Chuyên đề Giải phương trình mũ và logarit bằng phương pháp logarit hóa - Đại số 12

GIẢI TÍCH 12. CHƯƠNG II 
A. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 
B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 
 PHẦN 1 
 A. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 
 Bài toán 4: Giải phương trình mũ, phương trình logarit bằng phương pháp logarit hóa. 
I. Giải phương trình mũ bằng phương pháp logarit hóa 
Dạng 1: abfx . 
 Phương pháp giải:Điều kiện: 10 a , b 0. Lấy logarit cơ số a cho hai vế, phương 
 trình trở thành: f x loga b . 
Dạng 2: abf x g x . 
 Phương pháp giải:Điều kiện: 10 a , . Lấy logarit cơ số cho hai vế phương 
 trình trở thành: f x g x .loga b . 
 bcg x . h x 
Dạng 3: a fx . 
 d kx 
 Phương pháp giải : Điều kiện: ; b, c , d 0. Lấy logarit cơ số cho hai vế, 
 phương trình trở thành: fxgx .loga bhx .log a ckx .log a d . 
Các ví dụ : 
 A. Phương trình không có tham số: 
 Câu 1 
 Giải phương trình sau: . 
 Lời giải 
 Lấy logarit cơ số 2 hai vế, phương trình đã cho tương đương: 
 3 x 1 log 3
 x2 2 log x 2 2 log 3 1 x 2 1 log 3 2 . 
 22 2 2
 x 1 log2 3
 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 1 log22 3; 1 log 3. 
 Câu 2 
 Giải phương trình sau: . 
 Lời giải 
 Điều kiện x 0 . 
 Phương trình đã cho tương đương: 
 23x 36x 
 222 32 x 
 3xx 2 .2 x 3 2 .2 1 3 4 .2x 1 x 2 4 log 2 0
 x 3
 x 2 
 3log3 2 
 x 2 x 2 0 2 x 2
 x x 2 x 3log3 2 0 VN 
 b) Điều kiện: x 0 . 
 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: 
 2 log 3
 32log25 10x 1 x 5
 2
 log25 10xx 1 .log 5 3 log 5 3.log 5 2 
 1 
 log2 5.2xx 1 log 2 0
 4 55
 1 2
 log5 2xx log 5 5 1 log 5 2 0
 4
 1
 1 x 
 12 1 3 log5 2x 1 2x 10
 log 2xx log 2 0 5 . 
 55 
 4 2 4 log5 2x 3 125
 2x 125 x 
 2
 c) Ta có: 
 xx2 4 2 2 x 2
 2.7 1x 4 x 2log70 22 x 2 x 2log70 
 x 2 log2 7
. 
 d) Ta có: 
 xxxxxx 1 1 2 3 xxxxxx 1 2 1 3
 5353530555 333 
 x
 1 2x 1 3 x x x 5
 1 5 5 5 1 3 3 3 31.5 31.3 1x 0 
 3
 e) Ta có: 
 1 1 1 1 1
 x x x x 34 x 
 433x 2 2 22 x 1 42 x 2 x 1 33 2 2 4.3. x 2
 23 
 1
 x 
 1x 3 3
 x 2 x x 
 x 3 4 4 3 3 3
 4 . 32 . 4 2 3 2 xx 0
 2 31 32 2 2
 B. 4.42
 Phương trình có tham số. 
 Câu 15 
 [2D2-5.5-4] Cho các số thực , với thỏa mãn 
 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 Lời giải 
 Câu 4 
 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau 
 Cho phương trình , là tham số khác . Tìm tất cả các giá 
 trị thực của để phương trình đã cho có đúng nghiệm phân biệt. 
 Lời giải 
 32m 
 Đkxđ: 2f x 3 m 2 0 f x . 
 2
 2f x 2 m 6 f x 6 m 6 f x 6 m
 2 
 5fxfxm .82 3 2 100 5 fxfxm .2 2 3 2 522 .2 5 fx 2 2 2 fxm 3 2
 42 fx 
 52f x 2 2 f x 3 m 2
 Lấy logarit cơ số 5 của hai vế phương trình đã cho ta được 
 fx 2
 22 fx 
 fx 2 log5 2 2
 2f x 3 m 2 1 log5 2
 2f x 3 m 2 
 fx 2 (1)
 2f x 3 m 2 2log5 2 (2)
 Với m 2 thì phương trình (1) và (2) luôn thỏa mãn điều kiện xác định. 
 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. Để phương trình 
 ban đầu có đúng 7 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) thỏa mãn điều kiện xác định và 
 có 3 nghiệm phân biệt khác các nghiệm của phương trình (1). 
 Dựa vào bảng biến thiên để phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt thì 
 2log 2 2 3m 2 2log 2
 55 2 m (thỏa mãn điều kiện). 
 23
 2 2log 2
 Vậy m 5 thì phương trình đã cho có 7 nghiệm. 
 3
Bài tập tương tự: 
 Giải các phương trình sau: 
 2
 23x log 3 2
 2 log25 10x 1 5 xx 42
 a) 3x 2 .4x 18. b) 32 x . c) 2 .7 1. 
 11
 x x x 1 x 1 x 2 x 3 xx 
 d) 5 3 5 3 5 3 0 . e) 4xx 322 3 221 
 01 a
 Từ phương trình loga f x b b . 
 f x a
Dạng 2: loga f x g x 
 Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương: 
 01 a
 Từ phương trình loga f x g x gx . 
 f x a
Dạng 3: logabf x log g x 
 t
 f x a
 Phương pháp giải: Đặt logf x log g x t . Khử x trong hệ phương 
 ab t
 g x b
trình để thu được phương trình theo ẩn t, giải phương trình này tìm t, từ đó tìm x. 
Các ví dụ : 
A. Phương trình không chứa tham số. 
 Câu 1 
 Giải phương trình sau: . 
 Lời giải 
 Điều kiện: 2xx 1 0 2 1 x 0. 
 xx 2 x 5 5
 Ta có: log2 2 1 2 2 1 2 2 x log2 x log22 5 log 4 
 4 4
 x 2 log2 5(tm) 
 Vậy phương trình có nghiệm là x 2 log2 5 . 
 Câu 2 
 Giải phương trình sau: . 
 Lời giải 
 x
 Điều kiện: 3 8 0 x 2log3 2. 
 x x2 x
 Ta có: log3 (3 8) 2 x 3 8 3 
 x
 2xx 3 1(vn )
 3 8.3 9 0 
 x
 39 
 3x 32 x 2 . 
 Vậy phương trình có nghiệm là x 2. 
 Câu 3 
 Giải phương trình sau: . 
 Lời giải 
 Điều kiện : x 0 . 
 t t
 log5 x t x 5 x 5 1 
 Ta có: log57x log x 2 t . 
 logxt 2 t t t
 7 x 2 7 5 2 7 2