Chuyên đề Giải phương trình mũ và logarit bằng phương pháp hàm số, đánh giá - Đại số 12

GIẢI TÍCH 12. CHƯƠNG II 
A. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 
B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 
 PHẦN 1 
 A. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 
 Bài toán 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BẰNG PHƯƠNG PHÁP 
 HÀM SỐ, ĐÁNH GIÁ. 
I. Dùng phương pháp hàm số giải phương trình logarit mũ 
Dựa vào các tính chất sau 
Tính chất 1: Nếu hàm số y f x luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên ab; thì phương trình 
 f x k có không quá một nghiệm trên ab; và f u f v u v  u,; v a b . 
Tính chất 2: Nếu hàm số y f x liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì phương 
 trình f x m có không quá một nghiệm trên D . 
Tính chất 3: Nếu hàm số liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến); hàm số y g x 
 liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên thì phương trình: f x g x có 
 không quá một nghiệm trên . 
Tính chất 4:Cho hàm số y f x có đạo hàm đến cấp k liên tục trên ab; . Nếu phương trình 
 fx k 0 có đúng m nghiệm thì phương trình fx k 1 0 có nhiều nhất là m 1 nghiệm. 
 Câu 1 
 [2D2-5.5-2] Giải các phương trình: 
 Lời giải 
 x
 15 1 4x 
 x x
 15 1
 1 () 
 44 
 xxxx
 15 1 15 15 1 1
 Xét hàm số f x f' x .ln .ln 0,  x 
 4 4 4 4 4 4
 Vậy f là hàm số nghịch biến, liên tục trên trên và x 2 là một nghiệm của phương trình (*) 
 nên x 2 là nghiệm duy nhất của () . 
 Vậy phương trình cho có S 2 . 
 fx' 3xx ln3 2 ln2 3 
 22
 f'' x 3.ln3xx 2.ln2 0,  x fx' là hàm đồng biến, liên tục trên nên fx'0 
 có nhiều nhất một nghiệm trên . 
 Suy ra fx 0 có nhiều nhất là hai nghiệm. 
 Mà ta thấy f 1 f 0 0 x 0; x 1 là nghiệm của phương trình. 
 Vậy S 0;1. 
 Câu 5 
 [2D2-5.5-2] Giải các phương trình: 
 Lời giải 
 Điều kiện x 0 , phương trình cho viết lại log5 xx 2 11. 
 Xét f x log5 x và g x 2 x 11 trên khoảng 0; 
 1
 fx' 2 0 ,  x 0 suy ra hàm số fx đồng biến, liên tục trên khoảng 0; 
 x.ln5
 và gx' 2 0,  x suy ra hàm số gx nghịch biến, liên tục trên . 
 Vậy phương trình f x g x có tối đa một nghiệm trên . 
Mà fg 55 nên x 5 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. 
 Câu 6 
 [2D2-5.5-3] Giải phương trình: 
 Lời giải 
 Điều kiện: x 0 . 
 t
 Đặt t log6 x x 6 . 
 t t
 t t t t t 3 t 3
 PT đã cho trở thành: 6 3 2 , chia cả 2 vế cho 2 ta được 31 3 1 0 . 
 2 2
 t t
 t 3 t 33 
 Xét hàm số ft 31 có fx 3 .ln3 .ln 0 nên ft đồng biếntrên . 
 2 22 
 1
 Mà f 10 nênphương trình ft 0có nghiệm duy nhất là t 1 tức x . 
 6
 1
 Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất x . 
 6
 Câu 7 
 [2D2-5.5-3] Giải phương trình: 
 Câu 9 
 [2D2-5.5-3] Giải phương trình . 
 Lời giải 
 5 17
 x 
 2 2
Điều kiện: xx 5 2 0 . 
 5 17
 x 
 2
Đặt t x2 52 x , t 0 x22 5 x 2 t 4. 
 1 2
Khi đó ta được phương trình log t 1 .2t 2 0 * . 
 3 16
 1 2
Xét hàm số f t log t 1 .2t 2 . 
 3 16
 1 t 2
Ta có: f t .2t .ln 2 0,  t  0; f t đồng biến trên 0; . 
 t 1 .ln3 8
Mặt khác f 20 . 
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất t 2. 
 5 33
Suy ra xx2 5 2 2 xx2 5 2 0 x (thỏa mãn điều kiện). 
 2
 5 33
Vậy tập nghiệm của phương trình là S . 
 2  
 Câu 10 
 [2D2-5.5-3] Giải phương trình . 
 Lời giải 
 Nhận xét: x 0 không thỏa mãn phương trình nên 
 1 2 x
 3 x 1 2
 phương trình 3x 5 3 x 1 3 x 6 x 
 5
 1 2 x 2
 3 x 1 3xx 6 1
 5 
 53x
 1 2 x
 3 x 11
 52 x 
 53x
 1
 1 x 2
 53x 5 x 2 . 
 3x
 Xét hàm số g t 5t t có gt' 5t ln5 1 0, t nên hàm số gt đồng biến trên . 
II. Dùng phương pháp đánh giá để giải phương trình loagrit - mũ 
Tóm tắt phương pháp 
Cho các biểu thức f x , g x xác định trên tập D . 
 f x g x a
Nếu f x a và g x a với mọi xD thì f x g x . 
 xD 
 Câu 12 
 [2D2-5.5-2] Giải phương trình . 
 Lời giải 
 Điều kiện x 0 . 
 2
 22x 1 
 Đánh giá: Với x 0 thì x2 11 và x 0 nên . 
 22 x
 2
 22x 1 
 Do đó phương trình đã cho tương đương: x 0 . 
 22 x
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 0 . 
 Câu 13 
 [2D2-5.5-2] Giải phương trình . 
 Lời giải 
 x 10
 x 1
 Điều kiện 9 xx 1 0 1 82. 
 x 1 81
 2 
 xx 2 5 0
 Đánh giá: Với 1 x 82 thì 9 x 1 9 và xx2 2 5 4 nên 
 log33 9 x 1 log 9 2
 . 
 logxx2 2 5 log 4 2
 22 
 log3 9 x 1 2
 Do đó phương trình đã cho tương đương x 1. 
 logxx2 2 5 2
 2 
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1. 
III. Bài toán tìm min, max có chứa đẳng thức logarit mũ, dùng phương pháp hàm số 
 Câu 14 
 [2D2-5.5-4] Với các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá 
 trị lớn nhất của 
 Lời giải 
IV. Bài toán định m trong phương trình logarit mũ. 
 Câu 16 
 [2D2-5.5-3] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 
 có nghiệm thuộc đoạn . 
 Lời giải 
m3.8xx m 2 1 x 3 2 x
 3 
 m.2xx 2 m .2 x3 2 x 1 
Xét f t t3 2 t 
 f t 3 t2 2 0 với  t suy ra ft là hàm đồng biến trên . 
 x
Khi đó, phương trình (1) tương đương với m.2x x m . 
 2x
 x
Xét: gx với x 2;5. 
 2x
 1 x ln 2
Có g x 0  x  2;5. 
 2x
 gx là hàm nghịch biến trên 2;5. 
 51
Suy ra để phương trình (1) có nghiệm thì g 52 m g x g m . 
 32 2
 51
Vậy m . 
 32 2
 Câu 17 
 [2D2-5.5-3] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 
 có hai nghiệm phân biệt. 
 Lời giải 
 2
 u x 22 mx 2
Đặt v u x 2 mx m . 
 2
 v 2 x 4 mx m 2
Phương trình đã cho trở thành: 5u 5 v v u 5 u u 5 v v * 
Vì hàm số f( t ) 5t t là hàm đồng biến nên phương trình * uv x2 20 mx m . 
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ' m2 m 0 m 0 hay m 1. 
 Câu 18 
 [2D2-5.5-4] Có bao nhiêu số nguyên để phương trình 
 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn . 
 Lời giải 
 Điều kiện: 3x2 3 x m 1 0 .