Chuyên đề Giải bài toán chứa căn - Toán 9

 “Giải bài toán chứa căn” 
 MỤC LỤC 
PHÂN DẠNG TOÁN CHỨA CĂN ...................................................................................... 4 
A. TÌM HIỂU VỀ CĂN BẬC HAI. ........................................................................................ 4 
B. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC XÁC ĐỊNH (CÓ NGHĨA, TỒN TẠI) ..................... 5 
C. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN ............................................... 7 
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ. .................................................................... 7 
 I.1: Loại 1: Dạng chứa căn số học đơn giản. ....................................................................... 7 
 I.2: Loại 2: Dạng “biểu thức số trong căn” tiềm ẩn “là hằng đẳng thức” ......................... 10 
 I.3: Loại 3: Dạng sử dụng biểu thức liên hợp, trục căn thức, quy đồng ........................ 12 
 I.4: Loại 4: Chứng minh đẳng thức số. ............................................................................. 15 
 I.5: Loại 5: Chứng minh bất đẳng thức ............................................................................. 17 
 I.6: Loại 6: Căn bậc ba. ..................................................................................................... 18 
DẠNG 2: CÁC DẠNG TOÁN CĂN CHỨA CHỮ (CHỨA ẨN) ....................................... 20 
 II.1. DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ......................................... 20 
  Loại 1: Phương trình trong căn có thể viết dưới dạng bình phương của một biểu 
 thức. ................................................................................................................................... 20 
  Loại 2: Phương trình dạng f()() x g x ........................................................... 20 
  Loại 3: Phương trình chứa biểu thức dưới dấu căn không viết được dưới dạng bình 
 phương (trong phương trình chỉ chứa một căn thức ) ...................................................... 21 
  Loại 4: Phương trình chứa nhiều căn thức, các căn thức có thể đưa về dạng giống 
 nhau. .................................................................................................................................. 23 
  Loại 5: Phương trình chứa các căn khác nhau, biểu thức trong căn không viết được 
 dưới dạng bình phương. .................................................................................................... 23 
  Loại 6: Quy về phương trình bậc hai bằng phương pháp đặt ẩn phụ. ..................... 24 
 Loại 7: Phương trình chứa căn mà biểu thức trong căn ở dạng thương hoặc dạng 
 tích ..................................................................................................................................... 25 
  Loại 8: Giải các phương trình căn bậc ba ............................................................... 26 
II.2 DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN ................................................ 28 
 Loại 1: Sử dụng các Hằng đẳng thức ............................................................................... 28 
 Loại 2: Sử dụng phương pháp quy đồng: .......................................................................... 29 
 Loại 3: Làm xuất hiện nhân tử chung rồi đơn giản biểu thức chứa căn sau đó quy đồng.
 ........................................................................................................................................... 31 
II. 3. DẠNG TOÁN CHỨA CĂN VÀ BÀI TOÁN PHỤ ................................................... 34 
 Trang 1 “Giải bài toán chứa căn” 
 KIẾN THỨC LÝ THUYẾT 
1. KIẾN THỨC QUAN TRỌNG CẦN NHỚ. 
 A.M A
 a, Tính chất về phân số (phân thức: (M 0, B 0) 
 B.M B
 b, Các hằng đẳng thức đáng nhớ: 
 A B 2 A22 2 AB B 
 A B 2 A22 2 AB B 
 ABABAB22 
 A B 3 A3 3 A 2 B 3 AB 2 B 3 
 A B 3 A3 3 A 2 B 3 AB 2 B 3 
 A3 B 3 A B A 2 AB B 2 
 A3 B 3 A B A 2 AB B 2 
2, CÁC KIẾN THỨC VỀ CĂN BẬC HAI 
 2 A AB
1) Nếu a ≥ 0, x ≥ 0, a = x  x = a 9) (với A, B 0 và B 0 ) 
 B B
2) Để A có nghĩa thì A ≥ 0 
 A A B
3) A2 A 10) (với B > 0 ) 
 B B
4) AB A. B ( với A 0 và B 0 ) CCAB()
 11) 
 A A AB AB 2
5) ( với A 0 và B > 0 ) 
 B B (với A 0 và A B2 ) 
6) A2 B A B (với B 0 ) CCAB()
 12) 
 AB AB 
7) A B A2 B ( với A 0 và B 0 
 (với A 0, B 0 và A B ) 
 A B A2 B ( với A < 0 và B 0 ) 
 Trang 3 “Giải bài toán chứa căn” 
B. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC XÁC ĐỊNH (CÓ NGHĨA, TỒN TẠI) 
 I. LÍ THUYẾT 
1. Căn thức bậc hai: 
  Nếu A là một biểu thức đại số thì A gọi là căn thức bậc hai của A. 
 A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn. 
  các định (có nghĩa) khi A 0 
  Chú ý: 
 a) Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức: 
 . A(x) là một đa thức A(x) luôn có nghĩa. 
 A( x )
 . có nghĩa B(x) 0 
 B( x )
 A()() x C x
 . : có nghĩa khi B() x 0; C() x 0; D () x 0 
 B()() x D x
 A()() x C x
 . : có nghĩa khi A() x 0; B () x 0; C() x 0; D () x 0 
 B()() x D x
 . A( x ) có nghĩa A(x) 0 
 1
 . có nghĩa A(x) > 0 
 A( x )
 b) Với M > 0, ta có: 
 . XMXMMXM22 
 . XMXMXM22 hoặc XM 
2. Hằng đẳng thức (A)A2 
 a khi a 0
  Định lí: Với mọi số a, ta có: aa2 
 a khi a 0
  Chú ý: Tổng quát, với A là một biểu thức đại số, ta cũng có: 
 A khi A 0
 AA2 
 A khi A 0 
 II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa: 
 a) 3x b) 4 2x c) 32x 
 d) 31x e) 92x f) 61x 
 2 1 2 1
ĐS: a) x 0 b) x 2 c) x d) x e) x f) x 
 3 3 9 6
Bài 2. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa: 
 x x x
 a) x 2 b) x 2 c) x 2 
 x 2 x 2 x2 4
 Trang 5 “Giải bài toán chứa căn” 
 C. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN 
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ. 
I.1: Loại 1: Dạng chứa căn số học đơn giản. 
 2 A neáu A 0
1. Phương pháp: AA 
 A neáu A 0
Chú ý: Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. 
 Dễ dàng đặt thừa số chung. 
 Khai phương một tích: ABABAB. . ( 0, 0) 
 Nhân các căn bậc hai: ABABAB. . ( 0, 0) 
 AA
 Khai phương một thương: (AB 0, 0) 
 B B
 AA
 Chia hai căn bậc hai: (AB 0, 0) 
 B B
 Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì ABAB2 + Với A < 0 và B ≥ 0 thì ABAB2 
 Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì ABAB 2 + Với A < 0 và B ≥ 0 thì ABAB 2 
2. Ví dụ minh hoạ: 
Bài tập 1: Rút gọn M 45 245 80 
Giải 
 M 45 245 80
 32 .5 7 2 .5 4 2 .5
 3 5 7 5 4 5 6 5 
Bài tập 2: Không sử dụng máy tính. Tính giá trị của biểu thức: A 2015 36 25 
Giải 
Có A 2017 36 25 = 2017 6–5 2018 
Bài tập 3: Rút gọn biểu thức : A 5 8 50 2 18 
Giải 
=5.2 2 5 2 2.3 2 10 2 5 2 6 2 (10 5 6) 2 9 2 
 Trang 7 “Giải bài toán chứa căn” 
 9 25 9
 4. a) b) c) 1 
 169 144 16
 7
 d) 2 e) 0,0025 f) 3,6.16,9 
 81
 2 15
 5. a) b) c) 12500 
 18 735 500
 5 ,
 d) 6 e) 2300 f) 12 5 
 23.35 23 0,5
 9 4 1652 1242
 6. a) 1 .5 .0,01 b) 
 16 9 164
 1492 762
 c) d) 1,44.1,21 1,44.0,4 
 4572 3842
 7. a) 2 12 3 27 5 3 b) 32 50 8
 3 2 
Bài tập 2: Thực hiện các phép tính sau: 
 2
 2 6
 a) 0,8 ( 0,125) b) ( 2) c) 32 
 2
 2 11 2
 d) 2 2 3 e) f) 0,1 0,1 
 2 2
 ĐS: a) 0,1 b) 8 c) 23 
 11
 d) 3 2 2 e) f) 0,1 0,1 
 2 2
Bài tập 3: Thực hiện các phép tính sau:
 22 22
 a) 3 2 2 3 2 2 b) 5 2 6 5 2 6 
 22 22
 c) 2 3 1 3 d) 3 2 1 2 
 22 22
 e) 5 2 5 2 f) 2 1 2 5 
 ĐS: a) 6 b) 46 c) 1 d) 4 e) 25 f) 2 2 4 
 Trang 9