Chuyên đề Hai đường thẳng vuông góc Toán 7

 CHƯƠNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 
 BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 
Mục tiêu 
  Kiến thức 
 + Phát biểu được định nghĩa hai đường thẳng vuông góc. 
 + Nắm vững cách vẽ và tính chất về hai đường thẳng vuông góc 
 + Nắm vững định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng 
  Kĩ năng 
 + Vẽ được hai đường thẳng vuông góc; đường trung trực của đoạn thẳng. 
 + Chứng minh được một số bài toán vuông góc đơn giản. 
 Trang 1 
 Ta thực hiện các bước như sau: 
 Bước 1. Dùng thước đo độ dài các đoạn thẳng AB, AC, BC. Xác định trung điểm của các đoạn thẳng 
 lần lượt là M, N, P. 
 Bước 2. Vẽ trung trực của đoạn thẳng BC. 
 Đặt một cạnh của ê ke trùng với đường thẳng BC. 
 Chuyển ê ke trượt theo đường thẳng BC sao cho cạnh góc vuông thứ hai của ê ke gặp điểm P. Vạch 
 một đường thẳng theo cạnh đó thì được đường thẳng trung trực của BC. 
 Tương tự ta vẽ trung trực của hai đoạn thẳng AB; AC. 
 Bài tập tự luyện dạng 1 
Câu 1: Cho tam giác ABC. Chỉ dùng ê ke vẽ các đường cao AH, BK và CE của tam giác ABC. 
Câu 2: Cho đoạn thẳng AB dài 10cm. Hãy vẽ đường trung trực của đoạn thẳng ấy. Chỉ rõ cách vẽ. 
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 
 Phương pháp giải 
Muốn chứng minh hai đường thẳng xx , yy vuông Ví dụ 1: Nếu xOy 90  thì xx  yy . 
góc với nhau, ta có thể sử dụng một trong các cách 
sau: 
Cách 1. Chứng minh một trong bốn góc tạo thành 
bởi hai đường thẳng ấy là góc vuông. 
Cách 2. Chứng minh hai góc kề bù bằng nhau, từ 
đó suy ra có một góc bằng 90°. 
 xOy xOy 180
 Ví dụ 2: Nếu thì 
 xOy x Oy
 xOy x Oy 90 
 Suy ra xx  yy . 
 Trang 3 
 Từ 1 và 2 , ta có xOt xON MOt . * 
 OM nằm giữa Ox và Ot nên xOt xOM MOt 3 
 Mặt khác xOM x ON 30 . 4 
 Từ 3 và 4 , ta có xOt xON MOt . ** 
 1 1
 Từ * và ** suy ra xOt xOt xOx .180   90 . 
 2 2
 Vậy Ot xx (hai góc kề bù bằng nhau). 
 Phương pháp: Chứng minh hai góc kề bù bằng nhau xOt xOt 90 . 
Ví dụ 3: Cho hai góc kề bù xOz và yOz , vẽ hai tia phân giác của xOz , yOz theo thứ tự là OA, OB. 
Chứng minh OA OB . 
 Hướng dẫn giải 
 1
 Ta có OA là tia phân giác xOz nên xOA AOz xOz . 
 2
 OB là tia phân giác yOz nên . 
 Vì Oz nằm giữa hai tia OA và OB nên 
 1 1 1 1
 AOB AOz BOz xOz yOz xOz yOz .180   90 . 
 2 2 2 2
 Vậy OA OB . 
 Ghi nhớ: Hai tia phân giác của hai góc kề bù vuông góc với nhau. 
 Bài tập tự luyện dạng 2 
Câu 1: Cho góc xOy 50  . Vẽ góc yOz kề bù với góc xOy . Vẽ góc zOt 40  sao cho Ot nằm giữa hai 
tia Oz và Oy. Chứng minh Ot Oy . 
Câu 2: Cho xOy 90  , vẽ hai tia OA, OB ở trong góc đó sao cho xOA yOB 60 . Trên nửa mặt phẳng 
bờ Ox chứa tia Oy, vẽ tia OM sao cho Oy là tia phân giác của MOB . 
 a) Chứng minh tia OA là tia phân giác yOB , tia OB là tia phân giác xOA . 
 b) Chứng minh OM OA . 
Dạng 3: Các bài toán vận dụng 
 Trang 5 
 360  140  90  90  
 40  . 
 1 1
 OM là tia phân giác của xOy xOM MOy xOy .140   70 . 
 2 2
 OM là tia đối của OM MOM 180 . 
 Mà OA nằm ngoài góc xOy và OA Ox nên MOM MOx xOA AOM . 
 Do đó AOM MOM MOx xOA AOM    180 70 90 20 . 1 
 Mặt khác Oy nằm giữa OB và OM nên MOB MOy yOB   70 90 160  , 
 MOB MOM . Do đó tia OB và Oy nằm cùng nửa mặt phẳng bờ MM . 
 Ox nằm giữa OA và OM nên MOA MOx xOA   70 90 160 . 
 MOA MOM . Do đó tia OA và Ox nằm cùng nửa mặt phẳng bờ MM . 
 Nên OM nằm giữa OA và OB. 
 AOB AOM MOB MOB AOB AOM   40 20 20 . 2 
 1
 Từ 1 và 2 ta có MOB AOM  20 AOB . 
 2
 Suy ra OM là tia phân giác của góc AOB . 
 b) Ta có MOx MOA MOM nên OA nằm giữa Ox và OM . 
 Mà OM là tia phân giác của góc AOB . Suy ra OA nằm giữa Ox và OB. 
 Vậy xOB xOA AOB   90 40 130  . 
 Bài tập tự luyện dạng 3 
Câu 1: Cho góc xOy 160 . Vẽ trong góc xOy , hai tia OM, ON sao cho OM Ox và ON Oy . 
 a) Chứng minh xON yOM . 
 b) Tính MON . 
Câu 2: Cho góc xOy 150 , bên ngoài của góc vẽ hai tia OA và OB sao cho OA Ox , OB Oy . Gọi 
OM là tia phân giác của xOy và OM là tia phân giác của AOB . 
 a) Chứng minh OM và OM đối nhau. 
 b) Tính xOB và yOA . 
Câu 3: Cho hai đường thẳng xx và yy vuông góc nhau tại O. Trong góc xOy , dựng tia OM sao cho 
 xOM 2 MOy . 
 a) Hãy xác định số đo của góc xOM và MOy . 
 Trang 7 
 ĐÁP ÁN 
Dạng 1. Vẽ hình 
Câu 1. 
 • Đặt một cạnh của ê ke trùng với đường thẳng BC. 
 • Chuyển ê ke trượt theo đường thẳng BC sao cho cạnh góc vuông thứ hai của ê ke gặp điểm A. 
 • Vạch một đường thẳng theo cạnh đó thì được đường cao AH của tam giác ABC. 
 • Vẽ tương tự với hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và C. 
Câu 2. 
 • Dùng thước vẽ đoạn thẳng AB dài 10cm 
 • Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB: 
 AB10 cm
 AMMB 5 cm . 
 2 2
 • Đặt một cạnh của ê ke trùng với đường thẳng AB. 
 • Dịch chuyển ê ke trượt theo đường thẳng AB sao cho cạnh 
 góc vuông thứ hai của ê ke gặp điểm M. Vạch một đường 
 thẳng theo cạnh đó thì được đường thẳng trung trực của AB. 
Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 
Câu 1. 
 Vì xOy , yOz kề bù nên xOy yOz 180 . 
 Mà xOy 50  nên yOz 180  50  130  . 
 Mặt khác tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz nên 
 yOz yOt tOz yOt yOz zOt 
 130  40  
 90 . 
 Vậy Ot Oy . 
Câu 2. 
 Trang 9 
 b) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có xON xOM (do 70 90 ) nên tia ON nằm giữa Ox và 
 OM. Suy ra xOM xON MON MON xOM xON   90 70 20 . 
Câu 2. 
 a) Ta có xOy 150 , xOA yOB 90 (do Ox OA, 
 Oy OB ) AOB  360 xOy AOx BOy 
 360  150  90  90  
 30 . 
 OM là tia phân giác của xOy nên 
 1 1
 xOM MOy . xOy .150   75 . 
 2 2
 OM là tia phân giác của AOB nên 
 1 1
 AOM MOB AOB .30   15 . 
 2 2
 Do đó MOM MOx xOA AOM    75 90 15 180  . 
 Suy ra hai tia OM và OM đối nhau. 
 b) Ta có xOB xOA AOB   90 30 120 ; yOA yOB AOB   90 30 120 . 
Câu 3. 
 a) Do xx  yy O nên xOy 90 . 
 OM nằm trong góc xOy xOy xOM MOy . 
 Vì xOM 2 MOy nên 
 xOy  90 xOM MOy 3 MOy MOy  30 
 xOM 2 MOy  60 . 
 b) ON, Ox cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ yy , y ON y Ox (do 60 90 ). 
 Suy ra ON nằm giữa Oy và Ox. Suy ra xOy xON NOy xON xOy NOy   90 60 30 . 
 Mà Ox nằm giữa hai tia OM, ON nên MON NOx xOM   30 60 90 . 
 Trang 11