Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập phương trình - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 CHUYÊN ĐỀ:
 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH.
 A) TÓM TẮT LÝ THUYẾT
 Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình:
 a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
 b) Biểu diễn các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các địa lượng đã biết.
 c) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
 Bước 2: Giải phương trình.
 Bước 3: Đối chiếu nghiệm của pt, hệ phương trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số để trả lời.
 Chú ý: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà ta có thể lập phương trình bậc nhất một ẩn, hệ phương trình hay 
 phương trình bậc hai.
 Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung bài toán và những kiến thức thực tế....
 B) CÁC DẠNG TOÁN
 1. Dạng 1: Toán về quan hệ các số.
 Nững kiến thức cần nhớ: 
 + Biểu diễn số có hai chữ số : ab 10a b ( víi 0<a 9; 0 b 9;a,b N)
 + Biểu diễn số có ba chữ số : abc 100a 10b c ( víi 0<a 9; 0 b,c 9;a,b,c N)
 + Tổng hai số x; y là: x + y
 + Tổng bình phương hai số x, y là: x2 + y2
 + Bình phương của tổng hai số x, y là: (x + y)2.
 1 1
 + Tổng nghịch đảo hai số x, y là: .
 x y
 Ví dụ 1: Một số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 1 đơn 
 1
 vị thì được một phân số mới bằng phân số đã cho. Tìm phân số đó?
 2
 Giải: 
 Gọi tử số của phân số đó là x (đk: x 3 )
 Mẫu số của phân số đó là x + 3.
 Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 1 đơn vị thì
 Tử số là x + 1
 Mẫu số là x + 3 + 1 = x + 4
 1 x 1 1
 Được phân số mới bằng ta có phương trình .
 2 x 4 2
 2(x 1) x 4
 x 2( Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n)
 2
 VËy ph©n sè ban ®Çu ®· cho lµ 
 5
 Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu 
viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682.
 Giải: 
 Gọi x là chữ số hàng chục (x N, 0 < x 9).
 • Gọi y là chữ số hàng đơn vị (y N, x 9)
 Trang 1 1 13
 x 6(tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)
 1 2
 1 13
 x 7(lo¹i)
 2 2
 Vậy hai số phải tìm là 6 và 7.
 Ví dụ 5: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng của hai số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7. 
Tìm hai số đó.
 Giải: 
 • Gọi x, y là hai số cần tìm (x, y N)
 x y 59 x y 59
 • Theo đề bài ta có hệ pt: 
 2x 7 3y 2x 3y 7
 x 34
 • Giải hệ ta được: (thỏa ĐK) hai số cần tìm là 34 và 25.
 y 25
 Ví dụ 6: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng của hai chữ số của nó bằng 10; tích hai chữ số ấy nhỏ hơn 
số đã cho là 12. Tìm số đã cho.
 Giải:
 • Gọi x là chữ số hàng chục của số đã cho (x N, 0 < x 9)
 • Chữ số hàng đơn vị: 10 – x 
 • Số đã cho có dạng: 10.x + (10 – x) = 9x + 10
 • Tích của hai chữ số ấy: x(10 – x)
 • Theo đề bài ta có phương trình: (9x + 10) – x(10 – x)= 12 x2 – 2 = 0
 • Giải pt trên ta được: x1 = –1( loại); x2 = 2 (nhận)
 • Vậy số cần tìm là 28.
 Ví dụ 7: Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 6. Nếu thêm vào số đó 18 đơn vị thì số thu được 
cũng viết bằng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó.
 Giải: 
 • Gọi x là chữ số hàng chục, y là chữ số hàng đơn vị của số đã cho (x,y N, 0 < x,y 9)
 • Theo đề bài ta có: 
 x y 6 x y 6
 xy 18 yx 10x y 18 10y+x
 x y 6 x 2
 x y -2 y 4
 Vậy số cần tìm là 24.
 Bài tập: 
 Bài 1: Đem một số nhân với 3 rồi trừ đi 7 thì được 50. Hỏi số đó là bao nhiêu?
 Trang 3 100
Quảng đường ô tô đi là 100 km nên thời gian ô tô đi là (giờ)
 y
 100 80
ta có phương trình (1)
 x y
 60
Quảng đường xe máy đi là 60 km nên thời gian xe máy đi là (giờ)
 y
 120
Quảng đường ô tô đi lag 120 km nên thời gian ô tô đi là (giờ)
 y
 9
Vì ô tô đi trước xe máy 54 phút = nên ta có phương trình 
 10
120 60 9
 (2) .
 x y 10
 100 80 100 80
 0
 x y x y
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
 120 60 9 40 20 3
 x y 10 x y 10
 100 80 60 12
 0 
 x y x 10 x 50
 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)
 160 80 12 100 80 y 40
 0 
 x y 10 x y
 Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h. Vận 
tốc của xe máy là 40 km/h.
Ví dụ 3: Một ô tô đi trên quảng đường dai 520 km. Khi đi được 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h 
nữa và đi hết quảng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của ô tô biết thời gian đi hết quảng đường là 8 giờ.
Giải:
 Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là x (km/h), đk: x>0.
Vận tốc lúc sau của ô tô là x+10 (km/h).
 240
Thời gian ô tô đi hết quảng đường đầu là (giờ)
 x
 280
Thời gian ô tô đi hết quảng đường đầu là (giờ)
 x 10
Vì thời gian ô tô đi hết quảng đường là 8 giờ nên ta có phương trình
240 280
 8 x2 55x 300 0
 x x 10
 b2 4ac ( 55)2 4.( 300) 4225 0 4225 65
 55 65 55 65
Phương trình có hai nghiệm x 60(TMDK);x 5(loai)
 1 2 2 2
Vậy vận tốc ban đầu của ô tô là 60 km/h.
 Trang 5 Giải
+/ Gọi x(m/s) là vận tốc của điểm M
 Gọi y(m/s) là vận tốc của điểm N (x>y>0)
+/ Khi chúng di chuyển trái chiều nhau , chúng gặp nhau sau mỗi 15 giây nên ta có phương trình : 15x+15y=1,2 (1)
+/ Khi M,N di chuyển cùng chiều nhau thì điểm M sẽ vượt N đúng 1 vòng sau 60 giây nên ta có phương trình : 60x-
60y=1 (2)
 15x+15y=1,2
 Ta có hệ phương trình : 
 60x+60y=1
+/ Giải hệ phương trình ta có x=0,05 ;y= 0,03 (thoả ĐKBT)
Vậy vận tốc điểm M là : 0,05m/s và vận tốc điểm N là : 0,03m/s
Ví dụ 7: Một chiếc môtô và ôtô cùng đi từ M đến K với vận tốc khác nhau .Vận tốc môtô là 62 km/h còn vận tốc ôtô 
là 55 km/h . Để 2 xe đến đích cùng 1 lúc người ta đã cho ôtô chạy trước 1 thời gian. Nhưng vì 1 lí do đặc biệt nên khi 
chạy được 2/3 quãng đường ôtô buộc phải chạy với vận tốc 27,5 km/h. Vì vậy khi còn cách K 124km thì môtô đuổi 
kịp ôtô. Tính khoảng cách từ M đến N .
 Giải
+/ Gọi khoảng cách MK là x km 
 Gọi thời gian dự định ôtô đi trước môtô là y (giờ) 
 x x
 y 
 62 55
+/ Ta có : 2 x
 x 124
 3 3 x 124
 y 
 65 27,5 62
 94
+/ Giải hệ này ta rút ra : x= 514km ; y 1 (h)
 1705
 Bài tập: 
 1. Một ô tô khởi hành từ A với vận tốc 50 km/h. Qua 1 giờ 15 phút ô tô thứ hai cũng khởi hành từ A đi 
 cùng hướng với ô tô thứ nhất với vận tốc 40 km/h. Hỏi sau mấy giờ thì ô tô gặp nhau, điểm gặp nhau cách A 
 bao nhiêu km?
 2. Một ca nô xuôi dòng 50 km rồi ngược dòng 30 km. Biết thời gian đi xuôi dòng lâu hơn thời gian 
 ngược dòng là 30 phút và vận tốc đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc đi ngược dòng là 5 km/h.
 Tính vận tốc lúc đi xuôi dòng?
 3. Hai ô tô cùng khởi hành cùng một lúc từ A đến B cách nhau 150 km. Biết vận tốc ô tô thứ nhất lớn 
 hơn vận tốc ô tô thứ hai là 10 km/h và ô tô thứ nhất đến B trước ô tô thứ hai là 30 phút. Tính vânl tốc của mỗi 
 ô tô.
 4. Một chiếc thuyền đi trên dòng sông dài 50 km. Tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng là 4 giờ 10 
 phút. Tính vận tốc thực của thuyền biết rằng một chiếc bè thả nổi phải mất 10 giờ mới xuôi hết dòng sông.
 5. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108 km. Cùng lúc đó một ô tô khởi hành từ B đến A với 
 vận tốc hơn vận tốc xe đạp là 18 km/h. Sau khi hai xe gặp nhau xe đạp phải đi mất 4 giờ nữa mới tới B. Tính 
 vận tốc của mỗi xe?
 Trang 7 Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 giờ. Người thứ hai hoàn thành công việc 
trong 48 giờ.
Ví dụ 2: 
 Hai thợ cùng đào một con mương thì sau 2giờ 55 phút thì xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội 1 hoàn 
thành công việc nhanh hơn đội 2 là 2 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu giờ thì 
xong công việc?
 Giải :
Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong công việc là x (x > 0; giờ)
Gọi thời gian đội 2 làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ)
 1
Mỗi giờ đội 1 làm được c«ng viÖc
 x
 1
Mỗi giờ đội 2 làm được c«ng viÖc
 x 2
 11 35
Vì cả hai đội thì sau 2 giờ 55 phút = 2 (giờ) xong. 
 12 12
 12
Trong 1 giờ cả hai đội làm được công việc
 35
 1 1 12
Theo bài ra ta có phương trình 35x 70 35 12x2 24x
 x x 2 35
 12x2 46x 70 0 6x2 23x 35 0
Ta có
 ( 23)2 4.6.( 35) 529 840 1369 0 1369 37
 23 37 23 37
 VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x 5(thoa m·n); x 2(lo¹i)
 1 12 2 12
Vậy đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 5 giờ. Đội hai hoàn thành công việc trong 7 giờ.
 Chú ý: 
 + Nếu có hai đối tượng cùng làm một công việc nếu biết thời gian của đại lượng này hơn, kém đại 
lượng kia ta nên chọn một ẩn và đưa về phương trình bậc hai.
 + Nếu thời gian của hai đại lượng này không phụ thuộc vào nhau ta nên chọn hai ẩn làm thời gian của 
hai đội rồi đưa về dạng hệ phương trình để giải.
Ví dụ 3: 
 Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà thì 2 ngày xong việc. Nếu người thứ nhất làm trong 4 
ngày rồi nghỉ người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu 
xong công việc?
Giải:
Gọi thời gian để một mình người thứ nhất hoàn thành công việc là x (x>2; ngày)
Gọi thời gian để một mình người thứ hai hoàn thành công việc là y (x>2; ngày).
 1
Trong một ngày người thứ nhất làm được công việc
 x
 1
Trong một ngày người thứ hai làm được công việc
 y
 Trang 9