Chuyên đề Giải bài toán max-min liên quan đến đường thẳng - Hình học 12

 DẠNG 6: BÀI TOÁN MAX – MIN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG 
 Ví DỤ 1 
 Ví 
 Viết phương trình đường thẳng a đi qua M 4; 2; 1 , song song với mặt phẳng
 ( ) : 3x 4 y z 12 0 và cách A 2; 5; 0 một khoảng lớn nhất? 
 Lời giải 
AM 6; 7;1 , vectơ pháp tuyến của là n (3; 4;1). 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên a . 
d A; a AH AM 86 d A; a lớn nhất khi HM . 
Khi đó a là đường thẳng đi qua M , song song với và vuông góc với AM . 
 un
Gọi u là vectơ chỉ phương của a u AM, n 3; 3; 3 3 1;1;1 . 
 u AM
 xt 4
Đường thẳng đi qua có vectơ chỉ phương u1 1;1;1 có phương trình: yt 2 
 zt 1
 Ví DỤ 2 
 Ví 
 x 21 y z
 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : và điểm A 2;1;2 . Viết phương 
 1 2 1
 trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách giữa d và là lớn nhất? 
 Lời giải 
Gọi P là mặt phẳng qua A, vuông góc với d P : x 2 y z 2 0 . Suy ra  P 
Gọi I d  P I 1;1;1 , H là hình chiếu vuông góc của I lên . 
Ta có d d; IH IA . Dấu bằng xảy ra khi HA . 
d có VTCP ud 1;2;1 , IA 1;0;1 
Vậy maxd d , IA khi có 1 VTCP là u u, IA (2;2; 2) 
 d
1 
+) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là ud 2;2; 1 
Gọi P là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d . 
 P có một vectơ pháp tuyến là nu P d 2;2; 1 P : 2 x 2 y z 9 0 . 
+) Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm A trên P . 
 xt 12
-) AK: y 2 2 t , t . 
 zt 3 
-) K AK P nên tọa độ điểm K thỏa mãn hệ phương trình:
 x 1 2 t t 2
 y 2 2 t x 3
 K 3; 2; 1 . 
 z 32 t y 
 2x 2 y z 9 0 z 1
+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng . 
Ta có d A, AH AK nên dA , bé nhất khi đi qua hai điểm M 2; 2;1 và 
K 3; 2; 1 . Khi đó đường thẳng có một vectơ chỉ phương u 1;0;2 và phương trình tham 
 xs 2 
số của đường thẳng là : ys 2 , . 
 zs 12
 Ví DỤ 5 
 Ví 
 x 12 y z
 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : và 
 1 2 1 1
 x 1 y 2 z 2
 d : . Gọi là đường thẳng song song với P : x y z 7 0 và cắt dd12, 
 2 1 3 2
 lần lượt tại hai điểm AB, sao cho AB ngắn nhất. Viết phương trình tham số của đường thẳng . 
 Lời giải 
+) Vì A d1 A 1 2 a ; a ; 2 a 
 B d B1 b ; 2 3 b ;2 2 b 
 2 
 có một vectơ chỉ phương là AB b 2 a ;3 b a 2; 2 b a 4 . 
 P có một vectơ pháp tuyến là n P 1;1;1 . 
3 
 2
Ta có u, MN 8;5;2 và AM 1 m ;5;1 m 
 2
 u,. MN AM 2mm 8 19 11
Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng , MN thì d 
 93 93
 u, MN
. 
 1 1 15 11 31 55
Do đó V HK. MN . d .sin . . 53. . . 
 HKMN 6 66 93 106 12
Dấu bằng xảy ra khi m 2 . 
5