Chuyên đề Góc vuông trên đường tròn nội tiếp và bàng tiếp - Bồi dưỡng HSG Toán hình THCS

 Chuyên đề hình học
 Góc vuông trên đường tròn nội tiếp và bàng tiếp
 Người viết: Nguyễn Thanh Dũng
 Trường THPT Chuyên Chu Văn An Lạng Sơn
1. Tính toán trên đường tròn nội tiếp, bàng tiếp.
Cho tam giác ABC với đường tròn nội tiếp , 3 đường tròn bàng tiếp 
 tương ứng với góc A, B, C. Tam giác ABC có các cạnh 
 nửa chu vi . Bán kính đường tròn nội tiếp là 
 , đường tròn bàng tiếp là .
 A
a, Tính các đoạn tiếp tuyến đường tròn nội tiếp
 F E
 I
 B C
 D M Q
b, Tính toán đoạn tiếp tuyến trên đường tròn bàng tiếp P
 IA
Nhận xét : từ các tính toán trên ta suy ra: hay 
là: D và M đối xứng với nhau qua trung điểm của BC.
2. Tính chất góc vuông sinh ra từ hai đường tròn nội tiếp, bàng tiếp
Bài toán 1: Cho tam giác ABC với tâm đường tròn nội tiếp I, đường tròn (I) 
tiếp xúc với các cạnh AB, AC tại F,E. Gọi M là giao điểm hai đường thẳng EF 
và BI. Chứng minh rằng BMC 900 .
Chứng minh: Ta có: A
 0 0 B 0 E M
 BMF 180 FBM BFM 180 (180 AFE) F
 2
 B A B C
 AFE 900 ICE I
 2 2 2 2
 B C
 do đó tứ giác IEMC nội tiếp, nên IMC IEC 900 . A
Giải: Theo bài toán cơ bản 1 thì ta có BXC BYC 900 , 
nên ta có ZX=ZY, nên tam giác XYZ cân ở Z, hơn nữa X
 F
 B B C A Y
ZXY ZXB IXF ICF 900 , thế 
 2 2 2 2 E I
 A
nên tam giác XYZ đều khi và chỉ khi 900 600 tức là 
 2 B C
 Z
A 600 .
Bài 2: (VMO-2009) Cho hai điểm A,B cố định, một điểm C thay đổi sao cho 
ACB không đổi. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với AB, AC, BC tại D, E, 
F Các đường thẳng AI, BI cắt đường thẳng EF lần lượt tại M,N. a, CMR: đoạn 
thẳng MN có độ dài không đổi khi C thay đổi. b, CMR: đường tròn ngoại tiếp 
tam giác DMN luôn đi qua điểm cố định khi C thay đổi.
 C H
 Giải: a, Sử dụng bài toán cơ bản 1 ta thấy ngay tứ giác 
ABMN nội tiếp đường tròn và AB là đường kính, thế nên 
 M
MN AB.sin NBM , các tứ giác IFMB và IEFC nội tiếp F
 N
nên NBM IFE ICE , thế nên ta có 
 2 E I
  
MN AB.sin const .
 2
 A B
 D K
b, Kéo dài AN và MB cắt nhau tại H, thế thì AM và BN là 
hai đường cao, nên I là trực tâm tam giác HAB, mặt khác ID vuông góc với AB 
nên D là chân đường cao đỉnh H, vậy đường tròn qua D,M,N là đường tròn 
Euler của tam giác HAB nên phải đi qua trung điểm K của AB và K là điểm cố 
định do AB cố định.
Bài 3: (IMO, 2012 #1) Cho tam giác . J là tâm đường tròn bàng tiếp tam 
giác tiếp xúc với tại M, L, K. Gọi F là giao của ML là BJ, G là giao 
của KM và CJ. Đường thẳng AF, AG cắt đường thẳng BC lần lượt tại S, T . 
CMR: M là trung điểm của đoạn thẳng ST. A
 F G
Giải: Sử dụng bài toán cơ bản số 2, ta có C
JG  AG, JF  AF , hơn nữa theo tính chất tiếp tuyến S B M T
 L
thì dễ thấy JC  ML, JB  KM , thế nên các tứ giác 
 K
 J