Chuyên đề Giá trị lượng giác của một góc bất kì - Hình học 10

 Hình học lớp 10 | 
HÌNH HỌC 10. CHƯƠNG II. 
BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0ĐẾN 
180 
A- LÝ THUYẾT 
1. Định nghĩa 
 y
 1
 M
 y0
 α x
 -1 x0 O 1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , nửa đường tròn tâm O nằm phía trên trục hoành bán kính R 1 
được gọi là nửa đường tròn đơn vị. 
Với mỗi góc 0 180  ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho 
xOM và giả sử điểm M có tọa độ M x00;. y Khi đó ta định nghĩa: 
 sin y0 
  cos x0 
 y0
  tan x0 0 . 
 x0
 x0
 cot y0 0 . 
 y0
Các số sin , cos , tan , cot được gọi là các giá trị lượng giác của góc . 
* Chú ý: 
1) Nếu là góc tù thì cos 0 , tan 0, cot 0. 
2) tan chỉ xác định khi 90 . y
3) cot chỉ xác định khi 0 và 180 . 
2. Tính chất N M
 y0
sin sin 180  
cos cos 180  α x
 -x0 O x
tan tan 180  0
cot cot 180  .
 Hình học lớp 10 | 
+ Nếu là góc tù thì cos 0 , tan 0, cot 0. 
2. Ví dụ 
 Ví dụ 1 
 Cho biết . Tính các giá trị lượng giác của góc . 
 Phân tích 
- Khi biết sin muốn tính cos (hoặc khi biết muốn tính sin ) ta sử dụng công thức: 
sin22 cos 1. 
- Khi 90 180  thì cos 0 . 
 Lời giải 
Vì 90 180  cos 0. 
 9 16 4
Ta có cos2 sin 2 1 cos 2 1 sin 2 1 cos .
 25 25 5 
 sin 3 4
Có tan ;cot . 
 cos 4 3
 Ví dụ 2 
 Cho biết . Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc . 
 Phân tích 
Hướng 1: Khi biết tan ta tính ngay được cot nhờ công thức tan .cot 1
 2 1
 tan 0;cot 0 và tính bằng công thức 1 tan , tính sin nhờ công thức 
 cos2 
 1
1 cot2 hoặc sin tan .cos . 
 sin2 
 cos 
Hướng 2: Khi biết tan 4 ta tìm được mối liên hệ giữa sin , và sử dụng công thức
sin22 cos 1 để giải hệ tìm , cos . 
 Lời giải 
 11
Ta có: tan 4 cot . Mặt khác do tan 4 0 nên 90 180 
 tan 4
 cos 0 
 1 17
Hướng 1: 1 tan2 17 cos (vì cos 0 ). 
 cos2 17
 4 17
Có sin cos .tan . 
 17
 sin 
Hướng 2: tan 4 sin 4cos . 
 cos 
 17
Lại có sin2 cos 2 1 17cos 2 1 cos (vì cos 0 ). 
 17
 4 17
Có sin 4cos .
 17 
 Hình học lớp 10 | 
 Ví dụ 6 
 Cho . Tính giá trị biểu thức . 
 Lời giải 
 2
 2 2 2 2 2 13 2
Cách 1: sin cos 1 sin 1 cos sin 1 sin . 
 24
 3 1 9 13
Vậy : P 3sin22 4cos 3. 4. 1 
 4 4 4 4
 1 13
Cách 2: P 3sin2 4cos 2 3 1 cos 2 4cos 2 3 cos 2 3 . 
 44
 Ví dụ 7 
 Cho . Tính giá trị biểu thức . 
 Lời giải 
 Vì tan 2 cos 0 . 
 3sin cos
 3tan 1 3 2 1
 Ta có: A cos . 
 sin cos tan 1 21 
 cos 
 Ví dụ 8 
 Biết . Tính giá trị biểu thức . 
 Lời giải 
Ta có: 
 cos sin cos22 sin 
 22
 cot tana cos sin 
B sin cos sin .cos 
 cos sin 22 22
 cot tan cos sin cos sin 
 sin cos sin .cos
 22 2
 1 sin sin2 2 8 17
 1 2sin 1 2. 1 . 
 1 5 25 25
 Ví dụ 9 
 Cho biết Tính giá trị của . 
 Lời giải 
 Hình học lớp 10 | 
 DẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC 
1. Phương pháp 
Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các hằng đẳng thức đáng nhớ, sử dụng tính chất của giá trị 
lượng giác để biến đổi. 
2. Ví dụ 
 Ví dụ 1 
 Rút gọn biểu thức lượng giác sau với là một góc từ đến 
 . 
 Phân tích 
Đây là biểu thức chỉ có sin x ; cos x và đều có mũ là chẵn nên hướng đến sử dụng công thức 
sin22xx cos 1. 
Có nhiều hướng làm: Thay thế hết sin2 x theo cos2 x , thay thế hết cos2 x theo sin2 x hoặc tìm cách 
kết hợp tạo ra các cụm sin22xx cos . 
 Lời giải 
Hướng 1: A sin4 x cos 2 x 1 sin 2 x sin 4 x 1 sin 2 x 1 sin 2 x sin 4 x 1 sin 4 x 1. 
 2
Hướng 2: A sin4 x cos 2 x 1 sin 2 x 1 cos 2 x cos 2 x 2 cos 2 x 
 1 2cos2x cos 4 x 2cos 2 x cos 4 x 1. 
Hướng 3: A sin4 x cos 2 x 1 sin 2 x sin 4 x sin 2 x cos 2 x cos 2 x 
 sin2x sin 2 x cos 2 x cos 2 x sin22xx cos 1. 
 Ví dụ 2 
 Rút gọn biểu thức lượng giác sau với là một góc từ đến 
 . 
 Lời giải 
 Hướng 1: Biểu thức chỉ có tan x và cot x nên có thể đưa hết tan x về cot x hoặc ngược lại 
 1 1 1 1 cot2 x 1
B 1. 
 2 21 2 2 2
 tanx 1 cot x 1 1 cot x 1 cot x 1 cot x 1
 cot2 x
Hướng 2: Để ý tới công thức tanxx .cot 1, ta cứ quy đồng bình thường, lúc nào gặp tích 
tanxx .cot thì ta thay thế bằng 1. 
 1 1 cot2x tan 2 x 2 cot 2 x tan 2 x 2
B 
 tan2x 1 cot 2 x 1tan22xx 1 cot 1 cot 2 x tan 2 x cot 2 x tan 2 x 1
 cot22xx tan 2
 1
 cot22xx tan 2
 Hình học lớp 10 | 
 Ví dụ 5 
 Rút gọn biểu thức . 
 Lời giải 
 2
Sử dụng hằng đẳng thức: a b a22 2 ab b và sin22xx cos 1. 
 A sin x cos x 22 sin x cos x 
 2 2 2 2
 sinx 2sin x .cos x cos x sin x 2sin x .cos x cos x 
 2 2 2 2
 2sinx 2cos x 2(sin x cos x ) 2. 
 Ví dụ 6 
 Rút gọn biểu thức . 
 Lời giải 
Sử dụng hằng đẳng thức: a b 2 a22 2 ab b và 
B tan x cot x 22 tan x cot x 
 2 2 2 2
 tanx 2 tan x .cot x cot x (tan x 2 tan x .cot x cot x ) 
 tan2x 2tan x .cot x cot 2 x tan 2 x 2tan x .cot x cot 2 x 
 2tanx .cot x 2tan x .cot x = 4. 
 Ví dụ 7 
 Rút gọn biểu thức . 
 Lời giải 
 1 cosxx 1 1 cos 1
C 22 
 sinx 1 cos x 1 cos x 1 cos x 
 1 cosx 1 1 1
 0 .
 1 cosx 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x
 Ví dụ 8 
 Rút gọn biểu thức . 
 Lời giải