Chuyên đề Giải phương trình bậc hai với hệ số thực (Phần 2) - Đại số 12

 BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 
 I HỆ THỐNG LÝ THUYẾT. 
 = 
 II CÁC DẠNG TOÁN 
 = 
5. Một số bài tập năng cao 
 Ví DỤ 1 
 2
Trong tập các số phức, cho phương trình z 6 z m 0, m 1 . Gọi m0 là một giá trị của m để 
phương trình 1 có hai nghiệm zz12, thỏa mãn z1.. z 1 z 2 z 2 . Hỏi trong khoảng 0;20 có bao 
nhiêu giá trị m0 
 Lời giải 
Trường hợp 1: ' 0 m 9 , phương trình có hai nghiệm thức phân biệt zz12, . Khi đó: 
 zz11 
 z1.. z 1 z 2 z 2 (không thỏa mãn) 
 zz22 
Trường hợp 2: ' 0 m 9 , phương trình có nghiệm kép zz12 3. Khi đó: 
 zz11 
 z1.. z 1 z 2 z 2 ( thỏa mãn) 
 zz22 
Trường hợp 3: ' 0 m 9 , phương trình có hai nghiệm phức . Khi đó: 
 zz12 
 z1.. z 1 z 2 z 2 (thỏa mãn) 
 zz21 
Mà m là số nguyên thuộc khoảng 0;20 nên có 11 giá trị 
 Ví DỤ 2 
Cho số phức w và hai số thực ab, . Biết rằng 2wi và 35w là hai nghiệm của phương trình 
 z2 az b 0 . Tìm phần thực của số phức w . 
 Lời giải 
Gọi w c di,, c d . Khi đó hai nghiệm của phương trình là 
2w i 2 c di i 2 c 2 d 1 i 
3w 5 3 c di 5 3 c 5 3 di 
Theo định lý Vi ét: 
1 | 
 2
 z1 b i c b
 2
 z2 b i c b
Vậy A( b , c b22 ), B ( b , c b ) 
Từ đó suy ra OA=OB mà tam giác OAB đều nên AOB 60o 
 1b22 ( c b )
cos(OA , OB ) 
 2 cc.
 21bc2 
 43bc2 
 c 2
 Ví DỤ 6 
 22
Biết rằng z12,z là nghiệm của phương trình z 2( m 1) z m 1 0 với m là tham số thực hãy 
 11
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 zz12
 Lời giải 
Trường hợp 1: ' 0 m 0, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt . Khi đó: 
 zz12,
 z ( m 1) 2 m 1 1zz 2(m 1)
 1 12 fm() 
 z z z z m2 1
 z2 ( m 1) 2 m 1 2 1 2
Khảo sát hàm số fm() => max(fm ( )) 2 1khi m 21 
 11
Trường hợp 2: ' 0 m 0, phương trình có nghiệm kép zz12 12 
 zz12
Trường hợp 3: ' 0 m 0 , phương trình có hai nghiệm phức . Khi đó: 
 z ( m 1) i 2 m 1 1 2
 1 z z m2 12 
 11 2
 z ( m 1) i 2 m zz12 m 1
 2 
Dấu bằng xảy ra khi m = 0 
 11
Trong cả 3 trường hợp max 2 1 
 zz12
 Ví DỤ 7 
 2 m im 
Tìm tổng tất cả các số thực m biết zz. và z 
 2 1 m ( m 2 i )
 Lời giải 
 im ( immmimmim )(1 2 2 ) (1 2 ) (1 2 ) m i
 z 
Biến đổi 1(2)(1)4 m m i m2 2 m 2 (1) m 2 2 1 m 2 1 m 2 
3 | 
 2
Có z 3 i 2 4 z 4 i 25 0 (z i ) 32 4( z i ) 25 0 (z i ) 10( z i ) 34 0
 z i 53 i zi 52
 1
 z i 53 i zi2 54
 22 22
A z12 z 5 2ii 5 4 70. 
5 |