Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ - Đại số 10

 CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10. 
 Vấn đề 5: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 
 Phương pháp đặt ẩn phụ được dùng nhiều và tỏ ra rất hiệu quả trong giải hệ phương trình. Việc phát 
hiện ẩn phụ, đặt ẩn phụ, xác định đúng điều kiện cho ẩn phụ đôi khi quyết định việc giải được hay không 
giải được, giải tốt hay giải không tốt một hệ phương trình. 
Dạng 1: Đặt ẩn phụ dạng đại số. 
1. Một số lưu ý. 
+ Phương pháp chung cho kỹ thuật đặt ẩn phụ dạng đại số đó là tìm nhân tử chung giữa hai phương trình của 
 hệ. 
+ Các dấu hiệu thường gặp để đặt ẩn phụ: 
 - Hệ đối xứng loại I. 
 - Hệ có các nhân tử lặp lại trong hai phương trình của hệ. 
 - Hệ chứa tổng, hiệu xy ; xy . 
 - Một số hệ sau khi đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại I; II. 
 - Đôi khi ta phải nhân hoặc chia hai vế của phương trình trong hệ với biểu thức nào đó của biến ta 
được hệ mới dễ dàng nhìn ra ẩn phụ. 
2. Bài tập ví dụ. 
 2 1
 xy 2 10
 2
 2xy 
Câu 1: Giải hệ phương trình . 
 xy 2
 3
 2xy 
 Lời giải 
 Điều kiện: 20xy . 
 u x2 y
 uv22 10
 Đặt 1 . Khi đó hệ đã cho trở thành: . 
 v uv 3
 2xy 
 uv 1; 3
 uv 3; 1
 Đây là hệ đối xứng loại I, giải hệ ta được . 
 uv 1; 3
 uv 3; 1
 5
 x2 y x 3 y xy 2 xy (1)
 4
Câu 3. Giải hệ phương trình 
 5
 x42 y xy(1 2 x ) 2 
 4
 Lời giải 
 5
 Nhận xét: 2 có dạng ()x22 y xy nên ta biến đổi 1 có chứa ()xy22 ; xy rồi dùng ẩn 
 4
 phụ. 
 5
 x22 y xy(x y 1) 
 4 xy v
 Hệ phương trình đã cho tương đương với ()I Đặt: 
 5 x2 y u
 x22 y) xy 
 4
 u 0
 5
 552 v 
 u v( u 1) v u 4
 44 
 Hệ I trở thành 1 
 25 3 2 u u 
 u v u u 0 2
 44 
 3
 v 
 2
 5
 u 0 5 x 3
 xy 4
 TH1: 5 ta có 4 . 
 v 2 25
 4 xy 0 y 3
 16
 1 3
 u xy 2xx3 3 0 x 1
 2 2 
 TH2: ta có 3 3. 
 3 2 1 xy y 
 v xy 2 2
 2 2
 3 5 25 
 Nghiệm của hệ phương trình 3 3 
 (xy ; )  1; ; ; 
 2 4 16  
 32 88
 x 3 x 13 x 15 3 
Câu 4. Giải hệ phương trình yy 
 2 2 2
 y 4 5 y ( x 2 x 2). (2)
 Lời giải 
 Điều kiện: y 0. 
 3
 x y y 5
Câu 2. Giải hệ phương trình .
 3 22
 3 x y 22 xy 21 11 x 12 y
 HD: Đặt x y t . Hệ đã cho theo ẩn ty, . Kết quả xy; 1;1 
 2 81x3 y 2 81 x 2 y 2 33 xy 2 29 y 2 4
Câu 3. Giải hệ phương trình .
 3 2 3 3 2
 25y 9 x y 6 xy 4 y 24
 HD: Chia hai vế phương trình 1 cho y 2 , phương trình cho y 3 . 
 2
 b
 Đặt ẩn phụ y xy; 1;1 là nghiệm của hệ. 
 31xa 
 22
 xy 1 1 10
Câu 4. Giải hệ phương trình 
 x y xy 13 
 Lời giải 
 22 22
 xy 1 1 10 x y xy 1 10
 Có 
 x y xy 13 x y xy 13 
 Đặt x y u; xy 1 v , hệ trở trành 
 uv 4
 2 uv 4 
 uv22 10 uv 16 uv 3
 uv 4 
 uv 3 uv 3 uv 4
 uv 3 
 uv 3
 u 3
 uv 4 v 1
 + TH 1: 
 uv 3 u 1
 v 3
 x 2
 u 3 x y 33 x y y 1
 Với thì 
 v 1 xy 1 1 xy 2 x 1
 y 2
 22
 x y x y 1
+) xyxyxyxyxy4 4 2 2 2 2 uvuv 2 2 
 22
 2
 22 4 2 2 4
 22 uv 16u u v v
+) x4 y 4 x 2 y 2 2 x 2 y 2 u 2 v 2 
 4 8 8
 u mx ny
Tổng quát ta đặt: với m,,, n p q 
 v px qy
3. Bài tập ví dụ. 
 x22 y xy x y
Câu 1. Giải hệ phương trình 22 
 xy 3
 Lời giải 
 2
 x22 y xy x y x y 3 xy x y
 Ta có: 
 22
 xy 3 x y x y 3
 uv
 x 
 u x y 2 uv22 
 Đặt: xy 
 v x y u v 4
 y 
 2
 Khi đó hệ phương trình trở thành: 
 uv22 u22 3 v 4 u 0
 uu2 3.
 4 3 ( vì u 0 không thỏa mãn hệ phương 
 v 
 uv.3 u
 trình ) 
 27 2 2 u 30 
 uu2 40 uu43 3 27 0 u 3 u 2 u 3 0
 2 2
 u uu 2 3 0
 3 3 
 3 v v 3
 v u u v 
 u u
 u 3 x y 3 x 2
 v 1 x y 1 y 1
 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất xy; 2;1 
 22
 xy 31
Câu 2. Giải hệ phương trình 3 
 x y x
 Lời giải