Chuyên đề Giới hạn - Toán 11

 MỤC LỤC
PHẦN I – ĐỀ BÀI ....................................................................................................................................4
GIỚI HẠN DÃY SỐ.................................................................................................................................4
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP..................................................................................................4
B – BÀI TẬP.............................................................................................................................................4
 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA ...........................................................................4
 DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ 
 BẢN ......................................................................................................................................................7
GIỚI HẠN HÀM SỐ ..............................................................................................................................15
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT.................................................................................................................15
B – BÀI TẬP...........................................................................................................................................15
 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM.....................15
 0
 DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH ............................................................................18
 0
 DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH ...........................................................................23
 DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC .............................................27
 DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC ...............................................................................................29
HÀM SỐ LIÊN TỤC ..............................................................................................................................32
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP................................................................................................32
B – BÀI TẬP...........................................................................................................................................32
 DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM.........................................................32
 DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH .............................................37
 DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ....................41
ÔN TẬP CHƯƠNG IV...........................................................................................................................42
PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI.............................................................................................................50
GIỚI HẠN DÃY SỐ...............................................................................................................................50
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP................................................................................................50
B – BÀI TẬP...........................................................................................................................................50
 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA .........................................................................50
 DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ 
 BẢN ....................................................................................................................................................55
GIỚI HẠN HÀM SỐ ..............................................................................................................................78
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT.................................................................................................................78
B – BÀI TẬP...........................................................................................................................................78
 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM.....................78
 Trang 1 PHẦN I – ĐỀ BÀI
 GIỚI HẠN DÃY SỐ
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
 GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC
 1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt:
 1 1 k 
 lim 0 ; lim 0 (k ¢ ) lim n lim n (k ¢ )
 n n n k
 n lim qn (q 1)
 n
 lim q 0 ( q 1) ; lim C C 2. Định lí:
 n n 
 2. Định lí : 1
 a) Nếu lim un thì lim 0
 a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì un
 lim (un + vn) = a + b
 un
 lim (un – vn) = a – b b) Nếu lim un = a, lim vn = thì lim = 0
 vn
 lim (un.vn) = a.b
 u a c) Nếu lim un = a 0, lim vn = 0 
 lim n (nếu b 0)
 un neáu a.vn 0
 vn b thì lim = 
 neáu a.v 0
 vn n
 b) Nếu un 0, n và lim un= a
 d) Nếu lim u = + , lim v = a
 thì a 0 và lim u a n n
 n neáu a 0
 thì lim(un.vn) = 
 c) Nếu un vn ,n và lim vn = 0 neáu a 0
 thì lim un = 0
 * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô 
 d) Nếu lim un = a thì lim un a
 0 
 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn định: , , – , 0. thì phải tìm cách khử 
 u 0
 2 1
 S = u1 + u1q + u1q +  = q 1 dạng vô định.
 1 q
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Phương pháp: 
 Để chứng minh limun 0 ta chứng minh với mọi số a 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao 
cho un a n na .
 Để chứng minh limun l ta chứng minh lim(un l) 0 .
 Để chứng minh limun ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên 
nM sao cho un M n nM .
 Để chứng minh limun ta chứng minh lim( un ) . 
 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
 A. Nếu lim un , thì limun . B. Nếu lim un , thì limun .
 Trang 3 A. B. C. 3 D. 1 
 1
Câu 17. Giá trị của C lim bằng:
 n2 2 n 7
 A. B. C. 0 D. 1 
 4n 1
Câu 18. Giá trị của D lim bằng:
 n2 3n 2
 A. B. C. 0 D. 4
 an
Câu 19. Giá trị của lim 0 bằng:
 n!
 A. B. C. 0 D. 1 
Câu 20. Giá trị của lim n a với a 0 bằng:
 A. B. C. 0 D. 1 
 Trang 5 3
 A. . B. . C. . D. 0 .
 4
 n3 2n 5
Câu 7. Chọn kết quả đúng của lim :
 3 5n
 2
 A. 5 . B. . C. . D. .
 5
 2n2 3n 1
Câu 8. Giá trị của A lim bằng:
 3n2 n 2
 2
 A. B. C. D. 1 
 3
 n2 2n
Câu 9. Giá trị của B lim bằng:
 n 3n2 1
 1
 A. B. C. 0 D. 
 1 3
 4
 2n2 1 n 2 9
Câu 10. Giá trị của C lim bằng:
 n17 1
 A. B. C. 16 D. 1 
 n2 1 3 3n3 2
Câu 11. Giá trị của D lim bằng:
 4 2n4 n 2 n
 1 3 3
 A. B. C. D. 1 
 4 2 1
 4 3n3 1 n
Câu 12. Giá trị của C lim bằng:
 2n4 3n 1 n
 A. B. C. 0 D. 1 
 (n 2)7 (2n 1)3
Câu 13. Giá trị của. F lim bằng:
 (n2 2)5
 A. B. C. 8 D. 1 
 n3 1
Câu 14. Giá trị của. C lim bằng:
 n(2n 1)2
 1
 A. B. C. D. 1 
 4
 n3 3n2 2
Câu 15. Giá trị của. D lim bằng:
 n4 4n3 1
 A. B. C. 0 D. 1 
 n3 2n 1
Câu 16. Giá trị của. E lim bằng:
 n 2
 A. B. C. 0 D. 1 
 4 n4 2n 1 2n
Câu 17. Giá trị của. F lim bằng:
 3 3n3 n n
 3
 A. B. C. D. 1 
 3 3 1
 Trang 7