Chuyên đề Hàm số bậc nhất - Đại số 10

 BÀI 2. HÀM SỐ y ax b 
 I HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 = 
 Tác giả: Nguyễn Vũ Hương Giang; Fb: Hương Giang 
1. ĐỊNH NGHĨA 
Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y ax b , trong đó x là biến số, a và b là các số đã cho, a 0 . 
Với a 0 , hàm số có dạng yb và được gọi là hàm hằng. 
2. SỰ BIẾN THIÊN 
Hàm số bậc nhất y ax b a 0 có tập xác định D . 
Với a 0 hàm số đồng biến trên . 
Với a 0 hàm số nghịch biến trên . 
Bảng biến thiên của hàm số bậc nhất y ax b a 0 theo a như sau: 
 a 0 a 0 
3. ĐỒ THỊ 
Đồ thị hàm số y ax b a 0 là một đường thẳng không song song và cũng không trùng với 
các trục tọa độ. Đường thẳng này luôn song song với đường thẳng y ax ( nếu b 0 ), cắt trục 
 b
tung tại điểm Ab 0; và cắt trục hoành tại điểm B ;0 . 
 a
Ta gọi đồ thị của hàm số y ax b là đường thẳng y ax b . Số a gọi là hệ số góc của đường thẳng 
y ax b . 
1 
 Ví dụ 1 
 Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên . 
 Lời giải 
Hàm số đã cho đồng biến trên 2 mm 0 2. 
Vậy giá trị m cần tìm là: m 2. 
 Ví dụ 2 
 Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số nghịch biến trên . 
 Lời giải 
Ta có: y 22 m x m . 
Hàm số đã cho nghịch biến trên trên 2m 2 0 m 1. 
Vậy giá trị m cần tìm là: m 1. 
 Ví dụ 3 
 Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số nghịch biến trên 
 khoảng . 
 Lời giải 
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 3;5 Hàm số đã cho nghịch biến trên . 
 3 3
 m m 
 2 2
 3 3
 2m 3 0 m m 0 m 0 m 3
 2 2 m 6. 
 2 m 60 m 6 
 mm 60 2
 mm 60 06 m
 m 0 m 0
 m 60 m 6
 3
Vậy giá trị cần tìm là: m 6 . 
 2
 Ví dụ 4 
 Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng 
 . 
 Lời giải 
▪ TH1: Nếu m 5 thì hàm số trở thành: y 28 là hàm số hằng. 
 m 5 không thỏa mãn đề bài. 
3 
 Phương trình đường thẳng d có dạng y ax b b b' (1).
 Vì Ad nên thế tọa độ A vào (1) được phương trình (*). 
  Vì d // nên aa ' (**). 
 Giải hệ (*) và (**) ta tìm được a và b 
 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với :''y a x b . 
 Phương trình đường thẳng d có dạng y ax b (1). 
 Vì nên thế tọa độ vào (1) được phương trình (*). 
 Vì d  nên aa. ' 1(**). 
 Giải hệ (*) và (**) ta tìm được và . 
b. Một số ví dụ: 
 Ví dụ 6 
 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để đường thẳng vuông góc 
 với đường thẳng 
 Lời giải 
 5
Đường thẳng vuông góc với đường thẳng d khi và chỉ khi 2 3m 2 1 m . 
 6
 5
Vậy với m thì thỏa mãn đề bài. 
 6 
 Ví dụ 7 
 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm 
 Lời giải 
Gọi phương trình đường thẳng cần viết có dạng: y ax b . 
 1 ab . 2 a 1
Vì đường thẳng đi qua các điểm AB 2;1 , 1; 2 nên . 
 2 ab .1 b 1
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: yx 1. 
 Ví dụ 8 
 Cho hàm số bậc nhất .Tìm và , biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng
 tại điểm có hoành độ bằng và cắt đường thẳng tại điểm có 
 tung độ bằng . 
 Lời giải 
Với x 2 thay vào yx 2 5, ta được y 1. 
Đồ thị hàm số cắt đường thẳng 1 tại điểm có hoành độ bằng 2 nên đi qua điểm A 2;1 . 
Do đó ta có 1 ab . 2 . 1
Với y 2 thay vào yx –3 4 , ta được x 2 . 
Đồ thị hàm số cắt đường thẳng yx –3 4 tại điểm có tung độ bằng 2 nên đi qua điểm B 2; 2 
Do đó ta có 2 ab .2 . 2 
5 
 a 2
 2 2 2
 3 aa 5 5 4aa 6 4 0 1 . Mà aa 02 . 
 a 
 2
Với a 2 , suy ra b 5. Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là d: y 2 x 5 . 
VẤN ĐỀ 3. ĐỒ THỊ HÀM SỐ, PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
 Tác giả: Dương Ngọc ; Fb: Duong Ngoc 
a. Phương pháp 
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y ax b 
Cho x 0 y a .0 b b A 0; b . 
 bb 
 y 0 x B ;0 . 
 aa 
Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua A, B. 
Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất trên từng khoảng (hàm số cho bởi nhiều biểu thức đại số) 
Vẽ từng đồ thị hàm số trên mỗi khoảng xác định của nó.
Dạng 3. Vẽ đồ thị hàm số y ax b 
 Vẽ hai đường thẳng và y ax b ; 
 Xóa đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành. Ta được đồ thị hàm số y ax b . 
Dạng 4. Vẽ đồ thị hàm số y a x b 
 Vẽ đồ thị hàm số y ax b 1 ; 
 Giữ nguyên phần đồ thị (1) ở bên phải trục Oy , bỏ phần bên trái trục Oy ; 
 Lấy đối xứng phần đồ thị ở bên phải Oy qua trục Oy . Ta được đồ thị hàm số y a x b. 
b. Một số ví dụ 
 Ví dụ 11 
 Vẽ đồ thị hàm số sau . 
 Lời giải 
Khi x 0: y x 1 
Cho x 0 y 1 A 0;1 ; x 1 y 2 
Khi x 0 : y 2 x 
Cho x 0 y 0 O 0;0 ; x 1 y 2 
Đồ thị không lấy điểm gốc O 0;0 . 
7 
Lấy đối xứng phần đồ thị ở bên phải Oy qua trục Oy . Ta được đồ thị hàm số yx 21. 
 15
c. yx 23 
 22
 1 5 3
 2xx 3 khi 
 15 2 2 2
Ta có: yx 23 
 221 5 3
 2xx 3 khi 
 2 2 2
 3
 xx 1 khi 
 2
 y . 
 3
 xx 4 khi 
 2
Ta vẽ đồ thị của từng hàm số trên từng khoảng: 
 3
+ Đường thẳng yx 1 trên ; 
 2
 3
+ Đường thẳng yx 4 trên ; . 
 2
Ta thu được đồ thị của hàm số đã cho.
9 
Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên: 
Từ BBT, suy ra GTNN của hàm số là 4 tại x 1. 
VẤN ĐỀ 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG 
 Tác giả: Ngô Đức Hòa; Fb: ngohoa & Tác giả: Phan Thị Lan Hương; Fb: Lan Huong Phan 
I. Phương pháp: 
Đồ thị hàm số y ax b() d là một đường thẳng 
+) Nếu a 0 thì đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục Ox cắt trục Oy tại B(0;b) ; 
 b
+) Nếu a 0 thì đường thẳng (d) cắt trục tại A( ;0) và cắt trục tại ; 
 a
 xy
+) Nếu () đi qua hai điểm Aa( ;0) và B(0;b) thì phương trình là : 1 (PT đoạn chắn); 
 ab
+) Điểm M(;) x00 y thuộc đường thẳng d: y ax b khi và chỉ khi y00 ax b ; 
Tương giao của hai đường thẳng y ax b (d1 ) và y a' x b ' (d2 ) 
 y ax b
+) a a d12  d I. Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình: . 
 y a'' x b
Ngoài ra, d d' a . a ' 1. 
 aa '
+) dd//' . 
 bb '
 aa '
+) dd' . 
 bb '
 II BÀI TẬP ÁP DỤNG 
 = 
 Ví dụ 15 
 Gọi giao điểm của các đường thẳng và với trục hoành theo 
 thứ tự và gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là . Tìm tọa độ và . Tính chu vi, 
 diện tích tam giác . 
 Lời giải 
11