Chuyên đề Hai đường thẳng vuông góc - Hình học Lớp 11

 HÌNH HỌC 11 
CHƯƠNG III 
BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
I. Vectơ chỉ phương của đường thẳng: 
 a 0 là VTCP của d nếu giá của a song song hoặc trùng với . 
 d 
II. Góc giữa hai đường thẳng: 
 Cách 1 
 Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta lấy điểm O bất kì, sau đó dựng hai đường 
 thẳng a và b cùng đi qua O đồng thời aa // , bb // . Khi đó a,,. b a b 
 Cách 2 
 Tìm hai vectơ chỉ phương uu12, lần lượt của hai đường thẳng ab, . Khi đó góc giữa hai 
 uu12.
 đường thẳng xác định bởi cos ab , . 
 uu12.
Chú ý: 
 1 Giả sử u là VTCP của a , v là VTCP của b , (,)uv . 
 neáu 0 90 
 Khi đó: ab, 
 180 neáu 90  180  .
 2 Nếu ab// hoặc a  b thì ab,  0 . 
 3 0 ab , 90  . 
III. Hai đường thẳng vuông góc: 
Định nghĩa: a b a, b 90  . 
 Chú ý 
1 | 
 Vậy OM, BC 1200 . 
 Ví dụ 2 
 Cho hình hộp có các cạnh đều bằng , . Tính các tích vô hướng 
 sau: 
 a) b) c) 
 Lời giải 
 a) ABCD. ' ' ABCD . ' '.cos ABCD , ' ' aa ..cos18002 a . 
 b) ACBD.'' ACBD .''.cos ACBD ,'' . 
 Do AC, B ' D ' AC , BD 900 nên AC. B ' D ' 0.( ABCD hình thoi). 
 a2
 c) ABBC. ' ' ABBC . ' ' .cos ABBC , ' ' aa . .cos ABBC , aa . .cos1200 . 
 2
 Ví dụ 3 
 Cho là diện tích của tam giác . Chứng minh rằng : 
 Lời giải 
 1 1
 Ta có: S AB. AC . sin A AB. AC . 1 cos2 A 
 ABC 2 2
 2
 1 AB. AC 1 22 2
 AB. AC . 1 2 AB.. AC AB AC . 
 2 AB. AC 2
3 | 
 a) Ta có 
 AB.... CD AB AD AC AB AD AB AC AB. AD .cos BAD AB . AC .cos BAC
 2a .2 a .cos6000 2 a .2 a .cos60 0 . 
 Vậy góc tạo bởi vectơ AB và CD bằng 900 . 
 b) Gọi E là trung điểm của CD. 
 Ta có 
 2 2 1 1 2
 AD....... BH AD BE BD BA BC BD BD BC BD BA BC BA BD 
 3 3 2 3 
 1 1 2
 2a .2 a .cos600 4 a 2 2 a .2 a .cos60 0 2 a .2 a .cos60 0 4 a 2 2 a 2 a 2 . 
 3 3 3
 2
 Vậy AD.. BH a2 
 3
 Bài 3. 
 S
 A C
 B
 Xét SC.... AB CS CB CA CS CA CS CB CS. CA .cos SCA CS . CB .cos SCB 
 Ta có SCA SCB c.. c c SCA SCB 
 Mà CA CB SC.0 AB . Vậy SC AB . 
 Dạng 2. Tính góc giữa hai đường thẳng bằng định nghĩa 
 Phương pháp: Xác định góc giữa hai đường thẳng a và b . 
 Bước 1: Vẽ 2 đường thẳng a và b cùng đi qua A lần lượt song song với và . 
 Bước 2: Kết luận a,, b a b . 
5 | 
 Vì BD//,BD,. B D BA BA BD 
 Do ABCD. A B C D là hình lập phương nên tam giác A’BD là tam giác đều A BD 600
 . 
 Khi đó góc BA , BD A BD 60  . 
 Vậy BA , B D  60 . 
 Ví dụ 3 
 Cho tứ diện đều cạnh , là trung điểm của cạnh . Tính góc giữa hai đường thẳng 
 và . 
 Lời giải 
 Gọi N là trung điểm AC thì MN// AB . 
 Suy ra AB,,. DM MN DM 
 Ta có: 
7 | 
 4
 Bài 2. Cho tứ diện ABCD có CD AD . Gọi GEF,, lần lượt là trung điểm của 
 3
 5
 BC,, AC DB . Biết EF AB . Tính góc giữa đường thẳngCD với đường thẳng AB . 
 6
 Bài 3. Cho hình lập phương ABCD. A B C D cạnh a . Gọi MNP,, lần lượt là trung điểm 
 của AB,,CD BC . Tính góc giữa các cặp đường thẳng 
 a) MN và CD . 
 b) BD và AD . 
 c) và AP . 
 d) AP và DN . 
 LỜI GIẢI CHI TIẾT 
 Bài 1. 
 a) Do AD/ / BC SA , BC SA , AD 90 ; SD , BC SD , AD SDA 
 SA
 SAD vuông tại A nên tanSDA 3 SD , BC SDA 60 .
 AD 
 b) Gọi O là giao điểm của AC, BD . Khi đó AC BD . 
 Ta có: JI/ / AC JI , BD AC , BD 90 . 
 Bài 2. 
9 | 
 C' P D'
 I
 N'
 B' A'
 Gọi N là trung điểm của BC . Ta có ND//,, ND DNAP NDAP . 
 Lại có NCD PDA CDN DAP . 
 00
 Mà CDNADNDAPADN 90 90 . 
 Vậy DN, A P 900 . 
 Dạng 3. Tính góc giữa 2 đường thẳng bằng véc tơ 
 Phương pháp: 
 Để tính góc giữa hai đường thẳng ta tính góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng. 
 Nếu uv, lần lượt là vtcp của hai đường thẳng a và b thì: 
 a,, b u v nếu 0 uv , 90  . 
 a, b 180  u , v nếu 90 uv , 180  
 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 
 Ví dụ 1 
 Cho tứ diện đều cạnh , là trung điểm của cạnh . Tính cosin của góc giữa hai 
 đường thẳng và . 
 Lời giải 
11 | 
 AD. BC AD . AC AB AD . AC AD . AB AD ..cos AC CAD AD ..cos AB BAD
 AC2 AD 2 CD 2 AB 2 AD 2 BD 2
 AD . AC . AD . AB . 
 2.AC . AD 2. AB . AD
 22
 a2 a6 2 a 22 2 a a 6 a2
 a 6. a . a 6.2 a . 3a2
 2.aa . 6 2.2aa . 6
 AD. BC 3 a2 1
 Suy ra cos AD , BC AD , BC 120 . 
 AD.2 BC aa6. 6
 Vậy góc giữa hai đường thẳng AD và BC là 60. 
 BÀI TẬP LUYỆN TẬP 
 Bài 1: Cho tứ diện ABCD có các cạnh bằng a . Gọi MN, lần lượt là trung điểm của 
 AB, CD . 
 a) Tính độ dài đoạn thẳng MN . 
 b) Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC . 
 Bài 2: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 42, SC vuông góc với CA 
 và CB , SC 2 . Gọi EF, lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC . Tính góc giữa hai đường 
 thẳng CE và SF . 
 Bài 3: Cho tứ diện ABCD có các cạnh bằng . Gọi MNP,, lần lượt là trung điểm của 
 AB,, BC AD . Tính góc giữa hai đường thẳng MG và NP trong đó G là trọng tâm tam 
 giác BCD. 
 LỜI GIẢI CHI TIẾT 
 Bài 1. 
13 | 
 Đặt CA a,, CB b CS c thì a b 4 2, c 2 và a. c bc . 0, ab . 16. 
 CE. SF
 Ta có, cos CE , SF cos CE , SF . 
 CE. SF
 2
 112 
 Mà SF CF CS b c SF b c 12 SF 2 3 . 
 22 
 1 1 1 2
 CE CA CB a b CE2 a b 24 CE 2 6.
 2 2 4 
 11 
 CE. SF a b . b c 12.
 22 
 CE. SF 12 2
 Vậy cos CE , SF hay góc giữa hai đường thẳngCE, SF
 CE. SF 2 3.2 6 2
 bằng 450 
 Bài 3. 
 a2
 Đặt AB b,, AD d AC c khi đó b c d a và b... c b d d c . 
 2
 NP. MG
 Ta có, cos NP , MG cos NP , MG 
 NP. MG
 Mà 
 1 1 b 2 c 2 d a2 a
 MG AG AM AB AC AD AB MG2 MG . 
 3 2 6 4 2
 1 1 1aa2 2
 NP BA CD AB AD AC b c d NP2 NP . 
 2 2 2 2 2
 b 2 c 2 d 1 a2
 NP.. MG b c d 
 6 2 12
15 |