Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 CHUYấN ĐỀ IX: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG 
 TRèNH, 
 HỆ PHƯƠNG TRèNH.
A) TểM TẮT Lớ THUYẾT
Bước 1: Lập phương trỡnh hoặc hệ phương trỡnh:
 a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
 b) Biểu diễn cỏc đại lượng chưa biết thụng qua ẩn và cỏc địa lượng 
đó biết.
 c) Lập phương trỡnh biểu thị mối quan hệ giữa cỏc đại lượng.
Bước 2: Giải phương trỡnh.
Bước 3: Đối chiếu nghiệm của pt, hệ phương trỡnh (nếu cú) với điều kiện của ẩn 
số để trả lời.
Chỳ ý: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà ta cú thể lập phương trỡnh bậc nhất một 
ẩn, hệ phương trỡnh hay phương trỡnh bậc hai.
Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung bài toỏn và những kiến thức thực 
tế....
B) CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Toỏn về quan hệ cỏc số.
 Những kiến thức cần nhớ: 
+ Biểu diễn số cú hai chữ số: ab 10a b ( với 0<a 9; 0 b 9;a,b N)
+ Biểu diễn số cú ba chữ số: 
 abc 100a 10b c ( với 0<a 9; 0 b,c 9;a,b,c N)
+ Tổng hai số x; y là: x + y
+ Tổng bỡnh phương hai số x, y là: x2 + y2
+ Bỡnh phương của tổng hai số x, y là: (x + y)2 
 1 1
+ Tổng nghịch đảo hai số x, y là: .
 x y
Vớ dụ 1: Một số của một phõn số lớn hơn tử số của nú là 3 đơn vị. Nếu tăng 
 1
cả tử và mẫu của nú thờm 1 đơn vị thỡ được một phõn số mới bằng phõn 
 2
số đó cho. Tỡm phõn số đú?
Giải: 
 Gọi tử số của phõn số đú là x (đk: x 3 )
 Mẫu số của phõn số đú là x + 3.
Nếu tăng cả tử và mẫu thờm 1 đơn vị thỡ:
 Tử số là x + 1
 Mẫu số là x + 3 + 1 = x + 4
 1 x 1 1
Được phõn số mới bằng ta cú phương trỡnh .
 2 x 4 2 Bài tập: 
Bài 1: Đem một số nhõn với 3 rồi trừ đi 7 thỡ được 50. Hỏi số đú là bao 
nhiờu?
 2
Bài 2: Tổng hai số bằng 51. Tỡm hai số đú biết rằng số thứ nhất thỡ bằng 
 5
 1
 số thứ hai.
 6
Bài 3: Tỡm một số tự nhiờn cú hai chữ số, biết tổng cỏc chữ số của nú là 7. 
Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng đơn vị và hàng chụccho nhau thỡ số đú giảm 
đi 45 đơn vị.
Bài 4: Tỡm hai số hơn kộm nhau 5 đơn vị và tớch của chỳng bằng 150.
Bài 5: Tỡm số tự nhiờn cú 2 chữ số, biết rằng số đú bằng lập phương của 
số tạo bởi chữ số hàng vạn và chữ số hàng nghỡn của số đó cho theo thứ tự 
đú.
ĐÁP SỐ:
Bài 1: Số đú là 19;
Bài 2: Hai số đú là 15 và 36
Bài 3: Số đú là 61
Bài 4: Hai số đú là 10 và 15 hoặc -10 và -15;
Bài 5: Số đú là 32.
Tiết 2:
Dạng 2: Toỏn chuyển động
Những kiến thức cần nhớ:
 Nếu gọi quảng đường là S; Vận tốc là v; thời gian là t thỡ:
 s s
S = v. t ; v ; t .
 t v
Gọi vận tốc thực của ca nụ là v 1 vận tốc dũng nước là v 2 tỡ vận tốc ca nụ 
khi xuụi dũng nước là 
v = v1 + v2. Võn tốc ca nụ khi ngược dũng là v = v1 - v2
Vớ dụ 1: Xe mỏy thứ nhất đi trờn quảng đường từ Hà Nội về Thỏi Bỡnh hết 3 giờ 
20 phỳt. Xe mỏy thứ hai đi hết 3 giờ 40 phỳt. Mỗi giờ xe mỏy thứ nhất đi nhanh hơn 
xe mỏy thứ hai 3 km.
Tớnh vận tốc của mỗi xe mỏy và quảng đường từ Hà Nội đến Thỏi Bỡnh?
Giải: 
Gọi vận tốc x thứ nhất là x (km/h), đk: x>3; 
Vận tốc của xe tứ hai là x - 3 (km/h).
 10 10
Trong 3 giờ 20 phỳt (= giờ) xe mỏy thứ nhất đi được x(km)
 3 3
 11 11
Trong 3 giờ 40 phỳt (= giờ) xe mỏy thứ nhất đi được (x 3)(km)
 3 3
Đú là quảng đường tứ Hà nội đến Thỏi Bỡnh nờn ta cú phương trỡnh Vận tốc lỳc sau của ụ tụ là x+10 (km/h).
Thời gian ụ tụ đi hết quảng đường đầu là 240 (giờ)
 x
Thời gian ụ tụ đi hết quảng đường đầu là 280 (giờ)
 x 10
Vỡ thời gian ụ tụ đi hết quảng đường là 8 giờ nờn ta cú phương trỡnh
 240 280
 8 x2 55x 300 0
 x x 10
 b2 4ac ( 55)2 4.( 300) 4225 0 4225 65
 55 65 55 65
Phương trỡnh cú hai nghiệm x 60(TMDK);x 5(loai)
 1 2 2 2
Vậy vận tốc ban đầu của ụ tụ là 60 km/h.
Bài tập: 
1. Một ụ tụ khởi hành từ A với vận tốc 50 km/h. Qua 1 giờ 15 phỳt ụ tụ thứ 
hai cũng khởi hành từ A đi cựng hướng với ụ tụ thứ nhất với vận tốc 40 
km/h. Hỏi sau mấy giờ thỡ ụ tụ gặp nhau, điểm gặp nhau cỏch A bao nhiờu 
km?
2. Một ca nụ xuụi dũng 50 km rồi ngược dũng 30 km. Biết thời gian đi xuụi 
dũng lõu hơn thời gian ngược dũng là 30 phỳt và vận tốc đi xuụi dũng lớn 
hơn vận tốc đi ngược dũng là 5 km/h.
Tớnh vận tốc lỳc đi xuụi dũng?
 3. Hai ụ tụ cựng khởi hành cựng một lỳc từ A đến B cỏch nhau 150 
km. Biết vận tốc ụ tụ thứ nhất lớn hơn vận tốc ụ tụ thứ hai là 10 km/h và ụ 
tụ thứ nhất đến B trước ụ tụ thứ hai là 30 phỳt. Tớnh võnl tốc của mỗi ụ tụ.
 4. Một chiếc thuyền đi trờn dũng sụng dài 50 km. Tổng thời gian 
xuụi dũng và ngược dũng là 4 giờ 10 phỳt. Tớnh vận tốc thực của thuyền 
biết rằng một chiếc bố thả nổi phải mất 10 giờ mới xuụi hết dũng sụng.
 5. Một người đi xe đạp từ A đến B cỏch nhau 108 km. Cựng lỳc đú 
một ụ tụ khởi hành từ B đến A với vận tốc hơn vận tốc xe đạp là 18 km/h. 
Sau khi hai xe gặp nhau xe đạp phải đi mất 4 giờ nữa mới tới B. Tớnh vận 
tốc của mỗi xe?
 6. Một ca nụ xuụi dũng từ A đến B cỏch nhau 100 km. Cựng lỳc đú 
một bố nứa trụi tự do từ A đến B. Ca nụ đến B thỡ quay lại A ngay, thời 
gian cả xuụi dũng và ngược dũng hết 15 giờ. Trờn đường ca nụ ngược về 
A thỡ gặp bố nứa tại một điểm cỏch A là 50 km. Tỡm vận tốc riờng của ca 
nụ và vận tốc của dũng nước?
 Đỏp ỏn:
 3
1. 4 (giờ)
 8
2. 20 km/h
3. Vận tốc của ụ tụ thứ nhất 60 km/h. Vận tốc của ụ tụ thứ hai là 50 km/h.
4. 25 km/h Vớ dụ 2: 
 Hai thợ cựng đào một con mương thỡ sau 2giờ 55 phỳt thỡ xong việc. 
Nếu họ làm riờng thỡ đội 1 hoàn thành cụng việc nhanh hơn đội 2 là 2 giờ. 
Hỏi nếu làm riờng thỡ mỗi đội phải làm trong bao nhiờu giờ thỡ xong cụng 
việc?
 Giải:
Gọi thời gian đội 1 làm một mỡnh xong cụng việc là x (x > 0; giờ)
Gọi thời gian đội 2 làm một mỡnh xong cụng việc là x + 2 (giờ)
 1
Mỗi giờ đội 1 làm được công việc
 x
 1
Mỗi giờ đội 2 làm được công việc
 x 2
 11 35
Vỡ cả hai đội thỡ sau 2 giờ 55 phỳt = 2 (giờ) xong. 
 12 12
Trong 1 giờ cả hai đội làm được 12 cụng việc
 35
 1 1 12
Theo bài ra ta cú phương trỡnh 35x 70 35 12x2 24x
 x x 2 35
 12x2 46x 70 0 6x2 23x 35 0
Ta cú
 ( 23)2 4.6.( 35) 529 840 1369 0 1369 37
 23 37 23 37
 Vậy phương trình có hai nghiệm x 5(thoa mãn); x 2(loại)
 1 12 2 12
Vậy đội thứ nhất hoàn thành cụng việc trong 5 giờ. Đội hai hoàn thành cụng việc 
trong 7 giờ.
 Chỳ ý: 
 + Nếu cú hai đối tượng cựng làm một cụng việc nếu biết thời gian 
của đại lượng này hơn, kộm đại lượng kia ta nờn chọn một ẩn và đưa về 
phương trỡnh bậc hai.
 + Nếu thời gian của hai đại lượng này khụng phụ thuộc vào nhau ta 
nờn chọn hai ẩn làm thời gian của hai đội rồi đưa về dạng hệ phương trỡnh 
để giải.
Vớ dụ 3: 
 Hai người thợ cựng sơn cửa cho một ngụi nhà thỡ 2 ngày xong việc. 
Nếu người thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ người thứ hai làm tiếp trong 
1 ngày nữa thỡ xong việc. Hỏi mỗi người làm một mỡnh thỡ bao lõu xong 
cụng việc?
Giải:
Gọi thời gian để một mỡnh người thứ nhất hoàn thành cụng việc là x (x > 
2; ngày)
Gọi thời gian để một mỡnh người thứ hai hoàn thành cụng việc là y (x > 2; 
ngày). Tiết 4:
Dạng 4: Toỏn cú nội dung hỡnh học:
 Kiến thức cần nhớ: 
 - Diện tớch hỡnh chữ nhật S = x.y (x là chiều rộng; y là chiều dài)
 1
 - Diện tớch tam giỏc S x.y (x là chiều cao, y là cạnh đỏy tương 
 2
ứng)
 - Độ dài cạnh huyền: c2 = a2 + b2 (c là cạnh huyền; a, b là cỏc cạnh 
gúc vuụng)
 - Số đường chộo của một đa giỏc n(n 3) (n là số đỉnh)
 2
Vớ dụ 1: Tớnh cỏc kớch thước của hỡnh chữ nhật cú diện tớch 40 cm 2, biết 
rằng nếu tăng mỗi kớch thước thờm 3 cm thỡ diện tớch tăng thờm 48 cm2.
Giải: 
 Gọi cỏc kớch thước của hỡnh chữ nhật lần lượt là x và y (cm; x, y > 0).
Diện tớch hỡnh chữ nhật lỳc đầu là x.y (cm2). Theo bài ra ta cú pt x.y = 40 
(1)
Khi tăng mỗi chiều thờm 3 cm thỡ diện tớch hỡnh chữ nhật là. Theo bài ra ta 
cú pt 
(x + 3)(y + 3) – xy = 48  3x + 3y + 9 = 48 x + y = 13(2) 
Từ (1) và (2) suy ra x và y là nghiệm của pt X2 – 13 X + 40 = 0
Ta cú ( 13)2 4.40 9 0 3
 13 3 13 3
Phương trỡnh cú hai nghiệm X 8;X 5
 1 2 2 2
Vậy cỏc kớch thước của hỡnh chữ nhật là 5 (cm) và 8 (cm)
Vớ dụ 2: Cạnh huyền của một tam giỏc vuụng bằng 5 m. Hai cạnh gúc 
vuụng hơn kộm nhau 1m. Tớnh cỏc cạnh gúc vuụng của tam giỏc?
Giải: 
 Gọi cạnh gúc vuụng thứ nhất là x (m) (5 > x > 0)
 Cạnh gúc vuụng thứ hai là x + 1 (m)
Vỡ cạnh huyền bằng 5m nờn theo định lý pi – ta – go ta cú phương trỡnh 
x2 + (x + 1)2 = 52 2x2 2x 24 x2 x 12 0
 12 4.( 12) 49 7
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt
 1 7 1 7
 x 3 (thoả mãn); x 4(loại)
 1 2 2 2
Vậy kớch thước cỏc cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng là 3 m và 4 m.
Bài tõp: 
Bài 1: Một hỡnh chữ nhật cú đường chộo bằng 13 m, chiều dài hơn chiều 
rộng 7 m. Tớnh diện tớch hỡnh chữ nhật đú?