Chuyên đề Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (Phần 2) - Bồi dưỡng HSG Toán 8

 Dạng 6 : Sử dụng bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
 A A A 0
a. Định nghĩa: 
 A A A 0
b. Tính chất
+) A R A 0; A A
+) x, y R x y x y xy 0
+) x, y R x y x y (x y).y 0
 Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. A x 3 x 7 b. B x 1 x 2 x 3
c. C x 1 x 2 x 3 x 4 d. D x 5 x 2 x 7 x 8
e. E x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
 Lời giải
a. A x 3 x 7 x 3 7 x x 3 7 x 4 4 A 4 (x 3)(7 x) 0 3 x 7 
b. B x 1 x 2 x 3
Ta có B x 1 x 3 x 1 3 x 2(1) (x 1)(3 x) 0 1 x 3
Mà x 2 0 x 2(2) C 2 x 2
c. C x 1 x 2 x 3 x 4
Ta có x 1 x 3 x 1 3 x 2 1 x 3; x 2 x 4 x 2 4 x 2 2 x 4
 C 4 min C 4 2 x 4
d. D x 5 x 2 x 7 x 8
Áp dụng bất đẳng thức M MM R
Ta có : D x 5 x 2 7 x 8 x x 5 x 2 7 x 8 x 22x R
 x 5 0 x 5
 x 2 0 x 2
 min D 22 2 x 7
 7 x 0 x 7
 8 x 0 x 8
 1 t 1 0
 t 1 3 t t 1 3 t 2 1 t 3 1 x 2 3 3 x 11
 3 t 0
 Bài 5: 
Cho số thực x . Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. A x 4 2 x 5 x 1 4 x 5 (x 5) 
b. B x 2 x 1 5 x 3 4 x 1 x 8 6 x 1(x 1)
 Lời giải
a. Đặt t x 5(t 0) x t 2 5 A (t 1)2 (2 t)2 t 1 2 t t 1 2 t t 1 2 t 3
A 3 2 t 0 t 2 x 5 2 5 x 9
b. Đặt t x 1(t 0) x t 2 1 A (t 1)2 5 (t 2)2 (t 3)2 t 1 5 t 2 3 t
 t 1 0
 t 1 3 t t 1 3 t 2 t 2 t 2 x 1 2 x 5 min A 2 x 5
 t 3
 Bài 6: HSG Sóc Trăng, năm học 2014 - 2015
Tìm GTNN của A x 3 x 2 2012 
 Lời giải
Ta có A x 3 x 2 2012 x 3 2 x 2012
Lại có : x 3 x 3 x 3
Mà 2 x 2 x x 2 A x 3 2 x 2012 x 3 2 x 2012 2017
Vậy MinA 2017 3 x 2
 Bài 7: HSG Quảng Ngãi, năm học 2015 - 2016
Tìm GTNN của A x 3 x 1 x 4 3
 Lời giải
Ta có A x 3 x 1 x 4 3 x 3 x 1 4 x 3
Lại có x 1 0 x 1; x 3 x 3 x 3; 4 x 4 x x 4 A x 3 0 4 x 3 4
Vậy MinA 4 x 1
 3 1 7
Ta có MinA x 
 5 5
 Bài 2:
Tìm GTNN của A x 1 x 2 x 3 x 4
 Lời giải
Ta có MinA 4 2 x 3
 Bài 3:
Tìm GTNN của A 2x 1 2 3 2x 1 2
 Lời giải
 1 5 1
Ta có Min.A x hay x 
 4 4 4
 Bài 4:
Tìm GTNN của A x 1 x 2 x 3 ... x 1998
 Lời giải
 1
Ta có Min.A 9992 999 x 1000 hay x 
 4
 Bài 5: Chuyên Toán Quảng Ngãi, năm học 2015 - 2016
Tìm GTNN của A x 3 2 x 5 7 x 11 9
 Lời giải
 9 9 1
Ta có Min.A 11 5 3 x hay x 
 11 11 4
 Bài 6: Chuyên Toán Quảng Trị, năm học 2015 - 2016
Tìm GTNN của A x 5 6 x 2 1 2x 2017
 Lời giải
 2018 2 5 2 1 1
Ta có Min.A x hay x 
 2 2 4
 5 2
 1 3 3 4 1
Vì x y x 
 2 4 4 3 2
 4 1
Vậy GTLN của y tại x 
 3 2
 2 2 1 1 2 2 1 1
b) y ;(3x 1)2 4 4x x 
 6x 5 9x2 (3x 1)2 4 (3x 1)2 4 4 (3x 1)2 4 4 2 3
c) y 0 A 0
 3 3 3
+) y 0 A 
 x2 x 25t 2 20t 5 (5t 2)2 1
 25 20 5
 y2 y
 1 2 2
Vì (5t 2)2 0 1 A 3 t x y
 (5t 2)2 1 5 5
 Bài 3: 
 5
Tìm GTLN của biểu thức sau: A 
 x2 2x 5
 Lời giải
Ta có: 
 2 2 1 1 5 5 5
x2 2x 5 x 1 6 6 x 1 6 maxA x 1
 x 1 2 6 6 x 1 2 6 6 6
 Bài 4: 
 1
Tìm min của: B 
 x2 4x 9
 Lời giải
 2 1 1 1
Ta có : x2 4x 9 x 2 5 5 B , Dấu “ = ” khi x 2
 x2 4x 9 x 2 2 5 5
 Bài 5: 
 3
Tìm max của: C ???????? min
 x2 5x 1
 Lời giải
 7 1
Dấu " " xảy ra 2x 1 0 x .
 2
 3 3 1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B 2 là khi x .
 4x 4x 3 2 2
 9 2 2
 4x2 6x 1 4 x 4x 4 10x 15 4 x 4x 4 10 x 2 5 10 5
C 4 
 (x 2)2 (x 2)2 (x 2)2 x 2 (x 2)2
 1 2 1
Đặt t C 4 10t 5t 2 5 t 2 2t 1 1 5 t 1 1 1 t 1 1 x 1
 x 2 x 2
 2x2 16x 41
d. D (x R)
 x2 8x 22
 2x2 16x 41 2(x2 8x 22) 3 3
 D (x R) 2 
 x2 8x 22 x2 8x 22 (x 4)2 6
 3 3 1
Vì (x 4)2 0 (x 4)2 6 6 
 (x 4)2 6 6 2
 3 1 3 3
D 2 2 A (x 4)2 0 x 4
 (x 4)2 6 2 2 min 2
 2 2
 4x4 x2 1 9 81 9 17 17
e. E 2 2 (dễ sai lầm khi đánh giá E 2t 4 2t )
 (x 1) 4 16 4 16 16
 4x4 x2 1 4(x4 2x2 1) 9(x2 1) 4 9 4 1
E 4 4t 2 9t 4(t ) 
 (x2 1)2 (x2 1)2 x2 1 (x2 1)2 x2 1
 2 2
 9 81 9 17
 E 2t 4 2t 
 4 16 4 16
 9 9 1 9 1 1 17
Ta có: t 1 2t 2 (2t )2 A 1 t 1 x 0
 4 4 4 4 16 16 16
Lời giải ngắn gọn hơn
 5x4 x2
E 1 0 E 1 E 1 x 0
 (x2 1)2 min
 3x2 12x 10
f. F 
 x2 4x 5
 3x2 12x 10 5 5 5
Ta có: F 3 3 3 2 x 2
 x2 4x 5 x2 4x 5 (x 2)2 1 1
 Bài 2: Tìm GTLN của các biểu thức sau
 3x2 6x 10 x2 x 11
a. A (x 1) b. B (x 1)
 x2 2x 3 x2 2x 1
 x x2 4x 14
c. C (x 5) d. D (x 1) 
 x2 10x 25 x2 2x 1
 11 Bài 3: Tìm GTLN, GTNN
 7y2 4xy
Tìm GTNN, GTLN của A 
 x2 2xy 2y2
 Lời giải
Điều kiện (x, y) (0,0)
 x2 6xy 9y2 (x 3y)2
+) A 1 0 A 1 x 3y 0
 (x y)2 y2 (x y)2 y 2
 (y2 4xy 4x2 ) (2x y)2
+) A 4 0 A 4 x 1; y 2
 (x y)2 y2 (x y)2 y2
 Bài 4: 
 x2 x 1 x2 3x 3
Tìm GTNN của biểu thức A x 1 ; B x 1 
 (x 1)2 (x 1)2
 Lời giải
 x2 x 1 (x2 2x 1) x 1 1 1 1 1
A 1 1 y y2 (y )
 (x 1)2 (x 1)2 x 1 (x 1)2 x 1
 2
 1 3 3 3 1
A y Amin y x 1
 2 4 4 4 2
 x2 3x 3 (x2 2x 1) x 1 1 1 1 1
+) B 1 y2 y 1(y )
 (x 1)2 (x 1)2 x 1 (x 1)2 x 1
 1 3 3 1
B y y x 3 .
 2 4 4 2
 Bài 5:
 x2 y2
Tìm GTNN của biểu thức A 
 x2 2xy y2
 Lời giải
 1 2 2
 2 2 x y x y 2
 x y 1 1 x y 1 1
Ta có: A 2 . minA x y
 x2 2xy y2 x y 2 2 2 x y 2 2 2
 Bài 6:
 2x2 10x 1
Tìm GTNN của biểu thức A x 1 
 x2 2x 1
 13