Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp - Đại số 10

 CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10. 
Vấn đề 6: HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP 
1. Cách nhận dạng hệ giải bằng phương pháp nhân liên hợp 
 Hệ phương trình hai ẩn trong đó có ít nhất một phương trình chứa căn . 
2. Cách giải tổng quát của dạng toán. 
 Bằng phương pháp nhân liên hợp đưa phương trình chứa căn về phương trình dạng tích . Từ đó 
ghép với phương trình còn lại để giải hệ phương trình. 
 Kiến thức sử dụng: 
 ABABAB 
 ABABAB 2 
 33ABABABAB 3 2 2 3
3. Bài tập áp dụng 
Dạng 6.1. Nhân liên hợp trực tiếp 2 căn có sẵn trong phương trình 
Câu 1: Giải hệ phương trình 
 x 4 y 1 y 3 x 2 1 
 x22 y xy 2 y x 12 2
 Lời giải 
 x 2
 ĐKXĐ: 
 y 3
 x 2
 +) Xét yx 3 2 0 
 y 3
 Thay vào phương trình (2) ta được: 19 20 (Vô lí) 
 +) Xét . Khi đó:
 yx 3 2 0 
 x 4 y 1 y 3 x 2
 x y 55 y x 
 x 4 y 1 y 3 x 2
 xy 5 0 3 
 x 4 y 1 y 3 x 2 4 
 2 y 4
 Từ 3 suy ra xy 5 thay vào phương trình 2 ta được: yy 6 8 0 
 y 2 loai 
 Với yx 41 
 Cách 1 : x 1 y 1 x 7 y 7 
 Từ hệ phương trình ta có x 1 y 1 x 7 y 7 8 
 xy 1 1 4 
 yx 1 4 1 thay vào 2 ta có 4 xx 1 7 4 
 x 7 x 1 ( vô lý) 
 Cách 2 
 x 1 x 7  x 7
 Nhận thấy nên 
 x 1 y 1 x 7 y 7  x 7; y 7 
 y 1 y 7  y 7
 Do đó pt (3) vô nghiệm 
 Vậy hệ phương trình có nghiệm xy; 8;8
 Tác giả:Lê Thị Như Thủy; Fb: Nhuthuy Le 
Câu 3: Giải hệ phương trình 
 x 4 y 3 y 2 x y 1 
 2
 y 1 x 1 y y 10 2 
 Lờigiải 
 Sưu tầm,Tác giả:Bùi Hoàng Cường; Fb: cuongkhtn 
 yx 1; 1.
 Điềukiện: 
 2xy 0.
 82yx 
 1 (xy 4 ) 0 
 32y x y
 2
 (xy 4 )(1 ) 0.(*) 
 32y x y
 2 2 2
 Do y 1 0 1 0. 
 3y 2 x y3 3 y 2 x y
 (*) xy4 .Thay vào phương trình 2 ta có: 
 y 1 4 y 1 y2 y 10
 y 1 1 4 y 1 3 y2 y 6 0
 14 
 (yy 2)( 3) 0
 yy 1 4 1 3
 yx 2 8.
 Vậy hệ có nghiệm (xy ; ) (8;2). 
Câu 4: Giải hệ phương trình 
 x y x y 21 y y x 
 2x 3 y 2 y 6 2 
 (1 y ) x y x 2 ( x y 1) y 1 
Câu 6: Giải hệ phương trình 
 2
 2y 3 x 6 y 1 2 x 2 y 4 x 5 y 3 2 
 Lờigiải 
 Sưutầm,Tácgiả:BùiHoàngCường; Fb: cuongkhtn 
 y 0
 xy 
 Điều kiện: 
 xy 2
 4xy 5 3
 (1) (1y ) x y (1 y ) ( x y 1) y ( x y 1)
 (1 y )( x y 1) ( x y 1)( y 1)
 11
 (x y 1)(1 y )( ) 0 
 x y 11 y 
 y 1
 xy 1
 + Với y 1 hệ phương trình có nghiệm: (xy ; ) (3;1). 
 + Với xy 1 .Thay vào phương trình ta có: 
 2y2 3 y 2 1 y
 2y2 y 2(1 y ) 1 y (*). 
 2 tt12;  0; 
 Xét hàm số : f( t ) 2 t t , t 0. 
 tt12 
 Ta có: 
 1
 2(t2 t 1 )( t 2 t 1 )
 f()() t21 f t 2
 2 
 t2 t 1 t 2 t 1
 1
 2(tt ) 0 
 212
 Hàmsố ft()đồngbiến0; 
 y 0
 (*) yy 1 2 
 yy 10 
 1 5 1 5
 yx . (thỏa mãn điều kiện) 
 22
 2 7 4 7 2 7 4 7 
 Vậy nghiệm của hệ phương trình là 3;1 , ; ; ; . 
 3 3 3 3 
Câu 2: Giải hệ phương trình 
 x 3 y 1 2 x 6 y 5 8
 . 
 2
 x 2 y 4 3 xy
 Lời giải 
 Tác giả:Lưu Thị Minh Phượng; Fb: Jerry Kem 
 x 3 y 1 2 x 6 y 5 8 1 
 . 
 x2 2 y 4 3 xy 2
 Điều kiện: xy 3 1 0 . 
 Từ phương trình (1) ta có 
 x 3 y 1 2 x 6 y 5 8
 x 3 y 1 3 2 x 6 y 5 5 0
 xy 3 10 2 xy 3 10 
 0
 x 3 y 1 3 2 x 6 y 5 5
 12
 xy 3 10 0
 x 3 y 1 3 2 x 6 y 5 5
 xy 3 10 0
 xy 10 3 3 .
 Thay 3 vào 2 
 y 2
 2 2 
 103 y 243103 y y y 9 y 44520 y 26 . 
 y 
 9
 + Với y 2 x 4 ( tm ). 
 26 4
 +Với y x ( tm ). 
 93
 4 26
 Vậy nghiệm của hệ phương trình là 4;2 , ; . 
 39
Câu 3: Giải hệ phương trình 
 x 2 y x 2 y 3 3 1 
 x2 y y x 1 2 x 2 y 2 
 Lời giải 
 Tác giả:Nguyễn Thị Hường; Fb: Nguyen Huong 
 2xy 
 2x y x 3 0 
 2xy 4 2
 1
 2x y x 3 0 3 
 2xy 4 2
 2 1
 Do xx 3 3 0 nên x 30 
 7 2xy 4 2
 Khi đó 32 yx thay vào phương trình (2) ta được phương trình : 
 7xx 1 7 2 5
 1
 x 
 7
 14x 3 2 7 x 1 7 x 2 25 4 
 4 7x 1 7 x 2 11 7 x
 11
 x 
 7
 2
 7x 1 7 x 2 11 7 x 
 11
 x 17
 7 x (Thỏa mãn ĐKXĐ) 
 25
 175x 119
 17 34
 Với xy 
 25 25
 17 34
 Vậy hệ đã cho có nghiệm xy;; 
 25 25
 2
 4x 3 x 3 4 y 1 x 3 2 x y 1 
Câu 5: Giải hệ phương trình 
 2
 x y x x 2 y 2 y 2 
 Lời giải 
 Tác giả:Nguyễn Thị Hường; Fb: Nguyen Huong 
 xy 0
 ĐKXĐ : xy 0
 x 3
 2 x y x22 2 xy y 2 0 
 x y 1 x y 2 1 0 
 x y 1 x y 1 x y 1 0