Chuyên đề Hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 Chủ đề 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC 2
 Vấn đề 1: Hàm số bậc nhất
Kiến thức cần nhớ:
 1. Định nghĩa:
+ Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức: y ax b trong đó 
a và b là các số thực cho trước và a 0 .
+ Khi b 0 thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số y ax , biểu thị tương 
quan tỉ lện thuận giữa y và x .
 2. Tính chất:
 a) Hàm số bậc nhất , xác định với mọi giá trị x R .
 b) Trên tập số thực, hàm số y ax b đồng biến khi a 0 và nghịch 
 biến khi a 0 .
 3. Đồ thị hàm số y ax b với a 0 .
+ Đồ thị hàm số y ax b là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ 
 b
bằng b và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng .
 a
+ a gọi là hệ số góc của đường thẳng y ax b
 4. Cách vẽ đồ thị hàm số y ax b .
+ Vẽ hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm.
+ Thường vẽ đường thẳng đi qua 2 giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ 
 b 
là A ;0 , B 0;b .
 a b) Gọi A là điểm thuộc đường thẳng (d1) có hoành độ x 2 . Viết 
 phương trình đường thẳng (d3 ) đi qua A vuông góc với (d1) .
 c) Khi (d1) / /(d2 ) . Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
 (d1), d2 .
 d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d1) và tính 
 diện tích tam giác OMN với M , N lần lượt là giao điểm của (d1) 
 với các trục tọa độ Ox,Oy .
Lời giải:
 a) Đường thẳng (d1) / /(d2 ) khi và chỉ khi 
 2m2 m 1 m 1 2m 1 0 1
 m .
 2 
 m m 2 m 1 m 2 0 2
 1
Vậy với m thì (d ) / /(d ) .
 2 1 2
 b) Vì A là điểm thuộc đường thẳng (d1) có hoành độ x 2 suy ra 
 tung độ điểm A l y 2 2 4 A 2;4 . 
Đường thẳng d1 có hệ số góc là a 1, đường thẳng d2 có hệ số góc là 
a' a'.1 1 a' 1 . Đường thẳng d3 có dạng y x b . Vì d3 
đi qua A 2;4 suy ra 4 2 b b 6 . Vậy đường thẳng d3 là 
y x 6 .
 c)
Khi (d1) / /(d2 ) thì khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2 cũng 
chính là khoảng cách giữa hai điểm A, B lần lượt thuộc d1 và d2 sao 
cho AB  (d1), AB  d2 .
 (d3)
Hình vẽ: Gọi B là giao điểm của đường thẳng A (d1)
 (d3 ) và (d2 ) . Phương trình hoành độ giao điểm 
 B (d2) Cho M x0; y0 và đường thẳng ax by c 0. Khoảng cách từ điểm M 
đến đường thẳng là: 
 ax by c
d 0 0 .
 a2 b2
Ví dụ 2:Cho đường thẳng mx 2 3m y m 1 0 (d) .
 a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua.
 b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn 
 nhất.
 c) Tìm m để đường thẳng (d) cắt các trục tọa độ Ox,Oy lần lượt tại 
 A, B sao cho tam giác OAB cân.
Lời giải:
 a) Gọi I x0; y0 là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với 
 mọi m khi đó 
ta có: mx0 2 3m y0 m 1 0m m x0 3y0 1 2y0 1 0m
 1
 x0 
 x0 3y0 1 0 2 1 1 
 . Hay I ; .
 2y 1 0 1 2 2
 0 y 
 0 2
 b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng (d) . Ta có: 
OH OI suy ra OH lớn nhất bằng OI khi và chỉ khi H  I OI  (d) . 
Đường thẳng qua O có phương trình: y ax do 
 1 1 1 1
I ; OI a. a 1 OI : y x .
 2 2 2 2
Đường thẳng (d) được viết lại như sau: 
mx 2 3m y m 1 0 2 3m y mx 1 m . thẳng (d) cắt trục Oy tại điểm có hoành độ bằng 0 nên 
 m 1 m 1 m 1
y B 0; OB . Điều kiện để tam giác OAB 
 3m 2 3m 2 3m 2
 m 1
 1 m m 1 m 1
cân là OA OB 1 . Giá trị 
 m 3m 2 m 3m 2 m 
 2
m 1 không thỏa mãn , do đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ. 
 1
Kết luận: m .
 2
Ví dụ 3) Cho hai đường thẳng 
(d1) : mx (m 1)y 2m 1 0,(d2 ) : (1 m)x my 4m 1 0
 a) Tìm các điểm cố định mà (d1) , (d2 ) luôn đi qua.
 b) Tìm m để khoảng cách từ điểm P(0;4) đến đường thẳng (d1) là 
 lớn nhất.
 c) Chứng minh hai đường thẳng trên luôn cắt nhau tại điểm I .Tìm 
 quỹ tích điểm I khi m thay đổi.
 d) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác I AB với A, B lần lượt là 
 các điểm cố định mà d1 , d2 đi qua.
Lời giải:
 a) Ta viết lại (d1) : mx (m 1)y 2m 1 0 m x y 2 1 y 0. 
Từ đó dễ dàng suy ra đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định: A 1;1 . 
Tương tự viết lại (d2 ) : (1 m)x my 4m 1 0 m y x 4 1 x 0 
suy ra (d2 ) luôn đi qua điểm cố định: B 1;3 .
 b) Để ý rằng đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định: A 1;1 . Gọi 
H là hình chiếu vuông góc của P lên (d1) thì khoảng cách từ A đến (d1) 
là PH PA. Suy ra khoảng cách lớn nhất là PA khi P  H PH  d1 d) Ta có AB 1 1 2 3 1 2 2 2 . Dựng IH  AB thì 
 1 1 1 AB AB2
S IH.AB IK.AB .AB 2 . Vậy giá trị lớn nhất của 
 I AB 2 2 2 2 4
diện tích tam giác IAB là 2 khi và chỉ khi IH IK . Hay tam giác IAB 
vuông cân tại I .
Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm 
GTLN, GTNN
Ta có các kết quả quan trọng sau:
+ Xét hàm số y f (x) ax b với m x n khi đó GTLN, GTNN của 
hàm số sẽ đạt được tại x m hoặc x n . Nói cách khác: 
min f (x) min f m ; f n  và max f (x) max f m ; f n . Như vậy 
 m x n m x n
để tìm GTLN, GTNN của hàm số y f (x) ax b với m x n ta chỉ 
cần tính các giá trị biên là f m , f n và so sánh hai giá trị đó để tìm 
GTLN, GTNN.
+ Cũng từ tính chất trên ta suy ra: Nếu hàm số bậc nhất y f x ax b 
có f m , f n 0 thì f x 0 với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện: 
m x n .
Ví dụ 1: Cho các số thực 0 x, y, z 2 . Chứng minh rằng: 
2 x y z xy yz zx 4 .
Lời giải:
Ta coi y, z như là các tham số, x là ẩn số thì bất đẳng thức cần chứng 
minh có thể viết lại như sau: f (x) 2 y z x 2 y z yz 4 0 . 
 f 0 0
Để chứng minh f x 0 ta chỉ cần chứng minh: . Thật vậy ta 
 f 2 0
có: Lời giải:
 1
Không mất tính tổng quát giả sử: a min a,b,c suy ra a . Bất đẳng 
 3
thức tương đương với 
5 a2 b c 2 2bc 6 a3 b c 3 3bc b c 1 
 5 a2 1 a 2 2bc 6 a3 1 a 3 3bc 1 a 1 9a 4 bc 2a 1 2 0
 2 2
 b c 1 a 
. Đặt t bc thì 0 t . Ta cần chứng minh: 
 2 2 
 2
 2 1 a 
f t 9a 4 t 2a 1 0 với mọi t 0; . Do 9a 4 0 suy 
 2 
 2
 1 a 1 2
ra hàm số f t nghịch biến. Suy ra f t f a 3a 1 0 . 
 2 4
 1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c .
 2
 Vấn đề 2: HÀM SỐ BẬC HAI 
Kiến thức cần nhớ.
Hàm số y ax2 a 0 : Hàm số xác định với mọi số thực x
Tính chất biến thiên:
+) Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x 0 , nghịch biến khi x 0 .
+) Nếu a 0 thì hàm đồng biến khi x 0 , nghịch biến khi x 0 .
Đồ thị hàm số là một đường Parabol nhận gốc tọa độ O làm đỉnh, nhận trục 
tung làm trục đối xứng. Khi a 0 thì Parabol có bề lõm quay lên trên, khi 
a 0 thì Parabol có bề lõm quay xuống dưới.
 y
 y
 O x
 y= ax2
 Với a>0
 y= a x2
 Với a<0
 O x d) Thay tọa độ điểm B vào P ta được: 
m3 m2 m3 m2 0 m2 m 1 0 m 0 hoặc m 1.
e) Gọi D là điểm thuộc P cách đều hai trục tọa độ. Ta có: 
 2
d D,Ox yD xD ;d D,Oy xD . Theo giả thiết ta có: 
 2
xD xD xD 0 (loại) hoặc xD 1. Vậy D 1;1 hoặc D 1;1 .
Ví dụ 2: Một xe tải có chiều rộng là 2,4 m chiều cao là 2,5 m muốn đi qua 
một cái cổng hình Parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và 
khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là 2 5 m( Bỏ qua độ dày của 
cổng).
 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi Parabo P : y ax2 với a 0 là 
 hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a 1.
 2) Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao?
(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội 
2015-2016)
Lời giải: 
 1) Giả sử trên mặt phẳng tọa độ, độ dài các đoạn thẳng được tính theo 
đơn vị mét. Do khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m nên MA NA 2m . 
Theo giả thiết ta có OM ON 2 5 , áp dụng định lý Pitago ta tính được: 
OA 4 vậy M 2; 4 , N 2; 4 . Do M 2; 4 thuộc parabol nên tọa độ 
điểm M thỏa mãn phương trình: P : y ax2 hay 4 a.22 a 1 và 
 P : y x2 .
 2) Để đáp ứng chiều cao trước hết xe tải phải đi vào chính giữa cổng.
 3
Xét đường thẳng d : y 
 2