Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình - Bồi dưỡng HSG môn Toán 9

 Chủ đề 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ 
 PHƯƠNG TRÌNH
Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ta thường thực 
hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn ẩn số (nêu đơn vị của ẩn và đặt điều kiện nếu cần).
Bước 2: Tính các đại lượng trong bài toán theo giả thiết và ẩn số, từ đó lập 
phương trình hoặc hệ phương trình.
Bước 3: Giải phương trình hoặc hệ phương trình vừa lập.
Bước 4: Đối chiếu với điều kiện và trả lời.
CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG:
Kiến thức cần nhớ:
+ Quãng đường = Vận tốc . Thời gian.
+ Vận tốc tỷ lệ nghịch với thời gian và tỷ lệ thuận với quãng đường đi được:
+ Nếu hai xe đi ngược chiều nhau khi gặp nhau lần đầu: Thời gian hai xe đi 
được là như nhau, Tổng quãng đường 2 xe đi được bằng đúng quãng đường 
cần đi của 2 xe.
+ Nếu hai phương tiện chuyển động cùng chiều từ hai địa điểm khác nhau là 
A và B, xe từ A chuyển động nhanh hơn xe từ B thì khi xe từ A đuổi kịp xe 
từ B ta luôn có hiệu quãng đường đi được của xe từ A với quãng đường đi 
được của xe từ B bằng quãng đường AB
+ Đối với (Ca nô, tàu xuồng) chuyển động trên dòng nước: Ta cần chú ý: 
Khi đi xuôi dòng: Vận tốc ca nô= Vận tốc riêng + Vận tốc dòng nước.
Khi đi ngược dòng: Vận tốc ca nô= Vận tốc riêng - Vận tốc dòng nước. Gọi vận tốc xe máy là x (km/h) Điều kiện x 0 .
Gọi vận tốc ô tô là y (k,/h). Điều kiện y 0.
 210
Thời gian xe máy dự định đi từ A đến B là: giờ. Thời gian ô tô dự 
 x
 210
định đi từ B đến A là: giờ. 
 y
Quãng đường xe máy đi được kể từ khi gặp ô tô cho đến khi đến B là : 4x 
(km).
Quãng đường ô tô đi được kể từ khi gặp xe máy cho đến khi đến A là : 
 210 210 9
 4 
9 x y 4
 y (km). Theo giả thiết ta có hệ phương trình: 
4 9
 x 2y 210
 4
 9 9
 210 210 7 4x y 4x y 1 
 4 4 7
 x y 4 
 x y 4 . Từ phương trình (1) ta 
 9
 4x y 210 9
 4 4x y 210 2
 4 
 9 9
 4x y 4x y
 7 9y 4x 3
suy ra 4 4 0 x y . Thay vào phương 
 x y 4 4x y 4
 12 9
trình (2) ta thu được: y y 210 y 40 , x 30 .
 4 4
Vậy vận tốc xe máy là 30 km/h. Vận tốc ô tô là 40 km/h.
Ví dụ 3: Quãng đường AB dài 120 km. lúc 7h sang một xe máy đi từ A đến 
 3
B. Đi được xe bị hỏng phải dừng lại 10 phút để sửa rồi đi tiếp với vận tốc 
 4
kém vận tốc lúc đầu 10km/h. Biết xe máy đến B lúc 11h40 phút trưa cùng 
 3
ngày. Giả sử vận tốc xe máy trên quãng đường đầu không đổi và vận tốc 
 4 Ca nô xuôi dòng đi với vận tốc x y (km/h). Đi đoạn đường 78 km nên 
 78
thời gian đi là (giờ).
 x y
Ca nô đi ngược dòng với vận tốc x y (km/h). Đi đoạn đường 44 km nên 
 44
thời gian đi là (giờ).
 x y
Tổng thời gian xuôi dòng là 78 km và ngược dòng là 44 km mất 5 giờ nên ta 
 78 44
có phương trình: 5 (1).
 x y x y
Ca nô xuôi dòng 13 km và ngược dòng 11 km nên ta có phương trình:
 13 11
 1 (2)
x y x y
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
 78 44
 5
 x y x y x y 26 x 24
 .
 13 11 x y 22 y 2
 1 
 x y x y
 Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn.
Vậy vận tốc riêng của ca nô là 24 km/h và vận tốc của dòng nước là 2 km/h.
Ví dụ 3. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc dự định trong một thời gian dự 
định. Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 3 km/h thì thời gian rút ngắn được 2 giờ so 
với dự định. Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian đi tăng hơn 3 giờ 
so với dự định. tính độ dài quãng đường AB.
Lời giải:
Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h, x 3) và thời gian dự định đi từ A 
đến B là y (giờ, y 2 ). Khi đó quãng đường từ A đến B dài xy (km). Gọi x (tấn) là số tấn hàng trong thực tế mà mỗi xe phải chở (ĐK: 
1 x 15, x ¥ )
 x 1 là số tấn hàng mỗi xe phải chở theo dự định.
 180 28
Số xe thực tế phải điều động là: (xe)
 x
 180
Số xe cần điều động theo dự định là: (xe)
 x 1
Vì vậy số xe thực tế nhiều hơn dự định là 1 xe nên ta có phương trình:
208 180
 1 208x 208 180x x2 x x2 29x 208 0
 x x 1
 x1 13 (tm) hoặc x2 16 (loại vì x 15)
 180 180
Vậy theo dự định cần điều động: 15 (xe).
 x 1 13 1
Ví dụ 2) Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đôi tàu dự 
định chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa 
đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và 
mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu 
chiếc tàu, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau.(Trích đề tuyển sinh vào 
lớp 10 Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2015)
Lời giải: Gọi x (chiếc) là số tàu dự định của đội x ¥ *, x 140 
Số tàu tham gia vận chuyển là x 1 (chiếc)
 280
Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo dự định (tấn)
 x
 286
Số tấn hàng trên mỗi chiếc thực tế (tấn)
 x 1
 280 286
Theo bài ra ta có phương trình: 2
 x x 1
 2 x 10
 280 x 1 286x 2x x 1 x 4x 140 0 . Vậy 
 x 14(l)
đội tàu lúc đầu có 10 chiếc tàu. Gọi thời gian tổ hai làm riêng và hoàn thành công việc là y (giờ, y 6)
 1
Mỗi giờ tổ một làm được (phần công việc)
 x
 1
Mỗi giờ tổ hai làm được (phần công việc)
 y
Biết hai tổ làm chung trong 6 giờ thì hoàn thành được công việc nên ta có 
phương trình:
6 6
 1. (1). Thực tế để hoàn thành công việc này thì tổ hai làm trong 2 
x y
 12 2
giờ và tổ một làm trong 2 10 12 (giờ), ta có phương trình: 1 
 x y
 6 6
 1
 x y
(2). Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: . Giải hệ ta được: 
 12 2
 1
 x y
 x 15
 thỏa mãn điều kiện.
 y 10
Nếu làm riêng thì tổ một hoàn thành công việc trong 15 giờ và tổ hai hoàn 
thành công việc trong 10 giờ.
Nhận xét: Bài toán hai người (hai đội) cùng làm chung – làm riêng để hoàn 
thành một công việc có hai đại lượng chính là năng suất của mỗi người 
(hoặc mỗi đội). Ta coi toàn bộ khối lượng công việc cần thực hiện là 1.
+ Năng suất công việc =1: thời gian.
+ Năng suất chung = Tổng năng suất riêng.
Chú ý:
Trong bài toán trên có thể thay điều kiện x 6 bằng điều kiện x 10 hoặc 
thậm chí là x 12 . x 8
Giải hệ trên ta được: (thỏa mãn điều kiện)
 y 12
Vậy vòi một chảy một mình trong 8 giờ thì đầy bể và vòi hai chảy một mình 
trong 12 giờ thì đầy bể.
Cách 2: Lập phương trình
 24
Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là x (giờ, x )
 5
 1
Khi đó trong một giờ vòi một chảy được (phần bể)
 x
Vòi hai chảy một mình đầy bể trong x 4 (giờ) nên trong một giờ chảy 
 1
được: (phần bể)
 x 4
 1 1
Tổng cộng trong một giờ hai vòi chảy được (phần bể) (3)
 x x 4
 24
Sau 4 giờ 48 phút = giờ hai vòi cùng chảy thì đầy bể nên trong một giờ 
 5
 5
chảy được (phần bể) (4)
 24
 1 1 5
Từ (3) và (4) ta có phương trình 
 x x 4 24
 12
Giải phương trình ta được x (loại) hoặc x 8 (thỏa mãn)
 5
Vậy thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là 8 giờ. Vòi hai chảy một 
mình đầy bể là 8 4 12 (giờ).
Nhận xét: Ta có thể chuyển bài toán trên thành bài toán sau: “Hai đội công 
nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 4 giờ 48 phút. Nếu 
làm riêng để hoàn thành công việc này thì thời gian đội một ít hơn thời gian 2). Hai người đi xe đạp xuất phát cùng một lúc đi từ A đến B. vận tốc của họ 
hơn kém nhau 3km/h nên đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc 
của mỗi người, biết quãng đường AB dài 30km/h.
3). Hai tỉnh A,B cách nhau 180km/h. Cùng một lúc, ô tô đi từ A đến B và 
một xe máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau ở thị trấn C. Từ C đến B ô tô đi 
hết 2 giờ, còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của ô tô 
và xe máy biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi.
4). Trong một cuộc đua, ba tay đua mô tô đã khởi hành cùng một lúc. Mỗi 
giờ người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người 
thứ ba 3 km. người thứ ba đến đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và 
sớm hơn người thứ ba 3 phút. Tính thời gian chạy hết quãng đường đua của 
các tay đua.
5). Một xe máy đi từ A đến B trong thời gian dự định. Nếu vận tốc tằng 
20km/h thì đến sớm 1 giờ, nếu vận tốc giảm đi 10km/h thì đến muộn 1 giờ. 
Tính quãng đường AB.
6). Một ô tô đi từ A đến B. Cùng một lúc, một ô tô khác đi từ B đến A với 
 2
vận tốc bằng vận tốc ô tô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô 
 3
tô đi cả quãng đường AB mất bao lâu?
7). Hai bến sông A và B cách nhau 40km. cùng một lúc với ca nô xuôi từ 
bến A có một chiếc bè trôi từ bến A với vận tốc 3km/h. Sauk hi đến bến B, 
ca nô quay trở về bến A ngay và gặp bè, khi đó bè đã trôi được 8km. tính 
vận tốc riêng của ca nô.
8) Hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 6 ngày. 
Hỏi nếu A làm một mình 3 ngày rồi nghỉ thì B hoàn thành nốt công việc 
trong thời gian bao lâu? Biết rằng nếu làm một mình xong công việc thì B 
làm lâu hơn A là 9 ngày.
9) Trong một kỳ thi, hai trường A,B có tổng cộng 350 học sinh dự thi. Kết 
quả là hai trường có tổng cộng 338 học sinh trúng tuyển. Tính ra thì trường 
A có 97% và trường B có 96% học sinh dự thi trúng tuyển. Hỏi mỗi trường 
có bao nhiêu thí sinh dự thi?