Chuyên đề Giá trị lượng giác của một góc Hình học Lớp 10

 BÀI 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 
 CỦA MỘT GÓC 
 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác của cung 
 tang T 
 Cho (,)OA OM . Giả sử M(;) x y . sin 
 cos x OH B S cotang 
 K 
 sin y OK M 
 sin 
 tan AT k  cosin 
 cos 2 O H A 
 cos 
 cot BS k 
 sin 
 Nhận xét: 
  , 1 cos 1; 1 sin 1 
 tan xác định khi k , k Z cot xác định khi k , k Z 
 2
 sin( k 2 ) sin tan( k ) tan 
 cos( k 2 ) cos cot( k ) cot 
 2. Dấu của các giá trị lượng giác 
 Phần tư 
 I II III IV 
 Giá trị lượng giác 
 cos + – – + 
 sin + + – – 
 tan + – + – 
 cot + – + – 
 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 
 0 
 6 4 3 2
 00 300 450 600 900 
 1 2 3
 sin 0 1 
 2 2 2
 3 2 1
 cos 1 0 
 2 2 2
 3
 tan 0 1 3 Không xác định 
 3
 3
 cot Không xác đinh 3 1 0 
 3
4. Công thức lượng giác cơ bản: 
 sin cos 
 sin2 cos 2 1; tan ; cot 
 cos sin 
 1 
 0
 cos( 300 ) 0 
 Vậy: sin 500 .cos( 300 0 ) 0 
 b) Ta có: 00 90 0 0 0 90 0 90 0 90 0 90 0 
 900 90 0 180 0 
 Suy ra điểm ngọn của cung 900 thuộc phần tư (II). Do đó sin( 900 ) 0 
Bài tâp: 
Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau: 
 21 
 a) A = sin 500 .cos( 300 0 ) b) B = sin 2150 .tan 
 7
 3 2 4 4 9 
 c) C = cot .sin d) D = cos .sin .tan .cot 
 5 3 5 3 3 5
Bài 2. Cho 00 90 0 . Xét dấu của các biểu thức sau: 
 a) A = sin( 900 ) b) B = cos( 450 ) 
 c) C = cos(2700 ) d) D = cos(2 900 ) 
Bài 3. Cho 0 . Xét dấu của các biểu thức sau: 
 2
 a) A = cos( ) b) B = tan( ) 
 2 3 
 c) C = sin d) D = cos 
 5 8 
Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau: 
 a) A = sinABC sin sin b) B = sinABC .sin .sin 
 ABC ABC
 c) C = cos .cos .cos d) D = tan tan tan 
 2 2 2 2 2 2
 DẠNG 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung) 
Phương pháp: Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để 
 từ giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết. 
I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại 
 1. Cho biết sin , tính cos , tan , cot 
 Từ sin2 cos 2 1 cos 1 sin2 . 
 – Nếu thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cos 1 sin2 . 
 – Nếu thuộc góc phần tư II hoặc III thì cos 1 sin2 . 
 sin 1
 Tính tan ; cot . 
 cos tan 
 2. Cho biết cos , tính sin , tan , cot 
 Từ sin2 cos 2 1 sin 1 cos2 . 
 – Nếu thuộc góc phần tư I hoặc II thì sin 1 cos2 . 
 – Nếu thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin 1 cos2 . 
 sin 1
 Tính tan ; cot . 
 cos tan 
 3. Cho biết tan , tính sin , cos , cot 
 3 
 sin2 2sin .cos 
Ví dụ: Cho tan 2 . Tính A 
 cos2 3sin 2 
 Hướng dẫn: 
 tan2 2tan 
 Cách 1: Chia tử và mẫu cho cos2 : A 
 1 3tan2 
 Thay tan 2 vào ta được A 0 
 Cách 2: Vì tan 2 sin tan .cos 2 cos . Thay vào A ta được: 
 4cos2 2.2cos .cos 
 A 0 
 cos2 3.4cos 2 
III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG 
 Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi: 
 A2 B 2 ( A B ) 2 2 AB ABABAB4 4 ( 2 2 ) 2 2 2 2 
 A3 B 3 ( A B )( A 2 AB B 2 ) A3 B 3 ( A B )( A 2 AB B 2 ) 
Ví dụ: Cho sin cos m . Tính theo m giá trị của 
 a) A sin .cos b) B sin4 cos 4 
Hướng dẫn: 
 a) (sin cos )2 m 2 1 2sin cos m 2 
 m2 1
 A sin cos 
 2
 2
 b) B sin4 cos 4 sin 2 cos 2 2sin 2 cos 2 
 2
 m2 1 1 m 4 2 m 2
 1 2. 
 2 2
Bài tập 
Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với: 
 4 2 
 a) cosa , 2700 a 360 0 b) cos , 0 
 5 5 2
 5 1
 c) sina , a d) sin , 1800 270 0 
 13 2 3
 3 
 e) tana 3, a f) tan 2, 
 2 2
 3 
 g) cot150 2 3 h) cot 3, 
 2
Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với: 
 cota tan a 3 25
 a) A khisin a , 0 a ĐS: 
 cota tan a 5 2 7
 8tan2 a 3cot a 1 1 8
 b) B khisin a , 900 a 180 0 ĐS: 
 tana cot a 3 3
 5 
 0 0 0 0
 a) Ta có: tan240 tan(180 60 ) tan60 3 
 cot1500 cot(180 0 30 0 ) cot 30 0 3 
 Vậy: M 3 3 0 
 1
 b) Ta có: cos1200 cos(180 0 60 0 ) cos60 0 
 2
 tan3000 tan(360 0 60 0 ) tan( 60 0 ) 3 
 3
 sin( 7800 ) sin(2.360 0 60 0 ) sin 60 0 
 2
 1 3 1 3
 Vậy: N ( 3). 1 
 2 2 2 2
Bài tập 
Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau: 
 a) 120000000000000 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550 0 
 7 13 5 10 5 11 16 13 29 31 
 b) 9;11;; ; ; ; ; ; ; ; ; 
 2 4 4 3 3 3 3 6 6 4
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau: 
 a) A cos x cos(2 x ) cos(3 x ) 
 2 
 7 3 
 b) B 2 cos x 3cos( x ) 5sin x cot x 
 2 2 
 3 
 c) C 2sin x sin(5 x ) sin x cos x 
 2 2 2 
 3 3 
 d) D cos(5 x ) sin x tan x cot(3 x ) 
 2 2 
Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau: 
 sin( 3280 ).sin 958 0 cos( 508 0 ).cos( 1022 0 )
 a) A ĐS: A = –1 
 cot 5720 tan( 212 0 )
 sin( 2340 ) cos216 0
 b) B .tan360 ĐS: B 1 
 sin1440 cos126 0
 c) C cos200 cos40 0 cos60 0 ... cos160 0 cos180 0 ĐS: C 1 
 d) D cos2 10 0 cos 2 20 0 cos 2 30 0 ... cos 2 180 0 ĐS: D 9 
 e) E sin200 sin 40 0 sin 60 0 ... sin340 0 sin360 0 ĐS: E 0 
 f) 2sin(7900 x ) cos(1260 0 x ) tan(630 0 x ).tan(1260 0 x ) ĐS: F 1 cos x 
 DẠNG 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác 
 PHƯƠNG PHÁP: 
- Thông thường ta biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản bằng cách sử dụng các phép biến 
 đổi đại số và các công thức lượng giác. 
- Ta có thể dùng biến đổi tương đương. 
- Cần chú ý các hằng đẳng thức : 
 a2 b 2 ( a b ) 2 2 ab ; a3 b 3 ( a b ) 3 3 ab a b 
 Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì: 
 ABC 
 ABC và 
 2 2 2 2
 7