Chuyên đề Hàm số - Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS

 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ 
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS 
 m10−> m1>
 
 m−< 2012 0 m < 2012
⇔⇔ 
 m10−< m1<
 
 m−> 2012 0 m > 2012
⇒<1 m < 2012 
Vậy khi 1<< m 2012 thì hàm số nghịch biến. 
Ví dụ 3. (Trích đề thi HSG tỉnh Lâm Đồng năm 2010-2011) 
Cho hàm số y = f(x) = (3m2 – 7m +5) x – 2011 (*) . Chứng minh hàm số (*) luôn đồng biến 
trên R với mọi m. 
 Lời giải 
 2 75
 Ta có: 3m2 – 7m + 5 = 3mm−+ 
 33
 2
 7 49 60
 =3m − −+
 6 36 36
 2
 7 11
 =3 m − + >∀0 m
 6 36
Vây f(x) đồng biến trên R với mọi m 
Ví dụ 4. Với giá trị nào của m thì hàm số sau là hàm số bậc nhất: 
 3− 4m 3 1
 a) y= x−= 5 b) y x − 
 2 m42 − 2
 Lời giải 
a) Để hàm số là hàm số bậc nhất thì: 
 3− 4m 3
 ≠⇔0 3 − 4m ≠⇔ 0 m ≠ 
 24
 3
Vậy để hàm số là hàm số bậc nhất thì m ≠ 
 4
b) Để hàm số là hàm số bậc nhất thì m ≠ 2 và m ≠ -2. 
CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ Y = AX2 
Tóm tắt lý thuyết: 
 Hàm số y ax a 0 xác định với mọi số thực x . 
 Đồ thị của hàm số y ax là một đường thẳng đi qua gốc toạ độ. 
 Trên tập hợp số thực, hàm số y ax đồng biến khi a 0 , nghịch biến khi a 0 . 
Ví dụ minh họa: 
 Ví dụ 3. Cho các điểm A(1; 4) và B(3; 1) . Xác định đường thẳng y ax sao cho A và 
B nằm về hai phía của đường thẳng và cách đều đường thẳng đó. 
 Lời giải 
 Kí hiệu đường thẳng phải tìm là d . 
 Gọi AH và BK là khoảng cách từ A đến B 
đến đường thẳng d . Đường thẳng đi qua A và song song 
 4 
với Ox cắt d tại điểm M ;4 . Đường thẳng đi qua B 
 a 
 1 
và song song với Ox cắt d tại điểm N ;1 . 
 a 
 Ta có AH BK AM NB 
 41
 13 (1) 
 aa
 5 5
 Giải (1) ta được a , khi đó đường thẳng d phải tìm là yx . 
 4 4
 Chú ý: 
 a) Nếu đề bài không có điều kiện “ A và B nằm về hai phía của đường thẳng 
 41
y ax ” thì thay cho (1) ta phải viết 13 . Khi đó ngoài (1), ta còn phải giải 
 aa
41 3
 13 . Trường hợp này cho kết quả a , các điểm A và B nằm cùng phía đối 
aa 2
 3 3
với đường thẳng yx và cách đều đường thẳng đó (đường thẳng yx là đường 
 2 2
thẳng d ' trên hình 4). 
 b) Nếu sử dụng công thức tính toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB thì 
 2, 5 5
đường thẳng y ax trong Ví dụ 21 đi qua điểm M(2; 2, 5) , ta tìm được a . 
 24
CHỦ ĐỀ 3: HÀM SỐ BẬC NHẤT Y = AX + B 
Tóm tắt lý thuyết: 
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y ax b , trong đó a và b là các số 
thực xác định, a 0 . 
 Hàm số y ax b (a 0) xác định với mọi số thực x . 
 Trên tập hợp số thực, hàm số y ax b đồng biến khi a 0 , nghịch biến khi a 0 . 
 Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng cắt cả hai trục toạ độ. 
 Hàm số y ax là trường hợp đặc biệt của hàm số y ax b khi b 0 . 
Ví dụ minh họa: 
 1 m
 Gọi B là giao điểm của đường thẳng (1) với trục hoành. Với y 0 thì x nên 
 m
 1 m
 OB . 
 m
 OAOB.
 S 2 2 OAOB .4 
 AOB 2
 2
 (m 1)2 mm 2 1 4 m (2)
 4 
 ||m mm2 2 1 4 m (3)
 Giải (2) ta có mm22 6 1 0 ( m 3) 8 
 |mm 3|22 3 22. 
 Giải (3) ta có mm22 2 1 0 ( m 1) 0 m 1 . 
 Có ba đường thẳng đi qua N tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 
 2 : 
 Với m 3 22, ta có đường thẳng yx (3 2 2) (2 2 2). 
 Với m 3 22, ta có đường thẳng yx (3 2 2) (2 2 2). 
 Với m 1 , ta có đường thẳng yx 2 . 
CHỦ ĐỀ 4: HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG Y = AX + B 
Tóm tắt lý thuyết: 
Xét hai đường thẳng d và d theo thứ tự có phương trình là y ax b (a 0) và 
y ax b (a 0). Ta có: 
 dd a a và bb 
 d trùng d aa và bb . 
 d cắt d aa . 
 d d aa 1. 
 Xét đường thẳng y ax b (a 0) . Gọi A là giao điểm của đường thẳng y ax b 
và trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y ax b và có tung độ dương. Ta gọi góc tạo 
bởi đường thẳng y ax b và trục Ox là góc tạo bỏi tia AT và tia Ax . Đặt góc đó là , 
nếu 000 90 và tg a , nếu a 0 thì 9000 180 và tg(1800 ) a . Cho biết a , 
ta tính được , hệ số a được gọi là hệ số góc của đường thẳng y ax b . 
Ví dụ minh họa: 
 Ví dụ 1. Tìm các số dương mn, sao cho hệ số góc của đường thẳng y mx gấp bốn 
hệ số góc của đường thẳng y nx , góc tạo bởi đường thẳng y mx với trục Ox gấp đối 
góc tạo bởi đường thẳng y nx với trục Ox . Nếu a 0 thì hàm số nghịch biến với x 0 , đồng biến với x 0 , bằng 0 với x 0 . 
 Nếu a 0 thì hàm số đồng biến với x 0 , nghịch biến với x 0 , bằng 0 với x 0 . 
 Đồ thị của hàm số là một parabol; đi qua gốc toạ độ và nhận trục tung làm trục đối 
xứng. 
Ví dụ minh họa: 
Ví dụ 1. 
 1
 a) Cho parabol yx 2 , điểm A(0; 1) và đường thẳng d có phương trình y 1. Gọi 
 4
M là một điểm bất kỳ thuộc parabol. Chứng minh rằng MA bằng khoảng cách MH từ 
điểm M đến đường thẳng d . 
 b) Cho điểm Aa(0; ) , gọi d là đường thẳng có phương trình ya . Chứng minh rằng 
quỹ tích của điểm Mxy(; ) sao cho khoảng cách MH từ M tới d bằng MA là một parabol. 
 Lời giải 
 a) Ta luôn luôn có 
 MH y 1 . (1) 
 Để tính MA , ta kẻ MI Oy . 
 Ta có MI | x |, AI | y 1 | nên 
 MA2 MI 2 AI 22 x ( y 1) 2 
 xy22 21 y . 
 1
 Do yx 2 nên thay x 2 bởi 4y ta được 
 4
 MA22 4 y y 2 y 1 ( y 1) 2 Hình 4 
 Do đó MA | y 1| y 1 (do y 0 ). (2) 
 Từ (1) và (2) ta có MA MH . 
 b) (h.5 ứng với a 0 ) Theo công thức tính khoảng cách giữa hai điểm Mxy(; ) và Aa(0; ) 
 ta có 
 MA2 ( x 0) 22 ( y a ) 
 x22 y2 ay a 2. 
 Ta lại có MH || y a nên 
 MHya2 () 22 y 2 aya 2. 
 MA22 MH 
 x22 y22 ay a 2 y 2 ay a 2 
 1
 x22 4 ay y x . 
 4a AD. DO 1.1
 S = = = 0,5 
 AOD 22
Theo công thức cộng diện tích ta có: 
 S(ABC) = S(ABCD) - S(BCO) - S(ADO) = 20 – 13,5 – 0,5 = 6 (đvdt) 
B/ BÀI TẬP TỔNG HỢP 
Bài 1: (Trích đề Chuyên Đà Nẵng năm học 2019-2020) 
 1
 Cho hàm số yx= 2 có đồ thị (P) và điểm A() 2;2 . Gọi d là đường thẳng qua A có 
 2 m
hệ số góc m. Tìm tất cả các giá trị của m để dm cắt đồ thị ()P tại hai điểm A và B, đồng thời cắt 
trục Ox tại điểm C sao cho AB= 3AC . 
Bài 2: (Trích đề Chuyên Điện Biên năm học 2019-2020) 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : y= 2mx ++ m 2 (m là tham số) 
và parabol ()Py:2= x2 . Chứng minh với mọi giá trị của m thì d luôn cắt ()P tại hai 
 22
điểm phân biệt có hoành độ xx12, . Tìm m sao cho x1−− 6x 2 x 12 x = 0 . 
Bài 3: (Trích đề Chuyên Hưng Yên năm học 2019-2020) 
 −13
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y= x + và Parabol 
 2020 2020
(P) : y= 2x2 . Biết đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm B và C. Tìm tọa độ điểm A trên trục 
hoành để AB− AC lớn nhất. 
Bài 4: (Trích đề Chuyên Quảng Ninh năm học 2019-2020) 
 Cho trước p là số nguyên tố. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , lấy hai điểm 
Ap()8;0 và Bp()9 ;0 thuộc trục Ox . Có bao nhiêu tứ giác ABCD nội tiếp sao cho các 
điểm CD, thuộc trục Oy và đều có tung độ là các số nguyên dương. 
Bài 5: (Trích đề Chuyên Quảng Nam năm học 2019-2020) 
 Cho parabol (P) : y= − x2 và đường thẳng (d) : y=+− x m 2 . Tìm tất cả các giá trị 
của tham số m để ()d cắt ()P tại hai điểm phân biệt lần lượt có hoành độ xx12, thỏa mãn 
 22
xx312+<. 
Bài 6: (Trích đề Chuyên Quảng Bình năm học 2019-2020) 
 Cho parabol ()Pyx: = 2 và đường thẳng d đi qua điểm M ()0;1 có hệ số góc k . 
 a) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt ()P tại hai điểm AB, phân biệt với 
mọi giá trị k . 
 b) Chứng minh ∆OAB là tam giác vuông với mọi giá trị k (O là gốc tọa độ).