Chuyên đề Giải phương trình bậc cao số phức - Đại số 12

 Giải tích 12. 
 CHƯƠNG 4 
 BÀI 2 
 PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO 
 1 Lý thuyết 
 = 
 Phương pháp giải 
 Đây là dạng toán không mẫu mực, do đó không có phương pháp chung để giải mà phải tùy vào 
 yêu cầu của đề để vận dụng một trong những kĩ thuật: 
 Đặt nhân tử chung 
 Đặt ẩn phụ 
 Các bất đẳng thức đơn giản 
 2 Ví dụ 
 Ví dụ 1 
Bài 1. Giải phương . 
 Lời giải 
 Nhẩm 1 nghiệm bằng 1, dùng sơ đồ Horner ta phân tích phương trình thành 
 éz = 1
 (z -1)éz2 - (1+ 2i)z -1+ iù = 0 Û 
 ë û ê 2
 ëz - (1+ 2i)z -1+ i = 0
 Ta có: D = (1+ 2i)2 - 4(-1+ i) = 1 
 é 1+ 2i +1
 z = = 1+ i
 ê 2
 Suy ra ê 
 1+ 2i -1
 êz = = i
 ëê 2
 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1;i;1+ i}. 
 Ví dụ 2 
 Giải phương trình sau: . 
 Lời giải 
 1 | 
 z6 1 0 z 3 1 z 3 1 0 z 1 z 2 z 1 z 1 z 2 z 1 0
 z 1
 13
 zi 
 22
 z 10 
 13
 2 zi 
 zz 10 22
 zz 1 0 1
 2
 zz 10 13
 zi 
 22
 13
 zi 
 22
 Tổng bình phương các nghiệm là 
 2 2 2 2
 1 3 1 3 2 1 3 1 3 
 2 . 
 1 i i 1 i i 0
 2 2 2 2 2 2 2 2 
 Ví dụ 4 
Bài 1. Tìm số phức thỏa mãn . 
 Lời giải 
 Điều kiện z 0 . 
 88ii
 z4 126 iz 2 z 4 126 iz 2 0 z 6 61280 iz 4 z 2 i 
 zz22
 3 2 3
 z2 3.23220 zizii 2 2 23 zi 2 20 zi 2 20 zi 2 2 . 
 Đặt z x yi,, x y . 
 2 2 2 2
 2 x y 0 x y
 z2 2 i xyi 2 i xy 2 2 2 xyii 2 
 2xy 2 xy 1
 x 1 x 1
 hoặc . Vậy số phức cần tìm là z12 1 i , z 1 i . 
 y 1 y 1
 Ví dụ 5 
Bài 1. [Mức độ 2]. Gọi là bốn nghiệm của phương trình trên tập 
 số phức. Tính tổng 
 Lời giải 
 3 | 
 22 zi 1 
TH2: Với uz 3 . Ta có z z 2 3 z z 2 z 2 0 
 zi 1 
Vậy phương trình có 4 nghiệm : z 1 i , z 1 i , z 1 i , z `1 i . 
 Ví dụ 8 
 Giải phương trình: 
 Lời giải 
Ta thấy z 0 không là nghiệm của phương trình (1). Chia cả hai vế của phương trình (1) cho z 2 
 23 i 4
 z2 3 i z 4 3 i 0
 z z2
 42
 z2 3 i z 4 3 i 0 *
 z2 z
 2
Đặt tz . Phương trình (*) trở thành 
 z
 t 3
t2 3 i t 3 i 0 t 3 t i 0 
 ti
 2 2 z 1
TH1: Với t 3. Ta có z 3 z 3 z 2 0 
 z z 2
 2 2 zi 
TH2: Với ti . Ta có z i z iz 20 
 z zi 2
Vậy phương trình có 4 nghiệm : z 1, z 2, z i , z 2 i . 
 Ví dụ 9 
 Giải phương trình 
 Lời giải 
 1 z3 2z 2 4z 2iz 2 4iz 8i 0 
 zz 22 2z4 2iz 2z4 0 
 z 2i z2 2z 4 0
 z 2i z 2i 
 2 
 z 2z 4 0 z 1 i 3
Vậy phương trình có 3 nghiệm : z 2i ; z 1 i 3 
5 |