Chuyên đề Giải bài toán tọa độ hóa hình học không gian có liên quan đến phương trình đường thẳng - Hình học 12

 DẠNG 8: BÀI TOÁN TỌA ĐỘ HÓA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CÓ LIÊN 
 QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
 Ví DỤ 1 
 Ví 
 Cho hình chóp S. ABCD , có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA a.Gọi M là 
 trung điểm SD . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và MC . 
 Lời giải 
 aa
+) Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, ta có : A 0;0;0, M 0; ; , C a ;;0, a D 0;;0, a 
 22 
 aa 2
AD a 0;1;0 , MC 2;1; 1 , AD , MC 1;0;2 
 22 
+) Gọi ()P là mặt phẳng chứa AD và song song với MC . 
 Khi đó vecto pháp tuyến của là n 1;0;2 P : x 2 z 0 
 a 5
+) dADMC , d ( PMC ), dCP ;( ) 
 5
 Ví DỤ 2 
 Ví 
 Cho hình chóp S. ABC , có đáy là tam giác vuông cân tại A , mặt bên SBC là tam giác đều cạnh 
 nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC . 
 Lời giải 
 aa31
+) Gọi H là trung điểm BC SH , AH BC 
 2 2 2
 a a a3 a 
+) Dựng hệ trục Oxyz như hình vẽ, HBASC 0;0;0, ;0;0, 0; ;0, 0;0; , ;0;0 
 2 2 2 2 
 aa2
SA 0;1; 3 , BC a 1;0;0 , SA , BC 0; 3;1 
 22 
+) Gọi P là mặt phẳng chứa BC và song song với SA , VTPT của P là n 0; 3;1 
1 
 a3 2
 AM,. B' C AC
 ' a 7
Do đó khoảng cách giữa AM và BC' là: d AM, B C 2 . 
 2
 AM, B' C a 7 7
 2
 Ví dụ 5 
 Cho tứ diện OABC , có đáy OBC là tam giác vuông tại O , OB a, OC a 3, a 0 và đường cao 
 OA a 3 . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và OM . 
 Lời giải 
 z
 A
 O
 C y
 M
 B
 x 
 Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. 
 aa3
 O0;0;0, A 0;0; a 3, B a ;0;0, C 0; a 3;0, M ; ;0
 Ta có 
 22
 AB a;0; a 3 cùng phương với u 1;0; 3 
 aa3
 OM ; ;0 v 1; 3;0
 cùng phương với 
 22
 uv. 1
 Do đó cos AB , OM . 
 uv 4
 1
 Vậy góc giữa và là góc ,(000 90 ) thỏa mãn: cos . 
 4
 Ví dụ 6 
 a a 3
 Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA , SB , BAD 600 và mặt phẳng 
 2 2
 SAB vuông góc với đáy. Gọi HK, lần lượt là trung điểm của AB và BC . Tính cosin của góc hợp bởi 
 hai đường thẳng SH và DK . 
 Lời giải 
3 
 z 
 A 
 D 
 B N 
 C 
 A’ 
 D’ y 
 O 
 B’ 
 C’ 
 M 
 x 
Đặt AA a . Ta có: 
 2a a
Aa(0;0; ) B( a ;0; a ) , Ma( ; ;0) , N(;;) a a 
 3 3
 22aa 
Suy ra: AM a; ; a , A ' C ; a ; 0 
 33 
 2a 2a
 AM.BN a.( ) .a ( a).0 0 
 3 3
 AM  BN 
Vậy góc giữa hai đường thẳng AM và BN là 900 . 
 Ví dụ 8 
 Ví 
 Cho hình lập phương ABCD. A B C D cạnh bằng a . Tìm góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng 
 ()A BD . 
 Lời giải 
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ (OA ). 
 z
 A' D'
 B' C'
 D
 y
 A=O
 x
 B C
Khi đó ta có: A(0;0;0) Ba( ;0;0) , Da(0; ;0) , Aa (0;0; ) ,Ca (0;0; ) 
 x y z
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng(A'BD): 10 z y z a . 
 a a a
Ta có: n A' BC 1;1;1 và AC'(;;) a a a cùng phương suy ra AC  () A BD . 
Vậy góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng là . 
 Ví DỤ 9
5 
 Cho hình lăng trụ ABC. A B C , có đáy là tam giác đều cạnh a , điểm O là tâm của đa giác đáy. Hình 
 chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của OB . Biết góc giữa hai mặt 
 phẳng A BC và ABC bằng 60 . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng AA và BC . 
 Lời giải 
 a 3
Ta có tam giác ABC đều cạnh a , có tâm O nên ta có OB . 
 3
 HM BC
Gọi NM, lần lượt là trung điểm của BC và NB . Khi đó ta có suy ra góc giữa hai mặt 
 A M BC
phẳng và chính là góc A MH 60 . 
 13a 13a
Xét ABC ta có ON AN , trong tam giác ONB ta có HM ON . 
 36 2 12
 a
Xét tam giác A HM ta có A H HM.tan 60 . 
 4
 a aa3
Dựng hệ trục Qxyz như hình vẽ khi đó ta có tọa độ các điểm là A ;0;0 , A 0; ; , 
 2 34
 a 3 a
B 0; ;0 , C ;0;0 . 
 2 2
Ta có 
 a a3 a aa33
AA ;; 2 3;4; 3 .u1 . 
 234 12 12
 aa3 aa
 1; 3;0 u
BC ; ;0 2 . 
 22 22
 uu. 3 3
 12 
Vậy cos uu12 , , suy ra góc giữa hai đường thẳng AA, BC arccos . 
 uu12. 31 31
7