Chuyên đề Giải phương trình mũ và logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ - Đại số 12

GIẢI TÍCH 12. CHƯƠNG II 
A. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 
B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 
 PHẦN 1 
 A. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 
 Bài toán 3: Phương pháp đặt ẩn phụ 
1. ẨN PHỤ KHÔNG THAM SỐ 
Dạng 1: A. a2 f x B . a f x C 0 (1) 
Phương pháp giải: 
Cách 1: 
Đặt t afx t 0 . Khi đó phương trình (1) trở thành At.2 B . t C 0.(2) 
Giải (2), đối chiếu điều kiện rồi trả lại ẩn cũ ta được các phương trình cơ bản. 
 2
Cách 2: Aa.2 f x B . a f x C 0 A . a f x B . a f x C 0 . Đây là phương trình dạng bậc hai 
 đối với a fx , ta có thể tính nhanh nghiệm bằng máy tính. 
 Câu 1 
 Giải phương trình sau (*) 
 Lời giải 
 3
 2 x 3
 33 x 
 22 
(*) 2xx 8.2 12 0 3 
 3 x 
 x
 26 log2 6
 3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 3; 
 log2 6
 Câu 2 
 Giải phương trình sau (*) 
 Lời giải 
 x
 7 2 71 
(*) 7x 6 0 7 x 6.7 x 7 0 x 0 . 
 x x
 7 77 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 0 . 
 Câu 3 
 Giải phương trình sau (*) 
 1 
 Vậy phương trình có 2 nghiệm là x 0 và x log3 2. 
 2
 Câu 6 
 Giải phương trình sau (*) 
 Lời giải 
 2
 22x2 x 2 x x2 xx x 2 x
(*) 2.2 9.2 4.2 0 2.2 9.2 4 0 (1) 
 t 4
 xx2 2
Đặt t 20 thì phương trình (1) trở thành 2tt 9 4 0 1 . 
 t 
 2
 xx2 2 x 1
+) t 4 2 4 x x 2 
 x 2
 11xx2 2
+) t 21 x x (PT vô nghiệm) 2
 22 At. B . t C 0.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x 1 và x 2. 
 Câu 7 
 Giải phương trình sau (*) 
 Lời giải 
 x x x x32 x x
 8 4 2 2 2 2
 (*) 3. 4. 2 0 3. 4. 2 0 
 27 9 3 3 3 3
 x
 22
 33
 x 1 
 x
 2
 1
 3
Vậy phương trình có nghiệm là x 1. 
 2
Dạng 3: A.logaa f x B .log f x C 0 (1), với 01 a 
Phương pháp giải: 
Cách 1: 
ĐK: fx 0 
Đặt t loga f x . Khi đó phương trình (1) trở thành (2) 
Giải (2), trả lại ẩn cũ ta được các phương trình cơ bản. 
 2 2
Cách 2: A.loga fxB .log a fxC 0 A . log a fx B .log a fxC 0. 
Đây là phương trình dạng bậc hai đối với loga fx , ta có thể tính nhanh nghiệm bằng máy tính. 
 3 
 x 0
 1 2 
Với t 1 log1312 x x 1 13650 x x x 5 (Không thỏa mãn). 
 12 x x 
 6
 x 0
 22 
Với t 2 log12 x 13 x 2144 x x 13 x 4 x x 0 1 
 x 
 4
 1
Đối chiếu điều kiện ta thấy nghiệm của PT là x . 
 4
 Câu 11 
 Giải phương trình sau (*) 
 Lời giải 
 11
ĐKXĐ: 0 x  1; ; 
 4 16
 6 4 6 3 2 3
(*) 0 0 (1) 
 log2x log 2 4 x log 2 16 x log 2 x 2 log 2 x 4 log 2 x
Đặt: log2 xt , t 0; 2; 4. Phương trình (1) trở thành: 
3 2 3 2 t 1
 0 3 2t 4 t 2 t 4 t 3 t 2 t 0 8tt 32 24 0 
t24 t t t 3
 1
+) t 1 logxx 1 
 2 2
 1
+) t 3 logxx 3 
 2 8
 11
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S ; . 
 28
 Câu 12 
 Giải phương trình sau (*) 
 Lời giải 
ĐKXĐ: x 0 . Đặt t log x x 10t . Khi đó ta có (*) trở thành 
 log5
5t 10 t 50 5 t 5 t 50 tx 2 100 . 
Vậy PT có nghiệm x 100 . 
 5 
 log22xx log
Điều kiện x 0 . Ta có 2 2 . 2 2 x . Đặt 
 log22xx log x
 tt 2 2 2 2 0 . 
 t
 x2 t 1
 t 1 x22 t t 1 t 1 x 
Khi đó ta có (*) trở thành 2 
 t tx 
+ tx 11 . 
 log x
 222
+ t x 2 2 x log2 x .log 2 2 2 2log 2 x log 2 x 0 x 1. 
Vậy PT có nghiệm x 1. 
 Câu 16 
 Giải phương trình sau (*) 
 Lời giải 
 5
Điều kiện: x . 
 6
Đặt yx 1 log7 6 5 thì ta có hệ phương trình 
 x 1
 7 6 y 1 1 7x 1 6y 5
 7xy 11 6xy 7 6 (2) 
 y 1
 yx 1 log7 6 5 7 6x 5
 5 5
Xét hàm số f t 76t 1 t với t thì f' t 7t 1 ln 7 6 0,  t f t đồng biến nên 
 6 6
 2 f x f y x y khi đó ta có phương trình 7x 1 6x 5 0. (3) 
 5 2
Xét hàm số g x 7x 1 6 x 5 với x thì g' x 7ln76xx 11 g " x 7 ln7 0 
 6
 5
  x 
 6
nên suy ra phương trình gx 0 có không quá hai nghiệm. 
Mặt khác gg 1 2 0 nên x 1 và x 2 là 2 nghiệm của phương trình (3). 
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là và . 
Dạng 4: Ẩn phụ có tham số 
 Câu 17 
 Tìm tất cả giá trị thực của tham số thực để phương trình có hai 
 nghiệm phân biệt? 
 Lời giải 
 Đặt tt 30x thì phương trình trở thành t2 mt 6 0 1 . 
 7 
 Lời giải 
 xx
 Phương trình: 2 3 1 a 2 3 4 0 1 
 x
 2 3 4 2xx
 10 a 2 3 4. 2 3 1 a 0. 
 x 
 23 23 
 x
 Đặt 2 3 t 0 ta có phương trình t2 4 t 1 a 0. (2) 
 Phương trình 1 có 2 nghiệm phân biệt xx12, khi và chỉ khi 2 có hai nghiệm phân biệt 
 4 1 a 0
 dương tt12, tt12 4 0 3 a 1 (*) 
 t12.t 10 a 
 xt log
 1123 
 Khi đó: suy ra xx12 log 3 
 xt log 23 
 2223 
 t1
 tt3 . 
 log2 3tt12 log 2 3 log 2 3 3 3 12
 t2
 tt12 4 t 1 3
 Mặt khác theo Viet ta có nên 
 t12.1 t a t2 1
 suy ra a 2 thoả mãn (*). Vậy là giá trị cần tìm. 
 Câu 20 
Tìm tất cả các giá trị thực của để phương trình có nghiệm . 
 Lời giải 
 x 1
 Đặt t 2 ; vì x 1;2 nên t ;4 . 
 2
 Khi đó phương trình trở thành t2 22 t m * . 
 PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm . 
 2 1
 Xét f t t 22 t ; t ;4 . 
 2
 Ta thấy ft liên tục trên 
 Có f t 22 t ; f t 01 t . 
 9