Chuyên đề Hàm số bậc hai - Đại số 10

 BÀI 3. HÀM SỐ BẬC HAI 
 I HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 = 
1. ĐỊNH NGHĨA 
Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y ax2 bx c với a 0. 
Chú ý : 
+ Hàm số bậc hai có tập xác định là D . 
+ Khi a 0, b 0 , hàm số trở thành hàm số bậc nhất y bx c . 
+ Khi ab 0 , hàm số trở thành hàm hằng yc . 
2. BẢNG BIẾN THIÊN 
 a 0 a 0 
 b b
 + Khi a 0, hàm số đồng biến trên khoảng ; và nghịch biến trên khoảng ; . 
 2a 2a
 b
 + Khi a 0 , hàm số đồng biến trên khoảng ; và nghịch biến trên khoảng . 
 2a
3. ĐỒ THỊ 
a) Đồ thị hàm số y ax2 ,0 a là một parabol có đỉnh là gốc tọa độ, có trục đối xứng là trục tung 
(là đường thẳng x 0 ). Parabol này quay bề lõm lên trên nếu , xuống dưới nếu . 
b) Đồ thị hàm số yx a 2 bx c,0a là một parabol có: 
 b 
+ Đỉnh I ; . 
 24aa
 b
+ Trục đối xứng là đường thẳng x . 
 2a
+ Bề lõm hướng lên trên nếu a 0, hướng xuống dưới nếu a 0 . 
+ Giao điểm với trục tung là Mc 0; . 
+ Số giao điểm với trục hoành bằng số nghiệm của phương trình ax2 bx c 0. 
| 1 
Kết luận: m 3. 
 Ví dụ 2 
 Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số nghịch biến trên 
 . 
 Lời giải 
 bm m
Ta có a 4 0; nên hàm số đã cho nghịch biến trên ; . 
 2a 2 2
 m
Do vậy, yêu cầu của bài toán 24 m . 
 2
Kết luận: m 4. 
 Ví dụ 3 
 Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số nghịch biến trên 
 . 
 Lời giải 
 bm2 2m
 am 2 1 0,
Ta có 2 nên hàm số đã cho nghịch biến trên ; 2 . 
 2am 1 m 1
 2m
Do vậy, yêu cầu của bài toán 1 (m 1)2 0 m 1. 
 m2 1
Kết luận: . 
 Ví dụ 4 
 Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên . 
 Lời giải 
 bm2 1
Ta có am , với m 0 . 
 2a 2m
+ Trường hợp m 0: Hàm số đã cho trở thành yx 3 , là hàm số nghịch biến trên nên không 
thể đồng biến trên 1; . Tức không thỏa mãn yêu cầu của bài toán. 
+ Trường hợp m 0: Ta có am 0 nên hàm số có BBT như sau: 
 x 
 y 
Dựa vào BBT thấy hàm số không thể đồng biến trên . Tức bị loại. 
| 3 
 Khi đó: 
 1 1
 Nếu xx12; thì A > 0 suy ra hàm số đồng biến trên ; . 
 2 2
 1 1
 Nếu xx12; thì A < 0 suy ra hàm số nghich biến trên ; . 
 2 2
 2
 Tổng quát: Xét sự biến thiên của hàm số: y f() x ax bx c . 
 Với xx12; và xx12 , ta có: 
 ax22 bx c ax bx c
 f()() x12 f x 1 1 2 2 b
 A = = = a x12 x 
 xx12 xx12 a
 Khi đó: 
 +Với a 0 
 b b
 Nếu xx12; thì A > 0 suy ra hàm số đồng biến trên ; . 
 2a 2a
 b b
 Nếu xx12; thì A < 0 suy ra hàm số nghich biến trên ; . 
 2a 2a
 +Với a 0 
 b b
 Nếu xx12; thì A > 0 suy ra hàm số đồng biến trên ; . 
 2a 2a
 b b
 Nếu xx12; thì A < 0 suy ra hàm số nghich biến trên ; . 
 2a 2a
 Ta có bảng biến thiên: 
 Ví dụ 7 
 Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số nghịch 
 biến trên khoảng . 
 Lời giải 
| 5 
 b
Do a 0 nên fx() đồng biến trên ; 
 2a
 bb
Từ đây ta có: fx đồng biến trên 2; 24 . 
 2aa
 6a2 6 6 b
Ta có P 2 2 2 2 , với t 4 . 
 5a 2 ab b bb t 2 t 5 a
 25 
 aa 
 2
Có t2 2 t 5 t 1 4 29,  t 4 . Dấu bằng xảy ra khi t 4. 
 6 b
Do đó MaxP , đạt được khi 4 . 
 29 a
VẤN ĐỀ 2. XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC HAI 
 Tác giả: Lê Thị Thanh Hoa; Fb: Lê Thị Thanh Hoa 
a. Phương pháp: 
Để xác định hàm số bậc hai y f x ax2 bx c (đồng nghĩa với xác định các tham số abc,, ) ta 
cần dựa vào giả thiết để lập nên các phương trình (hệ phương trình) ẩn là abc,, . Từ đó tìm được 
 . Việc lập nên các phương trình nêu ở trên thường sử dụng đến các kết quả sau: 
- Đồ thị hàm số đi qua điểm M x0; y 0 y 0 f x 0 . 
 b
- Đồ thị hàm số có trục đối xứng x x x . 
 002a
 b
 b
 xI
 2a xI
- Đồ thị hàm số có đỉnh là I xII; y 2a . 
 f x y
 yI II 
 4a 
- Trên , ta có: 
 b
 1. fx có giá trị lớn nhất a 0. Lúc này Max f x f . 
 42aa 
 b
 2. có giá trị nhỏ nhất a 0 . Lúc này Min f x f . 
 42aa 
b. Một số ví dụ 
 Ví dụ 10 
 Xác định parabol , biết rằng đi qua điểm và có trục đối xứng 
 là đường thẳng . 
 Lời giải 
| 7 
 2 8 7
Vậy hàm số cần tìm là y x2 x . 
 3 3 3
 Ví dụ 14 
 Tìm tất cả các giá trị của tham số để parabol cắt đường 
 thẳng tại đỉnh của nó. 
 Lời giải 
 Tác giả: Nguyễn Thị Lan Anh; Fb: Nguyễn Thị Lan Anh 
Đỉnh của P là Im 1; 4 2 . 
Theo giả thiết, I thuộc đường thẳng yx 31 nên 4mm 2 3.1 1 1. 
Vậy m 1. 
 Ví dụ 15 
 Tìm parabol biết rằng hoành độ đỉnh của bằng và đi qua 
 điểm . 
 Lời giải 
 Tác giả: Nguyễn Thị Lan Anh; Fb: Nguyễn Thị Lan Anh 
Ta có: 
 2
 b a 
 3 ba 6 3
 2a .
 47ac 13
 4ac 8 1 c 
 3 
 2 13
Vậy parabol P có phương trình là y x2 4 x . 
 33
 Ví dụ 16 
 Tìm các tham số sao cho hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là tại và đồ 
 thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ là 6. 
 Lời giải 
 Tác giả: Nguyễn Thị Lan Anh; Fb: Nguyễn Thị Lan Anh 
Tập xác định: D . 
Trên hàm số y ax2 bx c có giá trị nhỏ nhất nên a 0. 
Lại có đồ thị hàm số có đỉnh I 2;4 . Do đó ta có: 
| 9