Chuyên đề Giải toán bằng cách lập phương trình Toán Lớp 8

 ĐẠI SỐ 8 
 GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
Bước 1: Lập phương trình: 
 Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số; 
 Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết; 
 Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. 
Bước 2: Giải phương trình. 
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện 
của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận. 
II.BÀI TẬP MINH HỌA 
A.DẠNG BÀI CƠ BẢN 
Phương pháp chung 
Bước 1: Kẻ bảng nếu được, gọi ẩn, kèm theo đơn vị và điều kiện cho ẩn. 
Bước 2: Giải thích từng ô trong bảng, lập luận để thiết lập phương trình bậc hai. 
Bước 3: Giải phương trình, đối chiếu điều kiện và trả lời bài toán. 
Dạng 1: Toán Chuyển Động 
Loại 1.Chuyển động trên bộ 
Phương pháp 
Bước 1: Kẻ bảng gồm vận tốc, thời gian, quãng đường và điền các thông tin vào bảng đó rồi gọi ẩn, 
kèm theo đơn vị và điều kiện cho ẩn. 
Bước 2: Giải thích từng ô trong bảng, lập luận để thiết lập phương trình bậc hai. 
Bước 3: Giải phương trình, đối chiếu điều kiện và trả lời bài toán. 
Ví dụ 1.Hai ô tô khởi hành từ hai địa điểm A, B ngược nhau. Xe đi từ A có vận tốc 40 
km/h, xe đi từ B có vận tốc 30 km/h. Nếu xe đi từ B khởi hành sớm hơn xe đi từ A là 6 giờ 
thì 2 xe sẽ gặp nhau ở địa điểm cách đều A và B. Tìm độ dài quãng đường AB. 
 -Năng suất = Tổng lượng công việc : Thời gian 
-Thời gian = Tổng lượng công việc : Năng xuất 
Ví dụ 1 : Trong tháng đầu hai tổ công nhân của một xí nghiệp dệt được 800 tấm thảm len. 
Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 20% nên cả hai tổ dệt được 945 tấm thảm 
len. Tính xem trong tháng thứ hai mỗi tổ đã dệt được bao nhiêu tấm thảm len 
 Ví dụ 2. Một tổ sản xuất phải làm 600 sản phẩm trong một thời gian quy định với năng 
 suất như nhau. Sau khi làm được 400 sản phẩm, tổ đã tăng năng suất thêm mỗi ngày 10 
 sản phẩm, do đó đã hoàn thành công việc sớm hơn một ngày. Tính số sản phẩm làm 
 trong mỗi ngày theo quy định. 
Ví dụ 3. Một người thợ làm 120 sản phẩm trong một thời gian và năng suất dự định. Khi 
làm được 50 sản phẩm, người thợ đó nhận thấy làm với năng suất như vậy sẽ thấp hơn 
năng suất dự định là 2 sản phẩm một ngày. Do đó, để hoàn thành đúng thời gian đã định, 
người thợ đó tăng năng suất thêm 2 sản phẩm một ngày so với dự định. Tính năng suất dự 
định của người thợ đó. 
Dạng 3: Toán Làm Chung Công Việc 
Ví dụ 1 . Hai đội công nhân cùng sửa một con mương hết 24 ngày. Mỗi ngày phần việc 
 1
làm được của đội 1 bằng 1 phần việc của đội 2 làm được. Nếu làm một mình, mỗi đội sẽ 
 2
sửa xong con mương trong bao nhiêu ngày? 
Ví dụ 2 . Khối 8 một trường THCS có số lớp nhiều hơn 2, tổ chức trồng cây: 
 1 1
Lớp thứ nhất trồng 5 cây và số cây còn lại.Lớp thứ hai trồng tiếp 10 cây và số cây còn 
 5 5
 1
lại.Lớp thứ ba trồng tiếp 15 cây và số cây còn lại.Cứ trồng như vậy đến lớp cuối cùng thì 
 5
vừa hết số cây và số cây mỗi lớp trồng được là bằng nhau. Tính số cây mà khối 8 trồng và 
số lớp 8 của khối tham gia trồng cây. 
 Ví dụ 2. Học kì I số học sinh của lớp 8A bằng 1 số học sinh của cả lớp. Sang học kì II có ba 
 8
bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa. Do đó số học sinh giỏi bằng 20% số học sinh của 
cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh giỏi. 
Dạng 7. Dạng toán liên quan đến số học. 
Phương Pháp: Ở chương trình đại số lớp 8, các em cũng thường gặp loại bài tìm một số tự nhiên có 
hai chữ số, đây cũng là loại toán tương đối khó đối với các em; để giúp học sinh đỡ lúng túng khi 
giải loại bài này thì trước hết phải cho các em nắm được một số kiến thức liên quan như : 
- Cách viết số trong hệ thập phân. 
- Mối quan hệ giữa các chữ số, vị trí giữa các chữ số trong số cần tìm; điều kiện của các chữ số. 
Ví dụ 1. “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16, nếu đổi chỗ hai chữ 
số cho nhau được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị. Tìm số đã cho. 
Ví dụ 2.Tìm số tự nhiên có chữ số tận cùng là 5. Biết rằng nếu xóa chữ tận cùng này thì 
được một số mới nhỏ hơn số đầu là 2003 đơn vị. 
 37
Ví dụ 3.Cho phân số . Hãy tìm số tự nhiên m sao cho khi đem cả tử số và mẫu số trừ đi 
 53
 1
m thì được phân số mới bằng . 
 3
Dạng 8 : Dạng toán có nội dung vật lý, hóa học 
Phương Pháp .Để lập được phương trình, ta phải dựa vào các công thức, định luật của vật lý, hóa 
học liên quan đến những đại lượng có trong đề toán. 
Ví dụ 1 : Biết rằng 200g một dung dịch chứa 50g muối. Hỏi phải pha thêm bao nhiêu gam 
nước vào dung dịch đó để được một dung dịch chứa 20% muối? 
Ví dụ 2. Có hai loại thép vụn chứa 5% và 40% nicken. Cần lấy bao nhiêu thép vụn mỗi loại 
để luyện được 140 tấn thép chứa 30% nicken? 
 Vận tốc khi từ B trở về A là x 4 (km/h). 
 24 24
Thời gian lúc đi và lúc về lần lượt là và (giờ). 
 x x 4
 1
Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút giờ nên ta có phương trình : 
 2
 24 24 124(x 4) 24x 196 1
 xx 42x(x 4) 2x(x 4) 2
 2
 x2 4x 192 0 x2 4x 4 196 0 x 2 196 
 x 2 14 x 12 (TM), x 16 (L).
Vậy vận tốc lúc đi là 12 (km/h). 
Ví dụ 3. Một người đi bộ từ A đến B với vận tốc dự định 4 km/h. Sau khi đi được nửa 
quãng đường AB với vận tốc đó, người ấy đi bằng ô tô với vận tốc 30 km/h, do đó đã đến B 
sớm hơn dự định 2 giờ 10 phút. Tính chiều dài quãng đường AB. 
Lời giải 
 13
Đổi 2 giờ 10 phút = giờ 
 6
Gọi chiều dài quãng đường AB là x (km), (x > 0) 
Thời gian người đó đi nửa quãng đường AB với vận tốc 4 km/h là 
 x x
 : 4 (giờ) 
 2 8
Thời gian người đó đi quãng đường còn lại với vận tốc 30 km/h là 
 x x
 : 30 (giờ) 
 2 60
 13
Theo đề bài, người đó đến B trước 2 giờ 10 phút ( giờ)nên ta có phương trình : 
 6
 x x 13
 8 60 6
Giải phương trình, tìm được x = 20 (thỏa mãn điều kiện của ẩn) 
Trả lời : Quãng đường AB dài 20 km 
 Ví dụ 5. Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định. 
Sau khi đi được 1 giờ thì ô tô bị chặn bởi xe cứu hỏa 10 phút. Do đó để đến đúng hạn xe 
phải tăng tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc lúc đầu của ô tô. 
Lời giải 
 Vận tốc Thời gian Quãng đường 
 Dự định X 120 120 
 x
 Thực tế X 1 x 
 x + 6 120 x 120 - x 
 x 6
 1
Đổi 10 phút = giờ 
 6
Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là x ( km/h). Điều kiện: x > 0 
 120
Thời gian dự định của ô tô là (giờ). 
 x
Trong 1 giờ đầu ô tô đi được x (km) nên quãng đường còn lại là 120 - x (km). 
 120 x
Thời gian ô tô đi trên quãng đường còn lại là (giờ). 
 x 6
Do xe đến B đúng hạn nên ta có phương trình 
 120 x 1 120 120 120 x 7 x2 720 7
 +1+ = - = 
 x 6 6 x x x 6 6 x(x 6) 6
 6(x2+ 720)=7(x2+ 6x) x2 + 42x – 4320 = 0 
 ( x – 48 )( x + 90 )= 0 
 x= 48 ( thỏa mãn), x= - 90 (loại) 
Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là 48 ( km/h) 
Loại 2.Chuyển động trên dòng nước 
 - Giải phương trình trên ta được x = 175. Giá trị này của x phù hợp với điều kiện trên. Vậy 
ta trả lời ngay được chiều dài đoạn AB là 175km. 
Sau khi giải xong, giáo viên cần cho học sinh thấy rằng : Như ta đã phân tích ở trên thì bài 
toán này còn có vận tốc của mỗi xe chưa biết, nên ngoài việc chọn quãng đường là ẩn, ta 
cũng có thể chọn vận tốc xe máy hoặc vận tốc ôtô là ẩn. 
- Nếu gọi vận tốc xe máy là x (km/h) : x > 0 
Thì vận tốc ôtô là x + 20 (km/h) 
- Vì quãng đường AB không đổi nên có thể biểu diễn theo hai cách (quãng đường xe máy 
đi hoặc của ôtô đi). 
- Ta có phương trình : 3,5 x = 2,5 (x + 20) 
Giải phương trình trên ta được: x = 50. 
Ví dụ 2: Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48 km trên cùng 
một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/h. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước 
yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 1 giờ. 
Lời giải 
 Vận tốc Thời gian Quãng đường 
 Xuôi dòng x + 2 48 48 
 x 2
 Ngược dòng x – 2 60 60 
 x 2
Gọi vận tốc của tàu khi nước yên lặng là x ( km/h). Điều kiện: x > 2. 
Vận tốc lúc xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là x + 2; x – 2 (km/h). 
 48 60
Thời gian khi xuôi dòng và ngược dòng lần lượt là và (giờ). 
 x 2 x 2
Vì thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ nên ta có phương trình 
 60 48 60(x 2) 48(x 2) 12x 216
 - =1 1 1 
 x 2 x 2 (x 2)(x 2) x2 4
 x2 - 12x – 220 = 0 x2 - 12x + 36 – 256 = 0 (x – 6)2 = 256