dụ 3 
 Tìm chu kỳ của hàm số . 
 Lời giải 
 2 
Ta có hàm số y sin 3x có chu kỳ T1 và hàm số y cos 2x có chu kỳ T2 
 3 
 2 
 chu kỳ T của hàm số y sin3 x 3cos2 x là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2 
 3
 T 2 . 
 DẠNG 4: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM 
 SỐ LƯỢNG GIÁC 
Dạng 4.1: Dựa vào tính bị chặn của hàm số sin, hàm số cos 
 I LÝ THUYẾT. 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 
 1 sinx 1 0 sinx 1 0 sin2 x 1 0 sinx 1
i) ii) iii) iiii) 
 2 
 1 cosx 1 0 cosx 1 0 cosx 1 0 cosx 1
 II VÍ DỤ. 
 = 
 9 | Giải tích lớp 11 | 
e. Tập xác định: D . 
y 2 sin4 x cos 4 x 3 2 1 2sin 2 x .cos 2 x 3 5 sin 2 2 x 
Ta có: 0 sin2 2x 1 4 5 sin2 2x 5 45 y . 
 k 
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5 sin 2x 0 x , k . 
 2
 k
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 4 sin2 2x 1 cos 2 x 0 x , k . 
 42
 3 3 2
f. Với x ; 2;x sin 2x 1 
 88 44 2
 32
 12 y 9. 
 2
 3 
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số với x ; là 9 sin 2xx 1 . 
 88 4
 3 32 2 
Giá trị nhỏ nhất của hàm số với x ; là 12 sin 2xx . 
 88 2 28
 2 x 
g. Ta có yx 4cos 7 2cos 5 
 2 12 6 
 5 3 
Với x 0;  x ; cos x 1 
 6 6 6 26 
 3 5 y 3. 
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số với x 0;  là 3 cos xx 1 . 
 66
 3
Giá trị nhỏ nhất của hàm số với x 0;  là 35 cos xx . 
 62
Dạng 4.2: Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình thuần nhất 
 2 2 2
asin x b cos x c có nghiệm khi a b c . 
 11 |