Chuyên đề Hai mặt phẳng vuông góc - Hình học Lớp 11

 HÌNH HỌC 11 
 CHƯƠNG III 
 BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
 I. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 
 1. Định nghĩa 
 Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. 
 Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 0. 
 2. Diện tích hình chiếu của một đa giác 
 Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng có diện tích S và đa giác H là hình chiếu vuông góc của 
 H trên mặt phẳng  . Khi đó diện tích S của H được tính theo công thức: 
 SS cos 
 Với là góc giữa và  . 
 II. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 
 1. Định nghĩa 
 Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90. 
 Kí hiệu   . 
 2. Các định lí 
 Định lí 1 (điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc) 
 Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng 
 vuông góc với mặt phẳng kia. 
 Định lí 2 (tính chất của hai mặt phẳng vuông góc) 
 Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và 
 vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia. 
 Hệ quả 1 
 Tính chất. 
 Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của hình 
 chóp đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy. 
 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với mặt đáy các 
 góc bằng nhau. Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau. 
 2. Hình chóp cụt đều 
 Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy cắt các cạnh bên của hình 
 chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều. 
 Các mặt bên của hình chóp cụt đều là những hình thang cân và các cạnh bên của hình chóp cụt đều có 
 độ dài bằng nhau. 
 Hai đáy của hình chóp cụt đều là hai đa giác đều và đồng dạng với nhau. 
 Đoạn nối tâm của hai đáy được gọi là đường cao của hình chóp cụt đều. 
B. CÁC DẠNG TOÁN 
 Dạng 1. Chứng minh mặt phẳng P vuông góc với mặt phẳng Q . 
 Phương pháp: 
 Cách 1: Chứng minh trong mặt phẳng P có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Q . 
 Cách 2: Sử dụng định lí giao tuyến. 
 Phương pháp: 
 Cho hai mặt phẳng PQ  và PQ  . Trong P vẽ đường thẳng a  và trong Q vẽ 
 đường thẳng b  . Khi đó, ta có P ,, Q a b . 
 Ví d ụ 1 
 Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm , cạnh . Đường thẳng vuông 
 góc với mặt phẳng đáy và . Tính góc giữa hai mặt phẳng và 
 . 
 Lời giải 
 S
 A B
 O Q
 D C
Gọi Q là trung điểm BC , suy ra OQ BC . 
 BC OQ
Ta có BC  SOQ BC  SQ 
 BC SO
Do đó SBC ,,. ABCD SQ OQ SQO 
 SO
Tam giác vuông SOQ , có tanSQO 3. 
 OQ
Vậy mặt phẳng SBC hợp với mặt đáy ABCD một góc 60. 
 Ví d ụ 2 
 Cho hình chóp có đáy là hình vuông có độ dài đường chéo bằng và 
 vuông góc với mặt phẳng . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và . Nếu 
 thì góc giữa và bằng bao nhiêu? 
 Lời giải 
Suy ra BA C ;; DA C AH AK . 
 12a
Lại có: HK là đường trung bình của A BD nên HK BD 
 22
 a 2
Mặt khác: AH AK 
 2
Do đó AH AK HK a 2 
Suy ra AHK đều, suy ra HAK 60 . 
Vậy BA C ; DA C HAK 60 . 
 Ví dụ 4 
 Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh bên . Hình chiếu 
 vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của đoạn (với là trọng 
 tâm tam giác ). Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng và . 
 Lời giải 
 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC , AB . Gọi I là trung điểm của BG . 
 Qua I kẻ đường thẳng song song với CN cắt AB tại K thì IK AB (do CN AB ) 1 . 
 Vì A I ABC nên A I AB 2 . Từ (1) và (2) suy ra AB A KI . Do đó A KI . 
 1 1 1 1 1aa 3 3
 Vì I là trung điểm BG nên suy ra IK GN ... CN . 
 2 2 3 2 3 2 12
 2 2
 a 2 a 3 7 a2
 Trong tam giác vuông ta có 2 2 2 . 
 AIM AI AM MI . 
 2 3 2 12
 22
 2 7aa 41
 Trong tam giác vuông A AI ta có A I2 A A 2 AI 2 2 a . 
 12 12
 2
 41a22 a 3 55 a
 Trong tam giác vuông ta có 2 2 2 . 
 A KI A K A I KI 
 12 12 16
 Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích của các tam giác SBC và ABC. Ta có: 
 S 23aa22
 S S.. cos S 2 S . 
 2 1 1cos 1 3 42
 Ví dụ 2 
 Cho hình chóp đều , cạnh đáy bằng . Góc giữa và mặt đáy bằng . Tính diện 
 tích tam giác . 
 Lời giải 
Gọi O là tâm đáy. 
 SO ABCD
Vì S. ABCD là hình chóp đều 
 SDC ,, ABCD SAB ABCD 
 OAB là hình chiếu của SAB lên ABCD và SAB , ABCD  45 . 
 a2
 S a2 2
 S OAB 4 . 
 SAB cos 45 2 4
 2
 Ví dụ 3 
 Cho lăng trụ đứng có đáy là hình thoi cạnh , . Gọi là 
 trung điểm của cạnh . Biết rằng mặt phẳng tạo với đáy một góc bằng . Tính 
 theo diện tích thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng . 
 Lời giải 
 Ví dụ 1 
 Cho hình chóp , đáy là tam giác đều, và . Gọi là 
 trung điểm của và là điểm thuộc đoạn sao cho , mặt phẳng qua 
 và vuông góc với . Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi . 
 Lời giải 
 S
 a
 N
 M
 C
 A P
 Q
 a
 B
Kẻ các đường thẳng qua MN, lần lượt song song với SA cắt AB, AC lần lượt tại PQ,. 
Vì MQ// NP nên MNPQ,,, đồng phẳng. 
 MQ// SA
Vì MQ  ABC MNPQ  ABC MNPQ  . 
 SA ABC 
Khi đó thiết diện cần tìm là hình thang vuông MNPQ . 
 SA a NP CP CN1 a
Ta có: MQ và NP CP . 
 22 SA CA CS 33
 13aa2 13
Trong tam giác APQ : PQ222 AP AQ 2 AP . AQ .cos60  PQ . 
 36 6
 1 5a2 13
Vậy diện tích thiết diện cần tìm là: S NP MQ . PQ . 
 MNPQ 2 72
 Ví d ụ 2 
 Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , , 
 ; cạnh bên và vuông góc với đáy. Mặt phẳng qua và vuông góc 
 với mặt phẳng . Tính diện tích của thiết diện tạo bởi với hình chóp đã cho. 
 Lời giải