Chuyên đề Hàm số liên tục - Đại số Lớp 11

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 
GIẢI TÍCH 11. CHƯƠNG IV 
 BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC 
 I LÝ THUYẾT 
 = 
 1. Hàm số liên tục tại một điểm 
 Định nghĩa 1. 
 Cho hàm số y f() x xác định trên khoảng K và xK0 . 
 Hàm số được gọi là liên tục tại x0 nếu limf ( x ) f ( x0 ) . 
 xx 0
 Hàm số không liên tục tại x0 ta nói hàm số gián đoạn tại x0 . 
 2. Hàm số liên tục trên một khoảng 
 Định nghĩa 2. 
 Hàm số liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. 
 Hàm số liên tục trên đoạn ab;  nếu nó liên tục trên ab; và limf ( x ) f ( a ), 
 xa 
limf ( x ) f ( b ). 
xb 
 3. Các định lý cơ bản 
 Định lý 1. 
 a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập . 
 b) Hàm số phân thức hữu tỉ, hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. 
 Định lý 2. 
 Cho các hàm số y f() x , y g() x liên tục tại x0 . Khi đó: 
 a) Các hàm số y f()() x g x , y f()() x g x , y f( x ). g ( x ) liên tục tại x0. 
 fx()
 b) Hàm số y liên tục tại x nếu gx( ) 0 . 
 gx() 0 0
 Định lý 3. Nếu hàm số y f() x liên tục trên đoạn ab;  và f( a ). f (b) 0 thì tồn tại ít nhất một 
 số c a; b sao cho f (c) 0. 
 Chú ý: Ta có thể phát biểu định lý 3 theo cách khác như sau: 
 Nếu hàm số liên tục trên đoạn và thì phương trình fx( ) 0 có ít 
 nhất một nghiệm thuộc ab; . 
 II CÁC DẠNG BÀI TẬP 
 =
DẠNG 1: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 
Phương pháp giải: Để xét tính liên tục của hàm số y f x tại điểm x0 ta thực hiện các bước 
như sau: 
 Tìm tập xác định D của hàm số. 
 Kiểm tra xem x0 có thuộc tập xác định ? Nếu xD0 thì thực hiện bước kế tiếp, nếu xD0 
thì kết luận hàm số gián đoạn tại . 
1 | 
 Ví dụ 3 
 Xét tính liên tục của hàm số tại . 
 Lời giải 
Tập xác định: D và xD 8 . 
 f 8 2.( 8) 8 8. 
 limf x lim 2 x 8 8. 
xx 88 
 x2 64 xx 88 
 limf x lim lim lim x 8 16 . 
x 8 x 8 xx 88 x 8 x 8 
Vì limf x lim f x nên không tồn tại giới hạn lim fx . 
 xx 88 x 8
Vậy hàm số đã cho gián đoạn tại x 8. 
 Ví dụ 4 
 Xét tính liên tục của hàm số tại . 
 Lời giải 
Tập xác định: và xD 1 . 
 1
 f 1 . 
 4
 11
limf x lim x . 
xx 11 44
 2
 2
 x 32 x 32 x 1 1 1
 lim lim . 
limfx lim lim 
x 1 x 1 x 1 x 1 xx 1 3 2 xx 11 xx 1 3 2 x 32 4
 1
Nhận thấy limf x lim f x lim f x f 1 
 x 1 xx 11 4
Vậy hàm số đã cho liên tục tại x 1. 
 Ví dụ 5 
 Cho hàm số . Với giá trị nào của thì hàm số liên tục 
 tại ? 
 Lời giải 
Tập xác định D và xD 2 . 
Ta có: f 2 11 
3 | 
 3 6xx 5 4 3 8t 12 4
Vậy lim lim 2 . 
 2 
 x 1 (x 1) t 0 3 (6t 1)22 (2 t 1)63 t 1 (2 t 1) (2tt 1 4 1)
 3 6xx 5 4 3 2
Để hàm số liên tục tại x 1 khi f (1) lim 2019m 2 m . 
 x 1 (x 1)2 2019
DẠNG 2: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNG, NỬA KHOẢNG, ĐOẠN 
Phương pháp giải: 
 1. Hàm số fx() liên tục trên khoảng (;)()a b f x liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (;)ab. 
 2. Hàm số liên tục trên a;() b f x liên tục trên khoảng và limf ( x ) f ( a ); 
 xa 
 limf ( x ) f ( b ). 
 xb 
 Ví dụ 1 
 Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó. 
 Lời giải 
+ TXĐ: D . 
Ta có: 
+ Trên khoảng ( ;1): f x 24 x là hàm đa thức nên fxliên tục trên ( ;1). 
+ Trên khoảng (1; ): f x x2 x 1 là hàm đa thức nên fx liên tục trên (1; ). 
 3
+ Tại điểm x0 1, ta có: f (1) 1 1 1 3 ; 
 limf ( x ) lim(2 x 4) 6 
 xx 11 
 3
limf ( x ) lim( x x 1) 3 
x 1 x 1 
Vì limf ( x ) lim f ( x ) nên không tồn tại limfx ( ) . Vậy hàm số không liên tục tại điểm x0 1. 
 xx 11 x 1
Tóm lại fx liên tục trên khoảng ( ;1)và (1; ) và gián đoạn tại điểm x0 1. 
 Ví dụ 2 
 Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó. 
 Lời giải 
+ TXĐ: D . 
 xx2 23
+ Nếu x 3 thì fx() . Vì fx() là thương của 2 đa thức, đồng thời mẫu số x 30 
 x 3
nên fx() liên tục trên các khoảng ( ;3) và (3; ) . (1) 
+ Nếu x 3 ta có f (3) 4 và 
5 | 
 Ví dụ 5 
 Cho hàm số . Tìm để liên tục trên . 
 Lời giải 
+ TXĐ: D 0; . 
 3
+ Với x 9 thì fx() là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên nửa khoảng 9; nên liên tục 
 x
trên nửa khoảng . 
 39 x
+ Với 09 x thì fx() là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng 0;9 nên liên 
 x
tục trên khoảng . 
+ Tại điểm x 0 : 
 39 x 1 1
Ta có fm 0 và limfx lim lim . 
 xx 00 x x 0 39 x 6
 1
Vậy để hàm số liên tục trên 0; thì khi hàm số liên tục tại limf x f (0) m . 
 x 0 6
DẠNG 3: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM 
Phương pháp giải: Để chứng minh phương trình có nghiệm bằng cách sử dụng tính liên tục của 
hàm số, ta thực hiện các bước sau 
  B1: Biến đổi phương trình về dạng fx 0 . 
  B2: Tìm hai số a và b ab sao cho f a .0 f b . 
  B3: Chứng minh hàm số fx liên tục trên ab; . 
 Từ đó suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc ab; . 
 1. Trường hợp 1: Phương trình không chứa tham số m . 
 (Casio hỗ trợ việc tìm hai số và sao cho f a .0 f b ). 
 Ví dụ 1Ví Ví 
 Chứng minh rằng phương trình có nghiệm trong khoảng . 
 Lời giải 
Đặt f x 4 x32 8 x 1. 
7 | 
 3 3 1 1
Do các khoảng 2; ; ;1; 1; ; ;1 ; 1;3 không giao nhau nên phương trình có 
 2 2 2 2 
ít nhất 5 nghiệm. 
Mà phương trình đã cho là phương trình bậc 5 có không quá 5 nghiệm. 
Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm. 
 2. Trường hợp 2: Phương trình chứa tham số . 
 Ví dụ 1 
 Chứng minh rằng phương trình có nghiệm trong khoảng . 
 Lời giải 
 3
Đặt f x m x 1 x 2 2 x 3. 
+ Ta có f 11 , f 21 nên ff 1 . 2 0 . 
+ Hàm số liên tục trên nên liên tục trên 1;2. 
Vậy phương trình m x 1 3 x 2 2 x 3 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng 1;2 . 
 Ví dụ 
 2 
 Chứng minh rằng phương trình có nghiệm trong khoảng . 
 Lời giải 
Đặt f x m2 x 4 2 mx 3 3 x 1. 
 f 01 
+ Ta có: nên ff 0 . 1 0 . 
 f 1 m2 2 m 2 m 1 2 1 0,  m
+ Hàm số liên tục trên hàm số nên liên tục trên 0;1. 
Vậy phương trình m2 x 4 2 mx 3 3 x 1 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng 0;1 suy ra phương 
trình có nghiệm trong khoảng 0;1 . 
 Ví dụ 
 3 
 m
 Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm. 
 Lời giải 
Đặt f x 1 m25 x 3 x 1. 
+ Hàm số liên tục trên nên hàm số liên tục trên  1;0 . 
+Ta có: f 01 
 f 1 m2 1 0,  m nên ff0 . 1 0 
9 |